Co to znaczy, że funkcja jest rosnąca lub malejąca? Odpowiedź dla ucznia i nauczyciela

Intuicyjne znaczenie funkcji rosnącej i malejącej

Obrazowe wyjaśnienie: spacer po wykresie

Gdy ktoś pyta, co to znaczy, że funkcja jest rosnąca lub malejąca, najłatwiej wyjaśnić to na obrazku. Wyobraź sobie, że wykres funkcji to ścieżka w górach, a Ty idziesz po niej od lewej do prawej (tak jak czyta się liczby na osi X).

Jeśli podczas tego spaceru cały czas idziesz pod górę – czyli im bardziej w prawo, tym jesteś wyżej – to ta funkcja jest rosnąca. Jeśli natomiast cały czas schodzisz w dół – im bardziej w prawo, tym niżej – to jest to funkcja malejąca. Jeżeli ścieżka ma fragmenty płaskie, górki i dołki na przemian, to funkcja nie jest „ładnie” rosnąca ani malejąca na całym przedziale, a jedynie na pewnych jego częściach.

Kluczowe jest patrzenie od lewej do prawej. Jeśli ktoś „śledzi” wykres w drugą stronę, od prawej do lewej, to łatwo o pomyłkę i błędne wnioski na temat tego, czy funkcja jest rosnąca, czy malejąca.

Przykłady z życia codziennego

Nie trzeba od razu wchodzić w formalne definicje. Wystarczą zwykłe sytuacje:

• Cena paliwa w czasie – jeśli w każdym kolejnym tygodniu cena jest większa niż w poprzednim, to „funkcja ceny od czasu” jest rosnąca na tym przedziale tygodni.
• Poziom paliwa w baku podczas jazdy – gdy jedziesz i nie tankujesz, poziom paliwa maleje. Funkcja „ilość paliwa w baku” od przejechanej drogi jest malejąca.
• Wzrost dziecka względem wieku – w pewnym przedziale lat wzrost zwykle się zwiększa, więc funkcję można w przybliżeniu traktować jako rosnącą (choć niekoniecznie „idealnie” w sensie matematycznym).

Te obrazki pomagają uczniowi złapać intuicję: rosnąca = im dalej w prawo, tym wyżej; malejąca = im dalej w prawo, tym niżej. Reszta to doprecyzowanie tej intuicji językiem matematyki.

Dlaczego dla matematyki to takie ważne?

Pojęcie funkcji rosnącej i malejącej pojawia się:

• w analizie wykresów funkcji w gimnazjum i liceum,
• przy rozwiązywaniu równań i nierówności (szczególnie z wartością bezwzględną, logarytmami, funkcjami wykładniczymi),
• w analizie matematycznej (ekstrema, monotoniczność, pochodne),
• w ekonomii (dochód rośnie/maleje przy zmianie ceny, produkcji itp.).

Bez jasnego zrozumienia, kiedy funkcja jest rosnąca lub malejąca, trudno poprawnie interpretować wykresy, a wiele zadań zamienia się w zgadywanie. Dla nauczyciela jest to też świetne narzędzie, by uczyć myślenia „co się stanie, jeśli zmienię X?” – czyli myślenia przyczynowo-skutkowego.

Formalne definicje: kiedy funkcja jest rosnąca lub malejąca?

Definicja funkcji rosnącej – wersja szkolna

Niech będzie dana funkcja f, określona na jakimś zbiorze liczb (na przykład na przedziale). Mówimy, że funkcja jest rosnąca na danym przedziale, jeśli dla każdych dwóch różnych argumentów z tego przedziału zachodzi:

Jeśli x₁ < x₂, to f(x₁) < f(x₂).

Innymi słowy: większemu argumentowi odpowiada większa wartość funkcji. Tę zależność można zapisać w prostym schemacie:

• x rośnie (x₁ < x₂) ⇒ f(x) rośnie (f(x₁) < f(x₂)).

Ta reguła musi być spełniona dla każdej pary różnych argumentów z danego przedziału, nie tylko „średnio” czy „z grubsza”. Wystarczy jeden „błąd”, jeden niepasujący odcinek wykresu, by funkcja przestała być rosnąca na całym przedziale.

Definicja funkcji malejącej – wersja szkolna

Analogicznie, funkcja jest malejąca na przedziale, gdy dla wszystkich różnych x₁, x₂ z tego przedziału:

Jeśli x₁ < x₂, to f(x₁) > f(x₂).

Zatem:

• x rośnie (x₁ < x₂) ⇒ f(x) maleje (f(x₁) > f(x₂)).

Argument większy → wartość funkcji mniejsza. Na wykresie: im dalej w prawo, tym niżej.

Przyrost argumentu i przyrost wartości – praktyczne spojrzenie

W wielu podręcznikach używa się pojęcia przyrostu:

• przyrost argumentu: Δx = x₂ − x₁,
• przyrost wartości funkcji: Δy = f(x₂) − f(x₁).

Dla funkcji rosnącej na danym przedziale:

• jeśli Δx > 0, to Δy > 0,
• czyli przesuwając się w prawo (większy argument), przesuwasz się w górę (większa wartość funkcji).

Dla funkcji malejącej:

• jeśli Δx > 0, to Δy < 0,
• czyli przesuwając się w prawo, zjeżdżasz w dół po wykresie.

Związek między przyrostem argumentu i wartości funkcji to wygodny sposób na tłumaczenie uczniom sensu monotoniczności bez odwoływania się za każdym razem do definicji z x₁, x₂.

Funkcja rosnąca, nierosnąca, niemalejąca – ważne rozróżnienia

Rosnąca a niemalejąca – subtelna, ale istotna różnica

W matematyce odróżnia się funkcję rosnącą od funkcji niemalejącej:

• funkcja rosnąca: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂) (ścisła nierówność),
• funkcja niemalejąca: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂) (dopuszczamy równość).

Niemalejąca może mieć długie „płaskie” odcinki, gdzie wartość się nie zmienia, ale też nigdy nie spada. Rosnąca natomiast nie może mieć takiego płaskiego odcinka – każdemu większemu argumentowi musi odpowiadać ściśle większa wartość.

Przykład:

• funkcja stała f(x) = 3 jest niemalejąca, ale nie jest rosnąca,
• funkcja f(x) = x na przedziale [0; 5] jest rosnąca i jednocześnie niemalejąca.

Malejąca a nierosnąca

Odpowiednio dla „w dół”:

• funkcja malejąca: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂),
• funkcja nierosnąca: x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂).

Przykład:

• funkcja stała f(x) = −5 jest nierosnąca, ale nie jest malejąca,
• funkcja f(x) = −x jest na całej prostej malejąca i jednocześnie nierosnąca.

W zadaniach szkolnych często używa się słów „rosnąca” i „malejąca”, mając na myśli odpowiednio „niemalejącą” i „nierosnącą”. Dobrze jednak, by nauczyciel znał subtelną różnicę, bo pojawia się ona np. w analizie ciągów i dowodach.

Funkcja stała – szczególny przypadek

Funkcja stała, np. f(x) = 7, ma wykres w postaci poziomej prostej. Z definicji:

• nie jest rosnąca ani malejąca (w sensie ścisłym),
• jest jednocześnie niemalejąca i nierosnąca.

Dla ucznia warto na początku podkreślić: „stała” nie rośnie i nie maleje – jest „płaska”. Na późniejszym etapie można dopiero wprowadzać pojęcia „nierosnąca” i „niemalejąca”, by nie mieszać zbyt wcześnie.

Rozsądne używanie słowa „na przedziale”

Monotoniczność na całej dziedzinie a na fragmencie

Funkcja może być:

• rosnąca na całej dziedzinie (np. f(x) = 2x + 1 na R),
• rosnąca lub malejąca tylko na pewnych przedziałach (np. f(x) = x² na (−∞; 0) jest malejąca, a na (0; +∞) rosnąca).

Dlatego precyzyjne sformułowanie brzmi:

Funkcja jest rosnąca (malejąca) na przedziale I, jeśli … (i tu wchodzi definicja).

Unikanie zdań typu „funkcja x² jest rosnąca” bez doprecyzowania przedziału chroni uczniów przed nieporozumieniami. Lepiej powiedzieć: „funkcja x² jest rosnąca na (0; +∞) i malejąca na (−∞; 0)”.

Otwarte i domknięte przedziały – czy to ma znaczenie?

Z punktu widzenia definicji monotoniczności, nie ma znaczenia, czy przedział jest:

• otwarty: (a; b),
• domknięty: [a; b],
• półotwarty: (a; b], [a; b).

W definicji porównujemy tylko argumenty wewnątrz dziedziny. Na końcach przedziału i tak nie da się wziąć „większego” i „mniejszego” elementu jednocześnie. Ważniejsze jest, by funkcja była określona na danym przedziale – np. jeśli wykres ma „dziurę”, to na tym przedziale nie można mówić o jednolitej monotoniczności.

Typowe pułapki przy mówieniu o przedziałach

Kilka błędów, które często pojawiają się w szkolnych odpowiedziach:

• „Funkcja jest rosnąca od 2 do 5, bo w tabeli dla x = 2, 3, 4, 5 wartości rosną” – pomijany jest fakt, że być może między 2 a 3 wykres ma „załamanie”. Tabelka z kilkoma punktami nie zawsze wystarczy, by orzec monotoniczność na całym przedziale.
• „Funkcja jest rosnąca wszędzie, gdzie x > 0” – a na wykresie widać wyraźny garb. Brakuje sprawdzenia definicji poprzez porównanie różnych par punktów.
• „Funkcja jest rosnąca i malejąca na R” – co zazwyczaj jest po prostu sprzeczne; często uczeń ma na myśli, że ma „fragment rosnący” i „fragment malejący”. Wtedy poprawne zdanie: „Funkcja jest malejąca na (−∞; 0) i rosnąca na (0; +∞)”.

Jak rozpoznać z wykresu, że funkcja jest rosnąca lub malejąca?

Prosta metoda „kropek” na wykresie

Bardzo praktyczna metoda dla ucznia: na wykresie wybieramy dwa punkty A(x₁, f(x₁)) i B(x₂, f(x₂)) tak, by:

• x₁ < x₂ (punkt A jest bardziej „na lewo” niż punkt B),
• patrzymy, która z wartości jest wyżej.

Jeśli zawsze, dla takich par, punkt „bardziej na prawo” (x₂) leży wyżej na wykresie – funkcja jest rosnąca. Jeśli zawsze leży niżej – jest malejąca.

Sprawdzanie monotoniczności „lokalnie” i „globalnie”

Przy oglądaniu wykresu dobrze rozróżnić dwa spojrzenia:

• lokalne – co dzieje się „w okolicy” danego punktu,
• globalne – co dzieje się na całym rozważanym przedziale.

Można mieć wykres, który w małym fragmencie wygląda na rosnący (na krótkim odcinku cały czas idzie do góry), ale jeśli „oddalimy się” i spojrzymy na większy przedział, okaże się, że wcześniej był spadek. Funkcja może więc:

• być rosnąca lokalnie w jakimś miejscu,
• ale nie być rosnąca globalnie na większym przedziale.

W zadaniach szkolnych zwykle chodzi o monotoniczność na konkretnie podanym przedziale, np. „na odcinku [−2; 4]”. Dobrze jest wtedy:

1. na wykresie zaznaczyć sobie ten przedział,
2. patrzeć tylko na część wykresu między tymi punktami,
3. sprawdzić, czy na całym tym fragmencie funkcja tylko rośnie, tylko maleje czy ma „złamania”.

Jak uniknąć pomyłek przy odczytywaniu z wykresu

Kilka prostych nawyków mocno ułatwia analizę:

• Patrz wzdłuż osi x – ręką możesz zasłonić część wykresu i przesuwać ją wzdłuż osi poziomej. Obserwujesz wtedy, czy „końcówka” wykresu, którą widzisz, idzie ogólnie w górę, w dół, czy raz tak, raz tak.
• Nie oceniaj po dwóch punktach – to, że między x = 1 a x = 2 wartości rosną, nie oznacza jeszcze, że funkcja jest rosnąca na całym większym przedziale, np. [−3; 5].
• Szanuj „garby” i „dołki” – każdy widoczny na wykresie lokalny szczyt lub dolina oznacza zmianę kierunku. Tam zwykle kończy się jeden przedział monotoniczności, a zaczyna inny.

Przykłady typowych wykresów z analizy monotoniczności

Dobrze jest mieć kilka „wzorców” w głowie:

• Prosta o dodatnim współczynniku kierunkowym (np. y = 2x − 1) – rośnie na całej prostej; im dalej w prawo, tym wyżej.
• Prosta o ujemnym współczynniku (np. y = −3x + 4) – maleje wszędzie; im dalej w prawo, tym niżej.
• Parabola „uśmiechnięta” (y = x²) – maleje po lewej stronie wierzchołka, rośnie po prawej.
• Parabola „smutna” (y = −x²) – rośnie po lewej stronie wierzchołka, maleje po prawej.

Przy każdym takim wykresie można wziąć dwa punkty o różnych współrzędnych x i ręcznie sprawdzić definicję – to dobre ćwiczenie zarówno dla ucznia, jak i na tablicy podczas lekcji.

Monotoniczność a wzór funkcji – podejście „bez wykresu”

Proste funkcje liniowe

Dla funkcji liniowej w postaci:

y = ax + b

decydujący jest współczynnik a:

• gdy a > 0 – funkcja jest rosnąca na całej swojej dziedzinie (zwykle na R),
• gdy a < 0 – funkcja jest malejąca na całej dziedzinie,
• gdy a = 0 – funkcja jest stała (y = b), czyli niemalejąca i nierosnąca.

To świetny punkt wyjścia do rozmów z uczniami o tym, że „kierunek” prostej wynika z liczby a – dodatnia „ciągnie” wykres w górę, ujemna w dół.

Funkcje kwadratowe i rola wierzchołka

Dla funkcji kwadratowej:

y = ax² + bx + c,   a ≠ 0

kluczowy jest wierzchołek paraboli. Jego współrzędna x wynosi:

x_w = −&frac;b;{2a}

Na tej podstawie:

• jeśli a > 0 (parabola „uśmiechnięta”):
  • funkcja jest malejąca na (−∞; x_w),
  • funkcja jest rosnąca na (x_w; +∞);
• jeśli a < 0 (parabola „smutna”):
  • funkcja jest rosnąca na (−∞; x_w),
  • funkcja jest malejąca na (x_w; +∞).

Uczeń może policzyć x_w, narysować szkic wykresu i oznaczyć strzałkami, gdzie wykres opada, a gdzie wznosi się. Taki schemat pomaga zrozumieć zadania typu: „podaj przedziały, na których funkcja jest rosnąca i malejąca”.

Proste „testy” monotoniczności bez rachunku pochodnych

Nawet bez znajomości pochodnych można użyć kilku sztuczek:

• Porównanie wartości – dla dwóch wybranych x₁ < x₂ policzyć f(x₁) i f(x₂). Jeśli za każdym razem (dla różnych par) wychodzi f(x₁) < f(x₂), mamy mocną przesłankę, że funkcja jest rosnąca na rozpatrywanym odcinku.
• Uwzględnienie kształtu wzoru – np. funkcje postaci f(x) = x³, f(x) = √x (dla x ≥ 0) mają znany ogólny kształt: pierwsza rośnie na całej R, druga rośnie na [0; +∞).
• Analiza „składników” funkcji – jeśli złożymy kilka funkcji, które mają znaną monotoniczność, można czasem wnioskować o całości (np. dodanie funkcji stałej nie zmienia monotoniczności).

Monotoniczność a pochodna – wersja dla nauczyciela

Pochodna jako „tempo zmiany” funkcji

Na poziomie szkoły średniej dochodzi narzędzie, które bardzo elegancko opisuje związek między rośnięciem a malejącym wykresu: pochodna. Dla funkcji różniczkowalnej w punkcie x₀, pochodna f′(x₀) opisuje:

• jak szybko zmienia się wartość funkcji,
• czy lokalnie funkcja rośnie (pochodna dodatnia), czy maleje (pochodna ujemna).

W języku szkolnym można to przedstawić jako „nachylenie stycznej do wykresu w danym punkcie”. Dodatnie nachylenie – wykres idzie w górę, ujemne – w dół, zerowe – fragment jest lokalnie płaski.

Podstawowe twierdzenie o monotoniczności i pochodnej

Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna na przedziale (a; b), to:

• jeśli dla każdego x z (a; b) zachodzi f′(x) > 0, to f jest rosnąca na (a; b),
• jeśli dla każdego x z (a; b) zachodzi f′(x) < 0, to f jest malejąca na (a; b).

W wersji osłabionej (z nierównościami nieścisłymi) dostaje się odpowiednio warunki na niemalejącość i nierosnącość. To jest punkt, w którym definicja z x₁, x₂ łączy się z rachunkiem różniczkowym.

Typowy schemat zadania z pochodną

W praktyce analiza monotoniczności z użyciem pochodnej przebiega zwykle według stałego planu:

1. Oblicz pochodną funkcji f′(x).
2. Rozwiąż nierówność f′(x) > 0 oraz f′(x) < 0 – znajdź przedziały, na których pochodna ma stały znak.
3. Na osi x zaznacz punkty, w których f′(x) = 0 lub f′(x) nie istnieje.
4. Na wyznaczonych odcinkach między tymi punktami określ znak pochodnej (np. przez podstawienie jednego x).
5. Wnioskuj: gdzie f′(x) > 0 – tam funkcja rośnie; gdzie f′(x) < 0 – tam maleje.

Tak opracowany „szkielet” warto wielokrotnie przerobić na prostych przykładach: funkcje liniowe, kwadratowe, wymierne z prostymi mianownikami.

Monotoniczność w zadaniach tekstowych i praktycznych interpretacjach

Interpretacja w kontekście wzrostu i spadku wielkości fizycznych

Monotoniczność nie jest wyłącznie abstrakcyjnym pojęciem. Pojawia się w opisach:

• wysokości rośliny w czasie,
• poziomu wody w zbiorniku,
• zysku lub kosztu w zależności od liczby wyprodukowanych sztuk.

Jeśli wykres „poziom wody od czasu” jest rosnący na pewnym odcinku, oznacza to, że w tym czasie woda cały czas przybywa. Jeśli gdzieś pojawia się odcinek malejący – w tym okresie poziom wody systematycznie opada. Płaszczyzna (odcinek stały) oznacza stabilizację.

Odczytywanie informacji opisowych

W zadaniach tekstowych informacja o monotoniczności może być podana opisowo, np.:

• „Przez pierwsze dwie godziny temperatura rosła, potem przez kolejną godzinę była stała, a następnie spadała”.

Z takiego opisu od razu widać przedziały:

• funkcja jest rosnąca na (0; 2),
• stała na (2; 3),
• malejąca na (3; …).

Ucznia można zachęcać, by dopisywał sobie słowa „funkcja rosnąca”, „funkcja malejąca” wprost nad fragmentami wykresu lub osi czasu – porządkuje to myślenie.

Związek z maksimum i minimum

Tam, gdzie:

• funkcja przestaje rosnąć i zaczyna maleć,

zwykle pojawia się maksimum lokalne. Odwrotnie:

• gdy funkcja przestaje maleć i zaczyna rosnąć,

występuje minimum lokalne. Zaznaczenie tych punktów pomaga „pociąć” wykres na przedziały monotoniczności. To proste narzędzie, dzięki któremu łatwiej jest opisywać zachowanie funkcji na kolejnych odcinkach.

Strategie nauczania monotoniczności

Budowanie intuicji przed formalną definicją

Dobrze jest zaczynać od:

• rysowania prostych wykresów (liniowych, schodkowych, prostych funkcji z życia, np. „cena biletu od wieku”),
• zadawania prostych pytań: „czy tutaj wykres idzie w górę, w dół, czy jest płaski?”.

Dopiero kiedy uczeń potrafi to opisać własnymi słowami, pojawia się sens wprowadzenia formalnej definicji z x₁, x₂. Definicja staje się wtedy uściśleniem czegoś, co już jest intuicyjnie znane.

Ćwiczenia łączące tabelę wartości, wykres i definicję

Skutecznej pracy sprzyjają zestawy zadań, w których:

• najpierw jest dana tabela wartości, uczeń ma „zgadnąć” z niej, czy funkcja może być rosnąca/malejąca na jakimś przedziale,
• potem pokazuje się wykres tej funkcji i porównuje wnioski,
• na końcu formułuje się to samo w języku definicji: „dla każdych x₁, x₂ z…”.

Takie kojarzenie trzech perspektyw – liczbowej, graficznej i symbolicznej – usuwa liczne nieporozumienia i utrwala ogólny obraz pojęcia.

Typowe błędne odpowiedzi – jak je konstruktywnie wykorzystać

Zamiast tylko poprawiać błąd, warto go wykorzystać jako punkt wyjścia do rozmowy. Przykłady:

• Uczeń pisze: „funkcja jest rosnąca, bo ma maksimum”. Można dopytać: „Czy rośnie także po maksimum? Co dzieje się z wykresem dalej?”. To naturalnie prowadzi do pojęcia przedziałów monotoniczności.

Interpretacja błędów związanych z „kawałkami” wykresu

Częsty kłopot pojawia się wtedy, gdy funkcja jest zdefiniowana „kawałkami”, np.:

f(x) =

• 2x + 1 dla x ≤ 0,
• x² + 1 dla x > 0.

Uczeń może napisać: „na całej dziedzinie funkcja jest rosnąca”, bo:

• 2x + 1 rośnie dla x ≤ 0,
• x² + 1 też rośnie dla x > 0 (dla x > 0 funkcja x² rośnie).

Brakuje jednego kroku: porównania wartości „po lewej” i „po prawej” stronie punktu 0. Warto poprosić ucznia, by:

• policzył f(0) z pierwszego wzoru,
• policzył wartość funkcji dla argumentu bardzo bliskiego 0 z prawej strony (np. f(0,1)),
• zobaczył, czy „przeskok” jest w górę, czy w dół.

Taki drobny zabieg uczy, że określanie monotoniczności wymaga patrzenia na cały przedział, a nie tylko na pojedyncze części wzoru.

Mylenie „większego x” z „większą odległością od zera”

Inny typowy błąd: przy funkcji f(x) = x² pada stwierdzenie, że „funkcja jest rosnąca, bo większe wartości x dają większe kwadraty”. Uczeń ma w głowie poprawne skojarzenie dla x ≥ 0, ale przenosi je na całą prostą. W tej sytuacji pomaga krótka wymiana zdań:

• „Które jest większe: −1 czy 0?”
• „A które jest większe: f(−1) czy f(0)?”

Zderzenie odpowiedzi (x rośnie, a f(x) w tym miejscu maleje) wizualnie pokazuje, że „większe w sensie liczbowym” nie znaczy „dalej od zera”.

Wykorzystanie zadań odwróconych

Dobrą techniką są zadania odwrócone, w których to uczeń ma dopasować definicję lub wykres do opisu słownego. Przykładowe polecenia:

• „Zaznacz wszystkie wykresy funkcji rosnących na całej dziedzinie”.
• „Napisz wzór funkcji, która jest malejąca na (−∞; 0) oraz rosnąca na (0; +∞)”.

Przy drugim typie zadań da się zebrać kilka różnych pomysłów uczniów i porównać, które z nich spełniają warunki definicji, a które tylko „wyglądają dobrze” na szybko narysowanym szkicu.

Łączenie monotoniczności z innymi własnościami funkcji

Monotoniczność rzadko występuje w zadaniach w całkowitej izolacji. Najczęściej łączy się ją z:

• dziedziną funkcji,
• miejscami zerowymi,
• wartościami największymi i najmniejszymi,
• symetrią wykresu.

Warto więc od czasu do czasu przygotować zadanie, w którym jedno krótkie polecenie dotyczy monotoniczności, inne – miejsc zerowych, a kolejne – ekstremów. Uczeń uczy się wtedy, że opis funkcji to spójna całość, a nie oddzielne „działki” materiału.

Monotoniczność w pracy z funkcjami złożonymi i przekształceniami wykresów

Wpływ prostych przekształceń na kierunek „ruchu” wykresu

Dla nauczyciela dobrym mostem między intuicją a rachunkiem jest omawianie, co dzieje się z monotonicznością przy prostych modyfikacjach funkcji. Dla ucznia z kolei to sprytny sposób na szybkie wnioskowanie bez liczenia. Kilka schematów:

• Dodanie stałej: jeśli g(x) = f(x) + k, to g ma te same przedziały monotoniczności co f. Wykres tylko przesuwa się w górę lub w dół.
• Mnożenie przez dodatnią stałą: jeśli g(x) = a·f(x), a > 0, to kształt „w górę/w dół” pozostaje ten sam, zmienia się jedynie „stromość” wykresu.
• Mnożenie przez stałą ujemną: jeśli g(x) = a·f(x), a < 0, to wszystkie przedziały rosnące zamieniają się w malejące i odwrotnie (odbicie wykresu względem osi Ox).

Przykład z życia: wykres „odległość od domu w zależności od czasu” zazwyczaj jest rosnący, jeśli się oddalamy. Przemnożenie przez −1 daje wykres „ujemnej odległości”, który idzie w przeciwną stronę, ale to nadal ta sama droga – tylko inaczej opisana na osi Oy.

Przesunięcia wzdłuż osi Ox

Funkcje typu g(x) = f(x − a) warto rozpatrywać jako „ten sam wykres przesunięty w prawo o a”. Wówczas:

• przedziały monotoniczności też po prostu się przesuwają – rośnięcie i malejenie nie znikają, tylko zaczynają się przy innych argumentach,
• łatwo zbudować zadanie: „funkcja f jest rosnąca na (1; 3). Wyznacz przedziały monotoniczności funkcji g(x) = f(x − 2)”.

Uczeń, który potrafi w myślach przesunąć wykres, szybko zauważy, że nowy przedział rośnięcia to (3; 5).

Funkcje złożone i „łańcuszek” znaków

Przy funkcjach złożonych typu h(x) = f(g(x)) opłaca się oddzielić dwa poziomy:

• monotoniczność funkcji zewnętrznej f,
• monotoniczność funkcji wewnętrznej g.

Jeżeli:

• f jest rosnąca,
• g jest rosnąca,

to złożenie h jest rosnące (większy argument g daje większą wartość f). Natomiast:

• f rosnąca, g malejąca → h malejąca,
• f malejąca, g rosnąca → h malejąca,
• f malejąca, g malejąca → h rosnąca.

Dla klasy maturalnej można to zgrabnie powiązać z regułą łańcuchową dla pochodnych: znak pochodnej funkcji złożonej jest iloczynem znaków pochodnych „po drodze”.

Zadania i mini-scenariusze lekcji wokół monotoniczności

Krótka rozgrzewka graficzna

Lekcję, na której głównym tematem jest monotoniczność, da się zacząć od pięciominutowej rozgrzewki:

1. Nauczyciel rysuje na tablicy trzy różne wykresy (mogą być odręczne szkice): funkcji stałej, rosnącej i „góry” z maksimum.
2. Uczniowie dostają karteczki z napisami: „ROŚNIE”, „MALEJE”, „STAŁA” i przyklejają je nad odpowiednimi fragmentami wykresów.
3. Następnie zamienia się opisy graficzne na język przedziałów i symboli (<, >).

Taka aktywność „odblokowuje” intuicję, po której łatwiej przejść do rachunku lub definicji formalnej.

Warsztat z tablicą wartości

Ćwiczenie, które dobrze sprawdza się również w nauczaniu indywidualnym:

1. Podaj uczniowi tabelę wartości, np. dla funkcji wymiernej lub kwadratowej w pobliżu wierzchołka.
2. Poproś o:
   • zaznaczenie miejsc, gdzie „liczby w tabeli rosną”,
   • zaznaczenie miejsc, gdzie „liczby maleją”.
3. Dopiero potem wprowadź zapis typu: „f jest rosnąca na (1; 3)”.

W ten sposób definicja nie pojawia się w próżni – jest interpretacją zachowania konkretnej kolumny liczb.

Mini-projekt: opis wykresu w języku potocznym i matematycznym

W starszych klasach można zlecić krótką pracę w parach:

• Jedna osoba opisuje wykres słownie, w języku naturalnym („najpierw szybko rośnie, potem rośnie wolniej, potem przez chwilę jest stały, a na koniec powoli maleje”).
• Druga osoba zapisuje to, używając symboli: przedziały, nierówności, oznaczenia typu „funkcja jest rosnąca/malejąca/stała”.

Następnie role się odwracają. Taki trening uczy tłumaczenia między „językiem opowieści” a językiem matematycznym, co jest niezwykle przydatne przy rozwiązywaniu zadań tekstowych.

Łączenie monotoniczności z wykresem pochodnej

Na rozszerzeniu efektywna bywa praca z dwoma wykresami jednocześnie: f oraz f′. Można przygotować zadania typu:

• „Na podstawie wykresu f′ określ, gdzie funkcja f rośnie, a gdzie maleje”.
• „Narysuj schematycznie możliwy wykres f, wiedząc, że wykres pochodnej przecina oś Ox w punktach x = −1 i x = 2”.

Uczeń dość szybko łapie zasadę:

• f′ > 0 → f rośnie,
• f′ < 0 → f maleje,
• f′ = 0 → kandydat na ekstremum lub odcinek stały.

Dodatkowo można dodać element „śledzenia historii”: „opisz słownie, co dzieje się z funkcją f, idąc od lewej do prawej po osi x, na podstawie wykresu f′”.

Monotoniczność jako narzędzie rozumowania i argumentacji

Uzasadnianie jednoznaczności rozwiązań równań

Znajomość monotoniczności pozwala w prosty sposób argumentować, że równanie ma co najwyżej jedno rozwiązanie. Przykład:

• f jest rosnąca na całej swojej dziedzinie,
• równanie f(x) = 5 ma dwa różne rozwiązania x₁ i x₂, x₁ < x₂.

Dla funkcji rosnącej:

• z x₁ < x₂ wynika f(x₁) < f(x₂),

a to przeczy założeniu, że obie wartości są równe 5. Zostaje więc możliwość: co najwyżej jedno rozwiązanie. Taki typ rozumowania pojawia się w zadaniach olimpijskich w wersji bardziej rozbudowanej, ale jego rdzeń jest prosty i dostępny dla ucznia licealnego.

Porównywanie funkcji bez rysowania dokładnych wykresów

Jeżeli wiadomo, że dwie funkcje są:

• rosnące,
• mają tę samą wartość w jednym punkcie,
• a dodatkowo jedna z nich rośnie „szybciej” (ma większą pochodną),

to da się porównać ich wartości na całym przedziale bez rysowania dokładnych wykresów. W prostszej wersji (bez pochodnej) ten pomysł realizuje się w zadaniach typu:

• „Czy f(x) > g(x) dla wszystkich x > 0, jeśli wiesz, że f jest rosnąca, g malejąca, a w punkcie 0 mają tę samą wartość?”

Uczniowie mogą tutaj odwoływać się do obrazowego rozumowania: jedna funkcja cały czas „idzie w górę”, druga „schodzi w dół” – po minięciu punktu wspólnego już się nie spotkają.

Tworzenie własnych przykładów i kontrprzykładów

Na pewnym etapie nauki warto oddać inicjatywę uczniom. Propozycje zadań:

• „Wymyśl funkcję, która jest rosnąca na (−∞; 0) i malejąca na (0; +∞), ale nie jest parabolą”.
• „Znajdź przykład funkcji, która nigdzie nie jest stała, a mimo to nie jest ani rosnąca, ani malejąca na żadnym niepustym przedziale”.

Dyskusja nad takimi przykładami i kontrprzykładami wzmacnia rozumienie definicji. Uczeń, który sam „zbudował” coś działającego lub specjalnie łamiącego regułę, dużo lepiej orientuje się potem w zawiłościach zadań egzaminacyjnych.

Najczęściej zadawane pytania (FAQ)

Co to znaczy, że funkcja jest rosnąca?

Funkcja jest rosnąca na danym przedziale, gdy dla każdych dwóch różnych liczb z tego przedziału spełniony jest warunek: jeśli pierwsza liczba jest mniejsza (x₁ < x₂), to wartość funkcji dla niej też jest mniejsza (f(x₁) < f(x₂)). Krócej: większemu x odpowiada większe f(x).

Na wykresie oznacza to, że idąc po wykresie od lewej do prawej, cały czas „wchodzisz pod górę” – im dalej w prawo, tym wyżej leży punkt wykresu.

Co to znaczy, że funkcja jest malejąca?

Funkcja jest malejąca na danym przedziale, gdy dla każdych dwóch różnych liczb z tego przedziału zachodzi: jeśli x₁ < x₂, to f(x₁) > f(x₂). Czyli większemu argumentowi odpowiada mniejsza wartość funkcji.

Na wykresie: idąc od lewej do prawej, „schodzisz w dół” – im bardziej w prawo, tym niżej znajduje się wykres funkcji.

Jak łatwo rozpoznać na wykresie, czy funkcja rośnie czy maleje?

Patrz zawsze od lewej do prawej strony wykresu (tak jak rosną liczby na osi X). Jeśli wykres „pnie się w górę”, to na tym fragmencie funkcja jest rosnąca. Jeśli „zjeżdża w dół”, funkcja jest malejąca.

Jeżeli wykres ma na przemian górki, dołki i odcinki płaskie, to funkcja nie jest rosnąca ani malejąca na całej dziedzinie, tylko na pewnych przedziałach. Wtedy mówi się np. „funkcja rośnie na (0; 2), a maleje na (2; 5)”.

Czym się różni funkcja rosnąca od niemalejącej?

Różnica tkwi w rodzaju nierówności w definicji:

• funkcja rosnąca: jeśli x₁ < x₂, to f(x₁) < f(x₂) (ścisła nierówność),
• funkcja niemalejąca: jeśli x₁ < x₂, to f(x₁) ≤ f(x₂) (może być równość).

Funkcja niemalejąca może mieć płaskie fragmenty, gdzie wartość się nie zmienia, ale nigdy nie spada. Funkcja rosnąca takich płaskich odcinków mieć nie może – każdemu większemu x musi odpowiadać ściśle większe f(x).

Czym się różni funkcja malejąca od nierosnącej?

Podobnie jak wyżej:

• funkcja malejąca: jeśli x₁ < x₂, to f(x₁) > f(x₂),
• funkcja nierosnąca: jeśli x₁ < x₂, to f(x₁) ≥ f(x₂).

Funkcja nierosnąca może mieć odcinki poziome (stałe), ale jej wartość nigdy nie rośnie. Funkcja ściśle malejąca nie może być na żadnym odcinku „płaska” – dla większego x wartość musi być ściśle mniejsza.

Czy funkcja stała jest rosnąca lub malejąca?

Funkcja stała, np. f(x) = 5, ma wykres w postaci poziomej prostej. W sensie ścisłym nie jest ani rosnąca, ani malejąca, ponieważ dla różnych x wartości funkcji są równe, a definicje rosnącej/malejącej wymagają odpowiednio f(x₁) < f(x₂) lub f(x₁) > f(x₂).

Z definicji jest natomiast jednocześnie niemalejąca i nierosnąca: jej wartości ani nie rosną, ani nie maleją – pozostają niezmienne.

Dlaczego trzeba podawać przedział, na którym funkcja rośnie lub maleje?

Ta sama funkcja może być rosnąca na jednym fragmencie, a malejąca na innym. Klasyczny przykład to f(x) = x²: funkcja jest malejąca na (−∞; 0), a rosnąca na (0; +∞). Jeśli powiemy tylko „funkcja x² jest rosnąca”, będzie to nieprecyzyjne i w pewnym sensie nieprawdziwe.

Dlatego poprawne sformułowanie brzmi: „funkcja jest rosnąca (malejąca) na przedziale I, jeśli…”. Podanie przedziału pozwala uniknąć nieporozumień przy analizie wykresów i rozwiązywaniu zadań.

Najbardziej praktyczne wnioski

• Intuicja: funkcja rosnąca to taka, której wykres „idzie pod górę”, gdy patrzymy od lewej do prawej; funkcja malejąca „schodzi w dół” w tym samym kierunku.
• W życiu codziennym funkcja rosnąca opisuje np. systematyczny wzrost cen w czasie, a funkcja malejąca – ubywanie paliwa w baku podczas jazdy bez tankowania.
• Formalnie funkcja jest rosnąca na przedziale, gdy dla każdych x₁ < x₂ zachodzi f(x₁) < f(x₂); jest malejąca, gdy dla każdych x₁ < x₂ mamy f(x₁) > f(x₂).
• Zależność między przyrostami: dla funkcji rosnącej dodatni przyrost argumentu (Δx > 0) daje dodatni przyrost wartości (Δy > 0), a dla funkcji malejącej – ujemny (Δy < 0).
• Różnica pojęć: funkcja rosnąca wymaga ścisłego zwiększania wartości (brak odcinków poziomych), natomiast funkcja niemalejąca może mieć długie fragmenty stałe, byle wartości nigdy nie malały.
• Analogicznie, funkcja malejąca musi mieć wartości ściśle mniejsze dla większych argumentów, a funkcja nierosnąca może mieć odcinki stałe, byle wartości nigdy nie rosły.
• Zrozumienie monotoniczności (rosnąca/malejąca, niemalejąca/nierosnąca) jest kluczowe do poprawnego czytania wykresów, rozwiązywania równań i nierówności oraz analizy zjawisk w matematyce i ekonomii.

Jeśli spodobał Ci się ten artykuł, sprawdź też:

• 

  Funkcje na maturze: typowe pułapki i jak je ominąć

• 

  Jak czytać wykres funkcji?

• 

  Co to naprawdę znaczy „granica funkcji”?

• 

  Monotoniczność i przedziały – jak analizować funkcje?

• 

  Układ współrzędnych: jak odczytywać punkty i rysować…

• 

  Granica funkcji – intuicja, definicja, zastosowanie