Kombinatoryka na start: zadania na permutacje, wariacje i kombinacje z odpowiedziami

Podstawowe pojęcia kombinatoryki – szybkie uporządkowanie

Co to jest kombinatoryka i po co Ci te zadania?

Kombinatoryka zajmuje się liczeniem liczby sposobów wyboru, ustawiania i łączenia elementów. W praktyce chodzi o pytania typu: na ile sposobów można ustawić osoby w kolejce, rozdać karty, wybrać drużynę, ułożyć kod PIN czy zaplanować rozkład jazdy. Zadania na permutacje, wariacje i kombinacje są podstawą wielu działów matematyki, pojawiają się na egzaminach, w olimpiadach i w zadaniach z prawdopodobieństwa.

Żeby dobrze liczyć takie zadania, trzeba rozumieć trzy kluczowe decyzje:

• czy kolejność ma znaczenie,
• czy elementy mogą się powtarzać,
• czy dobieramy wszystkie elementy, czy tylko część.

Kiedy te trzy rzeczy są jasne, wybór właściwego wzoru (permutacje, wariacje, kombinacje) staje się prosty i logiczny, a nie oparty na zgadywaniu.

Notacja i podstawowe oznaczenia

W zadaniach kombinatorycznych często używa się kilku standardowych oznaczeń. Dobrze jest je mieć w jednym miejscu:

• n! – silnia liczby n: iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n:
  
  n! = 1 · 2 · 3 · … · (n − 1) · n, a dodatkowo ustala się, że 0! = 1.
• P(n) – permutacje n-elementowego zbioru: P(n) = n!.
• V(n, k) – wariacje bez powtórzeń: liczba k-elementowych uporządkowanych ciągów z n różnych elementów.
• V’(n, k) – wariacje z powtórzeniami.
• C(n, k) – kombinacje (bez powtórzeń): liczba k-elementowych podzbiorów n-elementowego zbioru, gdy kolejność nie ma znaczenia.
• C’(n, k) – kombinacje z powtórzeniami (czasem oznaczane jako z powtórzeniami).

W praktycznych rozwiązaniach wystarczy, że rozpoznasz typ zadania i podstawisz liczby do właściwego wzoru. Klucz leży w dobrej interpretacji treści.

Krótka mapa: kiedy permutacje, wariacje, a kiedy kombinacje?

Najczęściej stosuje się następujący schemat decyzyjny:

• Ustawianie wszystkich elementów w kolejności, bez powtórzeń → permutacje.
• Wybór części elementów, gdzie liczy się kolejność → wariacje.
• Wybór części elementów, gdzie kolejność nie ma znaczenia → kombinacje.
• Jeśli w treści można wielokrotnie użyć tego samego elementu → wersje z powtórzeniami.

W kolejnych sekcjach te idee są wzmocnione przez konkretne zadania na permutacje, wariacje i kombinacje z odpowiedziami i pełnymi rozwiązaniami.

Permutacje – ustawianie elementów w kolejności

Definicja i podstawowy wzór na permutacje

Permutacja to każde możliwe uporządkowanie wszystkich elementów zbioru. Dla zbioru n-elementowego liczba wszystkich permutacji wynosi:

P(n) = n!

Intuicyjnie: na pierwsze miejsce można wybrać dowolny z n elementów, na drugie miejsce – jeden z pozostałych (n − 1), na trzecie – (n − 2), i tak dalej, aż do 1. Mnożąc te liczby otrzymujemy n!.

Przykład 1: Układanie liter bez warunków

Zadanie: Na ile sposobów można ustawić w szeregu litery słowa „DOM”?

Rozwiązanie:

1. Litery: D, O, M – mamy 3 różne litery.
2. Ustawiamy wszystkie litery w kolejności, żadna litera się nie powtarza.
3. Stosujemy permutacje zbioru 3-elementowego: P(3) = 3! = 3 · 2 · 1 = 6.

Odpowiedź: Można ułożyć 6 różnych „słów” z tych liter.

Przykład 2: Permutacje z powtarzającymi się elementami

Gdy w zbiorze są elementy powtarzające się, prosta silnia zawyża wynik, bo traktuje powtarzające się elementy jako różne. Wtedy stosuje się wzór:

P z powtórzeniami:

Jeśli mamy n elementów, wśród których:

k₁ jest identycznych, k₂ jest identycznych, …, k_m jest identycznych, i k₁ + … + k_m = n,

to liczba permutacji wynosi:

P = n! / (k₁! · k₂! · … · k_m!)

Zadanie: Na ile sposobów można przestawić litery w słowie „MAMA”?

Rozwiązanie:

1. Słowo „MAMA” ma 4 litery: M, A, M, A.
2. Mamy 2 litery M i 2 litery A – powtórzenia po 2 razy.
3. Bez powtórzeń byłoby P(4) = 4! = 24, ale trzeba wyeliminować wielokrotne liczenie identycznych układów.
4. Stosujemy wzór:
   
   P = 4! / (2! · 2!) = (24) / (2 · 2) = 24 / 4 = 6.

Odpowiedź: Litery słowa „MAMA” można ułożyć na 6 różnych sposobów.

Przykład 3: Permutacje z warunkami (blokowanie elementów)

Częsty typ zadania: „Ile jest permutacji, w których pewne elementy stoją obok siebie?”. W takich sytuacjach używa się metody bloków.

Zadanie: Na ile sposobów można ustawić w szeregu litery słowa „KOMETA”, tak aby litery K i O stały obok siebie (w tej lub odwrotnej kolejności)?

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Litery: K, O, M, E, T, A – razem 6 różnych liter.
2. Wymagamy, aby litery K i O były obok siebie. Traktujemy je jako blok (KO lub OK).
3. Tworzymy elementy do ustawienia:
   • blok {K,O}
   • M, E, T, A

   Razem mamy 5 „elementów”: [KO], M, E, T, A.

4. Te 5 elementów można ustawić na 5! sposobów.
5. W samym bloku K i O mogą zamieniać się miejscami: KO lub OK → 2 możliwości.
6. Liczba wszystkich dopuszczalnych ustawień:
   
   5! · 2 = 120 · 2 = 240.

Odpowiedź: Istnieje 240 ustawień liter słowa „KOMETA” z literami K i O obok siebie.

Przykład 4: Kolejka osób z ograniczeniami

Zadanie: W kolejce stoi 6 osób: Ania, Bartek, Celina, Damian, Ewa i Filip. Na ile sposobów można ustawić ich w kolejce, jeśli Ania ma stać na początku, a Bartek na końcu kolejki?

Rozwiązanie:

1. Mamy 6 różnych osób.
2. Warunki:
   • Ania musi być pierwsza → pozycja 1 jest z góry ustalona.
   • Bartek musi być ostatni → pozycja 6 jest z góry ustalona.
3. Do ustawienia zostaje 4 osoby (Celina, Damian, Ewa, Filip) na 4 środkowych miejscach.
4. Te osoby można ustawić na 4! sposobów: 4! = 24.

Odpowiedź: Istnieją 24 różne ustawienia kolejki spełniające warunki.

Wariacje bez powtórzeń – kiedy kolejność ma znaczenie

Definicja i wzór na wariacje bez powtórzeń

Wariacja bez powtórzeń to każdy uporządkowany ciąg k różnych elementów wybranych z n-elementowego zbioru. Stosujemy ją wtedy, gdy:

• wybieramy k elementów z n,
• kolejność w ciągu jest istotna,
• ten sam element nie może wystąpić dwa razy (bez powtórzeń).

Wzór na liczbę wariacji bez powtórzeń:

V(n, k) = n · (n − 1) · (n − 2) · … · (n − k + 1) = n! / (n − k)!

Przykład 5: Tworzenie kodu bez powtórzeń

Zadanie: Z cyfr 1, 2, 3, 4, 5 tworzymy 3-cyfrowe kody, w których cyfry się nie powtarzają. Na ile sposobów można utworzyć taki kod?

Analiza:

• Zbiór cyfr ma n = 5 elementów.
• Tworzymy kod długości k = 3.
• Kolejność cyfr w kodzie ma znaczenie.
• Cyfry nie mogą się powtarzać.

Spełnione są warunki wariacji bez powtórzeń V(5, 3).

Obliczenia:

V(5, 3) = 5 · 4 · 3 = 60.

Można też użyć wzoru silniowego:

V(5, 3) = 5! / (5 − 3)! = 5! / 2! = (120) / 2 = 60.

Odpowiedź: Można stworzyć 60 różnych 3-cyfrowych kodów z podanych cyfr.

Przykład 6: Miejsca medalowe w konkursie

Typowy realny przykład wariacji: miejsca na podium.

Zadanie: W biegu startuje 10 zawodników. Na ile sposobów można obsadzić miejsca: złote, srebrne i brązowe (1., 2. i 3. miejsce)?

Rozumowanie:

1. Interesują nas 3 pierwsze miejsca – k = 3.
2. Każdy zawodnik może zająć tylko jedno miejsce, więc bez powtórzeń.
3. Kolejność (złoto–srebro–brąz) oczywiście ma znaczenie.
4. Zbiór ma n = 10 osób.

Zatem liczbę możliwości wyznacza V(10, 3).

Obliczenia:

V(10, 3) = 10 · 9 · 8 = 720.

Odpowiedź: Możliwych ustawień medalistów jest 720.

Przykład 7: Tworzenie hasła z liter bez powtórzeń

Zadanie: Z liter A, B, C, D, E, F chcemy utworzyć 4-literowe hasło, w którym litery nie mogą się powtarzać. Ile różnych haseł można zbudować?

Rozwiązanie:

1. Mamy n = 6 liter.
2. Tworzymy hasło długości k = 4.
3. Kolejność znaków ma znaczenie, bo hasło „ABCD” jest inne niż „BACD”.
4. Bez powtórzeń – żadna litera nie może się powtórzyć.

Odpowiada to wariacjom bez powtórzeń V(6, 4).

V(6, 4) = 6 · 5 · 4 · 3 = 360.

Odpowiedź: Można utworzyć 360 różnych 4-literowych haseł.

Wariacje z powtórzeniami – gdy elementy mogą się powtarzać

Definicja i wzór na wariacje z powtórzeniami

Wariacja z powtórzeniami to każdy uporządkowany ciąg k elementów wybranych z n-elementowego zbioru, przy czym elementy mogą się powtarzać dowolną liczbę razy.

Warunki:

• wybieramy k elementów z n,
• kolejność ma znaczenie,
• dozwolone są powtórzenia.

Wzór jest prosty:

V’(n, k) = n^k

Na każdej z k pozycji mamy n możliwych wyborów (ten sam zbiór elementów), więc liczba wszystkich k-cyfrowych (k-literowych) ciągów wynosi n · n · … · n = n^k.

Przykład 8: Kody PIN z powtarzającymi się cyframi

Zadanie: Ile różnych 4-cyfrowych kodów można utworzyć z cyfr 0–9, jeśli cyfry mogą się powtarzać?

Analiza:

• Zbiór cyfr: 0, 1, 2, …, 9 → n = 10 cyfr.
• Tworzymy kod długości k = 4.
• Kolejność cyfr ma znaczenie.
• Cyfry mogą się powtarzać (np. 0000, 1122, 5555 są dopuszczalne).

To klasyczne wariacje z powtórzeniami, czyli V’(10, 4).

Obliczenia:

Obliczenie liczby kodów PIN – dokończenie przykładu

V’(10, 4) = 10⁴ = 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000.

Odpowiedź: Istnieje 10 000 różnych 4-cyfrowych kodów PIN.

Przykład 9: Hasła z liter z powtórzeniami

Zadanie: Z liter A, B, C, D tworzymy 5-literowe hasło. Litery mogą się powtarzać. Ile różnych haseł można zbudować?

Rozwiązanie:

• n = 4 litery (A, B, C, D),
• długość hasła k = 5,
• kolejność ma znaczenie,
• powtórzenia dozwolone.

Korzystamy z wariacji z powtórzeniami: V’(4, 5) = 4⁵.

4⁵ = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 1024.

Odpowiedź: Można utworzyć 1024 różne 5-literowe hasła.

Przykład 10: Numerowanie miejsc siedzących

Zadanie: W sali jest 6 rzędów, każdy rząd ma 10 miejsc. Każde miejsce oznaczamy kodem: litera rzędu (A–F) oraz numer miejsca (0–9). Ile różnych oznaczeń miejsc można utworzyć, jeśli numer miejsca zapisujemy jedną cyfrą (0–9)?

Rozumowanie:

1. Litery rzędów: A, B, C, D, E, F → n₁ = 6 możliwości.
2. Cyfry numeru miejsca: 0–9 → n₂ = 10 możliwości.
3. Kod ma 2 znaki (litera + cyfra), powtórzenia są możliwe, bo rząd A może mieć wiele numerów itd.

Na pierwszej pozycji mamy 6 możliwości, na drugiej – 10. Korzystamy z zasady wariacji z powtórzeniami (po prostu mnożymy):

Liczba kodów = 6 · 10 = 60.

Odpowiedź: Można utworzyć 60 różnych oznaczeń miejsc.

Kombinacje bez powtórzeń – gdy kolejność nie ma znaczenia

Definicja i wzór na kombinacje bez powtórzeń

Kombinacja bez powtórzeń to każdy nieuporządkowany podzbiór k różnych elementów wybranych z n-elementowego zbioru. Kolejność nie ma znaczenia, liczy się jedynie sam wybór elementów.

Stosujemy je, gdy:

• wybieramy k elementów z n,
• kolejność wybranych elementów jest obojętna,
• nie ma powtórzeń (element albo jest w grupie, albo go nie ma).

Liczbę kombinacji oznaczamy zazwyczaj jako C(n, k) albo (binom{n}{k}) i liczymy ze wzoru:

C(n, k) = n! / (k! · (n − k)!)

Dlaczego taki wzór? Krótkie wyjaśnienie

Najpierw myślimy o wszystkich wariacjach bez powtórzeń V(n, k) – to wybór k elementów z kolejnością:

• V(n, k) = n! / (n − k)!

Każda grupa k-elementowa jest tam policzona wiele razy – dokładnie tyle, ile jest permutacji k elementów, czyli k! razy. Żeby dostać same „zestawy” (bez kolejności), trzeba tę wielokrotność usunąć:

C(n, k) = V(n, k) / k! = [n! / (n − k)!] / k! = n! / (k! · (n − k)!).

Przykład 11: Wybór osób do drużyny

Zadanie: W klasie jest 20 uczniów. Na szkolny konkurs matematyczny trzeba wybrać 3-osobową drużynę. Ile różnych drużyn można utworzyć?

Analiza:

• n = 20 (uczniów),
• k = 3 (osoby w drużynie),
• kolejność w drużynie nie ma znaczenia (drużyna {Ania, Bartek, Celina} jest tą samą co {Celina, Ania, Bartek}),
• bez powtórzeń – jedna osoba nie może „wejść” do drużyny dwa razy.

To klasyczne kombinacje bez powtórzeń: C(20, 3).

Obliczenia:

C(20, 3) = 20! / (3! · 17!) = (20 · 19 · 18) / (3 · 2 · 1) = (6840) / 6 = 1140.

Odpowiedź: Można utworzyć 1140 różnych 3-osobowych drużyn.

Przykład 12: Wybór smaków lodów

Zadanie: W lodziarni jest 8 smaków lodów. Klient chce kupić pudełko z 3 różnymi smakami (kolejność nie ma znaczenia – liczy się tylko zestaw). Na ile sposobów może wybrać skład pudełka?

Rozwiązanie:

1. n = 8 smaków,
2. k = 3 wybierane smaki,
3. smaki nie mogą się powtarzać w jednym pudełku,
4. kolejność nie ma znaczenia (zestaw {truskawkowy, czekoladowy, waniliowy} jest jeden).

Stosujemy kombinacje bez powtórzeń: C(8, 3).

C(8, 3) = 8! / (3! · 5!) = (8 · 7 · 6) / (3 · 2 · 1) = 336 / 6 = 56.

Odpowiedź: Istnieje 56 możliwych zestawów 3 różnych smaków.

Przykład 13: Losowanie liczb w grze liczbowej

Zadanie: W grze liczbowej losuje się 6 różnych liczb z 49. Ile jest możliwych różnych zestawów liczb, które mogą zostać wylosowane?

Rozumowanie:

• n = 49,
• k = 6,
• liczby są różne (bez powtórzeń),
• kolejność losowania nie ma znaczenia – zestaw {1, 2, 3, 4, 5, 6} jest tym samym, niezależnie od kolejności wylosowania.

Liczba możliwych losowań to C(49, 6).

C(49, 6) = 49! / (6! · 43!) = (49 · 48 · 47 · 46 · 45 · 44) / (6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1).

Nie trzeba tutaj liczyć dokładnej liczby, ważne jest rozumienie konstrukcji. Po wykonaniu mnożeń i podzieleniu otrzymuje się bardzo dużą liczbę możliwych zestawów.

Przykład 14: Podział nagród identycznego typu

Zadanie: W konkursie plastycznym przewidziano 5 identycznych dyplomów wyróżnienia. Nauczyciel ma wskazać 5 uczniów z 30, którzy dostaną wyróżnienie (wszyscy nagrodzeni są „równi” – nie ma miejsc 1., 2., 3. itd.). Na ile sposobów można przyznać wyróżnienia?

Rozwiązanie:

1. n = 30 uczniów,
2. k = 5 osób do nagrodzenia,
3. nagrody są identyczne, więc kolejność nie gra roli,
4. żaden uczeń nie może dostać dwóch wyróżnień.

To znowu kombinacje bez powtórzeń: C(30, 5).

C(30, 5) = 30! / (5! · 25!) = (30 · 29 · 28 · 27 · 26) / (5 · 4 · 3 · 2 · 1).

Po uproszczeniu:

(30 · 29 · 28 · 27 · 26) / 120.

Odpowiedź: Liczba możliwych sposobów przydzielenia 5 wyróżnień jest równa C(30, 5).

Kombinacje z powtórzeniami – gdy można wybierać ten sam element kilka razy

Definicja i wzór na kombinacje z powtórzeniami

Kombinacja z powtórzeniami to wybór k elementów z n-elementowego zbioru, przy czym elementy mogą się powtarzać, a kolejność nie ma znaczenia.

Używamy ich, gdy:

• wybieramy k elementów z n,
• kolejność wyboru nie ma znaczenia,
• ten sam element może zostać wybrany kilka razy.

Wzór na liczbę takich kombinacji jest nieco inny i wynika z tzw. metody „gwiazdek i kresek”:

C’(n, k) = C(n + k − 1, k) = (displaystyle binom{n + k − 1}{k})

Skąd ten wzór? Intuicyjny obraz

Można myśleć o tym jak o rozdzielaniu k identycznych przedmiotów między n „szuflad”. Ustawiamy:

• k gwiazdek (oznaczających wybrane elementy),
• n − 1 kresek (granice między różnymi elementami).

Razem mamy k + n − 1 symboli. Wystarczy wskazać, na których miejscach stoją gwiazdki (albo kreski). To jest właśnie kombinacja bez powtórzeń C(n + k − 1, k).

Przykład 15: Wybór ciastek w cukierni

Zadanie: W cukierni dostępne są 4 rodzaje ciastek. Klient chce kupić 7 ciastek, przy czym może wziąć kilka sztuk tego samego rodzaju. Na ile sposobów może wybrać zestaw ciastek (kolejność na tacy nie ma znaczenia)?

Analiza:

• n = 4 rodzaje ciastek,
• k = 7 sztuk do wyboru,
• można brać kilka sztuk tego samego rodzaju → powtórzenia dozwolone,
• zestaw traktujemy jako „ile którego rodzaju”, nie jako kolejkę na tacy.

Korzystamy z kombinacji z powtórzeniami: C’(4, 7) = C(4 + 7 − 1, 7) = C(10, 7).

Z własności C(n, k) = C(n, n − k) wygodniej policzyć C(10, 3):

C(10, 7) = C(10, 3) = 10! / (3! · 7!) = (10 · 9 · 8) / (3 · 2 · 1) = 720 / 6 = 120.

Odpowiedź: Istnieje 120 różnych zestawów 7 ciastek z 4 rodzajów.

Przykład 16: Rozdzielanie zadań domowych

Zadanie: Nauczycielka ma 5 typów krótkich zadań domowych. Chce dać klasie zestaw składający się łącznie z 6 zadań (mogą się powtarzać – np. 3 razy zadanie typu 1, 2 razy typu 3, raz typu 5). Ile różnych zestawów zadań może przygotować, jeśli liczy się tylko to, ile którego typu zadań jest w zestawie?

Rozumowanie:

• n = 5 typów zadań,
• k = 6 zdań łącznie,
• typ zadania może powtórzyć się wielokrotnie,
• kolejność zadań w zestawie jest nieistotna.

Stosujemy kombinacje z powtórzeniami: C’(5, 6) = C(5 + 6 − 1, 6) = C(10, 6).

Korzystając z symetrii: C(10, 6) = C(10, 4).

C(10, 4) = 10! / (4! · 6!) = (10 · 9 · 8 · 7) / (4 · 3 · 2 · 1) = 5040 / 24 = 210.

Odpowiedź: Można przygotować 210 różnych zestawów zadań.

Przykład 17: Monety w skarbonce

Zadanie: Masz 3 rodzaje monet: 1 zł, 2 zł i 5 zł. Do skarbonki wrzucasz łącznie 8 monet. Na ile sposobów możesz zadecydować, ile monet każdego rodzaju wrzucisz, jeśli liczy się tylko liczba monet każdego typu (nie kolejność wrzucania)?

Analiza:

• n = 3 rodzaje monet,
• k = 8 monet łącznie,
• monety tego samego rodzaju są nieodróżnialne,
• interesuje nas „rozkład” 8 sztuk na 3 rodzaje.

To znów kombinacje z powtórzeniami: C’(3, 8) = C(3 + 8 − 1, 8) = C(10, 8).

C(10, 8) = C(10, 2) = 10! / (2! · 8!) = (10 · 9) / 2 = 45.

Odpowiedź: Istnieje 45 możliwych sposobów dobrania liczby monet każdego rodzaju.

Mieszane zadania kombinatoryczne – dobór właściwego modelu

Strategia: jak rozpoznać, czego użyć

Przy zadaniu kombinatorycznym dobrze jest zadać sobie po kolei kilka pytań:

Lista kontrolna do klasyfikacji zadania

Pomaga proste „drzewko decyzyjne”. Przy każdym punkcie odpowiedz tak/nie i zawężaj model.

1. Czy elementy się powtarzają?
   • Nie → przejdź do pkt 2.
   • Tak → przejdź do pkt 3.
2. Bez powtórzeń:
   • Czy kolejność ma znaczenie?
     • Tak → wariacje bez powtórzeń V(n, k), a gdy bierzemy wszystkie elementy – permutacje P(n).
     • Nie → kombinacje bez powtórzeń C(n, k).
3. Z powtórzeniami:
   • Czy kolejność ma znaczenie?
     • Tak → wariacje z powtórzeniami V’(n, k) = n^k.
     • Nie → kombinacje z powtórzeniami C’(n, k) = C(n + k − 1, k).

Przykład 18: Hasło komputerowe – jaki model?

Zadanie: Użytkownik tworzy 4-znakowe hasło, używając tylko cyfr od 0 do 9. Ta sama cyfra może pojawić się wiele razy. Na ile sposobów można utworzyć takie hasło?

Dobór modelu:

• mamy 10 różnych cyfr → n = 10,
• hasło ma 4 znaki → k = 4,
• cyfra może się powtarzać → powtórzenia dozwolone,
• kolejność znaków ma znaczenie (1234 to inne hasło niż 4321).

To dokładnie wariacje z powtórzeniami: V’(10, 4) = 10⁴.

Obliczenia:

10⁴ = 10 · 10 · 10 · 10 = 10000.

Odpowiedź: Można utworzyć 10000 różnych haseł.

Przykład 19: Reprezentanci na konkurs a model permutacji

Zadanie: Z klasy wybiera się 3 różne osoby na funkcje: przewodniczący, zastępca i skarbnik. W klasie jest 25 uczniów. Ile jest możliwych obsad tych funkcji?

Dobór modelu:

• osób jest 25 → n = 25,
• funkcji jest 3 → wybieramy 3 osoby → k = 3,
• osoba nie może pełnić dwóch funkcji naraz → bez powtórzeń,
• kolejność ma znaczenie, bo funkcje są różne (inna obsada, gdy Ania jest przewodniczącą, a Bartek skarbnikiem, niż na odwrót).

To wariacje bez powtórzeń: V(25, 3).

Obliczenia:

V(25, 3) = 25 · 24 · 23.

Można zostawić w tej postaci albo policzyć dokładnie:

25 · 24 = 600, a 600 · 23 = 13800.

Odpowiedź: Istnieje 13800 możliwych obsad funkcji.

Typowe pułapki przy rozwiązywaniu zadań

W zadaniach szkolnych ciągle pojawiają się te same błędy. Znajomość kilku z nich pozwala ich unikać.

• Mylona rola kolejności. Uczniowie często liczą C(n, k) tam, gdzie trzeba V(n, k), lub odwrotnie. Dobrze jest na chwilę „ucieleśnić” sytuację i zadać sobie pytanie: czy przestawienie tych samych osób/elementów zmienia wynik?
• Ukryte powtórzenia. Np. w hasłach, numerach telefonów, zakupach produktów – zwykle można powtarzać symbole lub towary, choć nie jest to jasno wypowiedziane.
• Liczenie dwa razy tego samego. Kiedy zadanie składa się z kilku etapów, trzeba uważać, by zliczane przypadki się nie nakładały. Czasem pomaga podział na rozłączne przypadki.
• Zła interpretacja słów „losowanie”, „przydział”, „podział”. „Losowanie 6 liczb z 49” to kombinacje, a „ustawienie 6 osób w kolejce” – permutacje 6-elementowe.

Zadania treningowe z odpowiedziami

Zadanie 20: Kod z liter bez powtórzeń

Treść: Z liter A, B, C, D, E tworzymy 3-literowe kody, przy czym nie wolno powtarzać liter. Na ile sposobów można utworzyć taki kod?

Model: 5 liter, wybieramy 3, kolejność ma znaczenie, bez powtórzeń → wariacje bez powtórzeń V(5, 3).

V(5, 3) = 5 · 4 · 3 = 60.

Odpowiedź: 60 różnych kodów.

Zadanie 21: Podział miejsc w ławce

Treść: W ławce siedzą 4 osoby. Nauczyciel prosi, aby usiadły w nowej kolejności. Ile różnych ustawień 4-osobowego rzędu jest możliwych?

Model: ustawiamy wszystkie 4 osoby w kolejności → permutacje 4-elementowego zbioru: P(4) = 4!.

4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24.

Odpowiedź: 24 ustawienia.

Zadanie 22: Wybór komisji egzaminacyjnej

Treść: Z 10 nauczycieli trzeba wybrać 4-osobową komisję egzaminacyjną. Kolejność osób w komisji nie ma znaczenia. Na ile sposobów można ją wybrać?

Model: wybór 4 osób z 10, bez powtórzeń, kolejność nieistotna → kombinacje bez powtórzeń: C(10, 4).

C(10, 4) = 10! / (4! · 6!) = (10 · 9 · 8 · 7) / (4 · 3 · 2 · 1) = 5040 / 24 = 210.

Odpowiedź: 210 komisji.

Zadanie 23: Pudełko czekoladek – z powtórzeniami

Treść: W sklepie są 3 rodzaje czekoladek. Klient chce kupić pudełko zawierające 10 czekoladek (rodzaj może się powtarzać dowolną liczbę razy). Na ile sposobów można dobrać skład pudełka, jeśli liczy się tylko liczba sztuk każdego rodzaju?

Model: 3 rodzaje (n = 3), 10 sztuk razem (k = 10), powtórzenia dozwolone, kolejność nieistotna → kombinacje z powtórzeniami: C’(3, 10) = C(3 + 10 − 1, 10) = C(12, 10).

C(12, 10) = C(12, 2) = 12! / (2! · 10!) = (12 · 11) / 2 = 66.

Odpowiedź: 66 możliwych składów pudełka.

Zadanie 24: Numery szafek w szatni

Treść: Szatnia ma szafki ponumerowane liczbami dwucyfrowymi od 10 do 99. Ile jest możliwych numerów szafek, w których cyfry są różne?

Rozwiązanie:

Dwucyfrowy numer ma postać XY, gdzie X – cyfra dziesiątek (1–9), Y – cyfra jedności (0–9). Warunek: X ≠ Y.

• X można wybrać na 9 sposobów (1–9),
• dla ustalonego X cyfra Y może być dowolna z 10 cyfr poza X, więc 9 możliwości.

Liczba numerów = 9 · 9 = 81.

Odpowiedź: 81 numerów szafek z różnymi cyframi.

Zadanie 25: Trzyosobowy zespół i szef

Treść: W firmie jest 12 pracowników. Dyrektor chce:

• wybrać 3-osobowy zespół roboczy,
• a w nim wyznaczyć 1 osobę na szefa zespołu.

Na ile sposobów można dokonać takiego wyboru?

Rozwiązanie – metoda etapowa:

1. Najpierw wybieramy 3-osobowy zespół: C(12, 3).
2. Potem spośród tych 3 osób wybieramy szefa: 3 możliwości.

Liczba wszystkich możliwości to iloczyn:

C(12, 3) · 3 = [12! / (3! · 9!)] · 3 = (12 · 11 · 10 / 6) · 3.

12 · 11 · 10 = 1320, 1320 / 6 = 220, 220 · 3 = 660.

Odpowiedź: 660 sposobów.

Zadanie 26: Dwucyfrowa liczba z narzuconą sumą cyfr

Treść: Ile jest dwucyfrowych liczb naturalnych, których cyfry sumują się do 9?

Rozumowanie:

Szukamy par (a, b), gdzie:

• a – cyfra dziesiątek: 1–9,
• b – cyfra jedności: 0–9,
• a + b = 9.

Można wypisać wszystkie możliwości:

• a = 1 → b = 8 → 18,
• a = 2 → b = 7 → 27,
• a = 3 → b = 6 → 36,
• a = 4 → b = 5 → 45,
• a = 5 → b = 4 → 54,
• a = 6 → b = 3 → 63,
• a = 7 → b = 2 → 72,
• a = 8 → b = 1 → 81,
• a = 9 → b = 0 → 90.

Łącznie 9 liczb.

Odpowiedź: Jest 9 takich liczb.

Zadanie 27: Przydział projektów studentom

Treść: Na zajęciach jest 6 projektów do wyboru i 4 studentów. Każdy student wybiera dokładnie jeden projekt, projekty mogą się powtarzać (kilku studentów może wybrać ten sam projekt). Ile jest możliwych zbiorów wyborów, jeśli liczy się, kto co wybrał (student A wybiera co innego niż student B)?

Model: 4 „osoby” wybierają spośród 6 opcji, opcje mogą się powtarzać, kolejność studentów ma znaczenie (inny wynik, gdy A wybierze projekt 1, a B projekt 2, niż odwrotnie). Każdy student to „miejsce” w wariacji z powtórzeniami:

n = 6, k = 4 → V’(6, 4) = 6⁴.

6⁴ = 6 · 6 · 6 · 6 = 1296.

Odpowiedź: 1296 możliwych przydziałów.

Zadanie 28: Rozdział identycznych cukierków

Treść: Nauczyciel ma 9 identycznych cukierków i chce je rozdać 4 uczniom (każdy może dostać 0, 1 lub więcej cukierków). Na ile sposobów można to zrobić, jeśli liczy się tylko liczba cukierków u każdego ucznia?

Model: rozdzielamy 9 identycznych obiektów na 4 „szuflady”. To klasyczne zadanie „gwiazdki i kreski”.

• n = 4 uczniów,
• k = 9 cukierków.

Liczba rozdziałów = C’(4, 9) = C(4 + 9 − 1, 9) = C(12, 9) = C(12, 3).

C(12, 3) = 12! / (3! · 9!) = (12 · 11 · 10) / 6 = 1320 / 6 = 220.

Odpowiedź: 220 sposobów rozdziału.

Zadanie 29: Wybór półfinałów w turnieju

Treść: W turnieju bierze udział 8 zawodników. Do półfinału przechodzi 4 z nich. Ile jest możliwych składów półfinału?

Model: wybieramy 4 osoby z 8, kolejność nie ma znaczenia (liczy się tylko, kto przeszedł), bez powtórzeń → kombinacje bez powtórzeń C(8, 4).

C(8, 4) = 8! / (4! · 4!) = (8 · 7 · 6 · 5) / (4 · 3 · 2 · 1) = 1680 / 24 = 70.

Odpowiedź: 70 możliwych składów półfinału.

Zadanie 30: Łączone wybory – liczenie przez przypadki

Treść: W bibliotece są książki:

• 5 powieści,
• 3 atlasy,
• 2 tomiki poezji.

Najczęściej zadawane pytania (FAQ)

Czym się różnią permutacje, wariacje i kombinacje?

Permutacje dotyczą ustawiania wszystkich elementów w kolejności – wykorzystujemy cały zbiór i każdy element pojawia się dokładnie raz. Wzór na liczbę permutacji zbioru n‑elementowego to n!.

Wariacje opisują wybór tylko części elementów, ale z uwzględnieniem kolejności. W wariacjach bez powtórzeń tworzymy uporządkowane ciągi długości k z n różnych elementów: V(n, k) = n! / (n − k)!. Kombinacje natomiast opisują wybór części elementów bez znaczenia kolejności: C(n, k) = n! / (k! (n − k)!).

Skąd mam wiedzieć, czy w zadaniu użyć permutacji, wariacji czy kombinacji?

Najpierw odpowiedz sobie na trzy pytania:

• Czy kolejność ma znaczenie?
• Czy elementy mogą się powtarzać?
• Czy wybieram wszystkie elementy, czy tylko część?

Jeśli ustawiasz wszystkie elementy w kolejności i bez powtórzeń – używasz permutacji. Jeśli wybierasz część elementów i kolejność jest ważna – wariacje. Jeśli wybierasz część elementów i kolejność nie ma znaczenia – kombinacje. Gdy w treści dopuszczalne jest wielokrotne użycie tego samego elementu, korzystasz z wersji „z powtórzeniami”.

Kiedy stosuje się permutacje z powtórzeniami i jaki jest wzór?

Permutacje z powtórzeniami stosujemy, gdy permutujemy wszystkie elementy, ale część z nich się powtarza, np. litery w słowie „MAMA” czy „KARAKTER”. Zwykłe n! zawyżyłoby wynik, bo traktuje powtarzające się elementy jak różne.

Jeśli mamy razem n elementów, wśród których:

• k₁ elementów jest identycznych jednego typu,
• k₂ elementów jest identycznych innego typu,
• … ,
• kₘ elementów jest identycznych m‑tego typu,

i k₁ + … + kₘ = n, to liczba permutacji wynosi:
P = n! / (k₁! · k₂! · … · kₘ!).

Jaki jest wzór na wariacje bez powtórzeń i jak go rozumieć?

Wariacje bez powtórzeń opisuje wzór:
V(n, k) = n · (n − 1) · (n − 2) · … · (n − k + 1) = n! / (n − k)!.
Oznacza on liczbę wszystkich uporządkowanych k‑elementowych ciągów, które można zbudować z n różnych elementów bez powtórzeń.

Interpretacja krokowa jest prosta: na pierwsze miejsce mamy n możliwości, na drugie (n − 1), na trzecie (n − 2), aż do (n − k + 1). Mnożąc te liczby, otrzymujemy dokładnie V(n, k).

Jak rozpoznać, że mam do czynienia z kombinacjami, a nie wariacjami?

Jeśli w zadaniu wybierasz podzbiór elementów (np. drużynę, komisję, zestaw książek) i nie interesuje cię kolejność wylosowania/wyboru, masz do czynienia z kombinacjami. Zestaw {A, B, C} jest wtedy tym samym co {C, B, A}.

Jeżeli natomiast ta sama grupa elementów może być ułożona na różnych pozycjach i to „gdzie kto stoi” lub „na którym miejscu jest” ma znaczenie (np. przydział miejsc 1., 2., 3.), to trzeba użyć wariacji, bo liczy się kolejność.

Jak rozwiązywać zadania typu „elementy obok siebie” w permutacjach (metoda bloków)?

W zadaniach, w których pewne elementy muszą stać obok siebie (np. litery K i O w jednym słowie), traktuje się je jako jeden blok. Najpierw liczymy permutacje „zgrubionej” listy elementów (z blokiem jako jednym obiektem), a następnie mnożymy wynik przez liczbę sposobów ułożenia elementów wewnątrz bloku.

Schemat:

• Tworzysz blok z elementów, które mają być razem.
• Liczasz liczbę permutacji wszystkich elementów wraz z blokiem.
• Mnożysz przez liczbę możliwych wewnętrznych ułożeń w bloku (np. 2! dla dwóch liter).

Esencja tematu

• Kombinatoryka służy do liczenia liczby możliwych sposobów wyboru, ustawiania i łączenia elementów, co ma zastosowanie m.in. w zadaniach z prawdopodobieństwa, egzaminach i olimpiadach.
• Klucz do poprawnego rozwiązania zadania kombinatorycznego to trzy pytania: czy liczy się kolejność, czy elementy mogą się powtarzać oraz czy wybieramy wszystkie elementy, czy tylko część.
• Permutacje opisują ustawianie w kolejności wszystkich elementów zbioru bez powtórzeń; ich liczba dla zbioru n-elementowego wynosi P(n) = n!.
• Gdy w zbiorze występują powtórzenia, liczbę permutacji oblicza się przez podzielenie n! przez iloczyn silni k1!, k2!, …, km! odpowiadających licznościom identycznych elementów.
• Typ zadania (permutacje, wariacje, kombinacje, wersje z powtórzeniami) można dobrać według prostego schematu: ustawianie wszystkich elementów → permutacje; wybór części z ważną kolejnością → wariacje; wybór części bez znaczenia kolejności → kombinacje; możliwość wielokrotnego użycia elementu → wersje z powtórzeniami.
• W zadaniach z warunkami typu „elementy muszą stać obok siebie” wygodnie jest stosować metodę bloków, traktując grupę wymaganych elementów jako jeden „super–element” do ustawienia.
• Poprawne rozpoznanie typu sytuacji (ustawianie, wybór z kolejnością lub bez, obecność powtórzeń) sprawia, że wybór wzoru jest logiczny i mechaniczny, bez zgadywania.