Zadania z rachunku prawdopodobieństwa: losowania, drzewa i rozwiązania

Czym jest rachunek prawdopodobieństwa w zadaniach z losowaniami

Intuicja losowania a formalne pojęcie prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa zaczyna się tam, gdzie pojawia się losowanie: kart, kul z urny, osób do kontroli, numerów w loterii. Za każdym takim doświadczeniem losowym stoi ten sam schemat: zbiór możliwych wyników, pewne zdarzenie, które nas interesuje, oraz liczba sposobów, na które może ono wystąpić.

W klasycznym ujęciu, gdy każdy wynik jest jednakowo prawdopodobny, prawdopodobieństwo zdarzenia A liczymy jako:

P(A) = liczba korzystnych wyników / liczba wszystkich możliwych wyników.

Przykładowo, przy losowaniu jednej karty z pełnej talii, liczba wszystkich możliwych wyników to 52, a liczba korzystnych wyników przy pytaniu „wypadnie pik” to 13 (bo jest 13 pików). Stąd:

P(pik) = 13 / 52 = 1 / 4.

Niezależnie od tego, czy chodzi o talię, kule w urnie, czy uczniów w klasie – mechanizm jest podobny. Różnica pojawia się wtedy, gdy realizujemy wiele kroków losowania albo zmieniamy warunki (np. losowanie bez zwracania vs ze zwracaniem). Właśnie wtedy zaczynają się zadania, w których drzewa prawdopodobieństwa stają się bardzo wygodnym narzędziem.

Zdarzenia elementarne, złożone i ich kombinacje

Podstawą rachunku prawdopodobieństwa jest rozbijanie zadań na proste składniki. Zdarzenie, którego wynik da się opisać jednym, prostym rezultatem, to zdarzenie elementarne. Na przykład:

• wyrzucenie „3” w rzucie symetryczną kostką,
• wylosowanie asa pik w jednorazowym losowaniu karty,
• wyciągnięcie czerwonej kuli z urny z kulami czerwonymi i białymi.

Jeśli interesuje nas kilka takich zdarzeń naraz, mówimy o zdarzeniu złożonym. Przykłady:

• wyrzucenie parzystej liczby oczek (2, 4 lub 6),
• wylosowanie karty figury (walet, dama, król),
• wylosowanie dwóch czerwonych kul pod rząd.

W zadaniach z losowaniami często pojawiają się klasyczne operacje na zdarzeniach:

• Suma zdarzeń – „albo to, albo tamto” (np. wypadnie as lub król),
• Część wspólna – „i to, i tamto naraz” (np. wypadnie as pik – jednocześnie as i pik),
• Dopełnienie – „wszystko oprócz danego zdarzenia” (np. nie wypadnie ani as, ani król).

Drzewa prawdopodobieństwa są w praktyce wizualizacją kolejnych elementarnych kroków losowania oraz ich kombinacji; pozwalają prześledzić je w zorganizowany sposób, zamiast improwizować liczenie „z głowy”.

Dlaczego losowania i drzewa są tak popularnym typem zadań

Losowania i drzewa pojawiają się w arkuszach maturalnych, kolokwiach i zadaniach domowych, ponieważ łączą w sobie kilka kluczowych kompetencji:

• rozumienie kombinatoryki – liczenie liczby możliwych wyników,
• umiejętność rozbijania problemu na etapy – kolejne losowania,
• logiczne myślenie – co jest zdarzeniem, co jest wynikiem, co jest warunkiem,
• praca z ułamkami i proporcjami – czyli zwykłe obliczenia, ale w kontekście losowym.

Kto opanuje zadania z losowaniami i tworzenie drzewa prawdopodobieństwa, ten ma solidny fundament do zadań trudniejszych: z warunkowym prawdopodobieństwem, zmiennymi losowymi czy rozkładami.

Losowania z urny – podstawowy model zadań

Losowanie bez zwracania – zależność kolejnych kroków

Jeśli po wyciągnięciu elementu (kuli, karty, osoby) nie zwracamy go z powrotem, to liczność zbioru wyników w kolejnych krokach się zmienia. Prawdopodobieństwo zależy wtedy od tego, co wydarzyło się wcześniej – zdarzenia są zależne.

Przykład: W urnie są 3 czerwone i 2 białe kule. Losujemy kolejno 2 kule bez zwracania. Jakie jest prawdopodobieństwo, że obie będą czerwone?

1. Pierwsza kula jest czerwona: P = 3/5 (3 czerwone z 5 wszystkich).
2. Druga kula jest czerwona pod warunkiem, że pierwsza była czerwona:
   • pozostają 2 czerwone i 2 białe, razem 4,
   • prawdopodobieństwo: 2/4 = 1/2.

Stąd:

P(2 czerwone bez zwracania) = (3/5) · (1/2) = 3/10.

Właśnie taki przykład niezwykle przejrzyście rozpisuje się za pomocą drzewa prawdopodobieństwa: pierwszy poziom – pierwsza kula, drugi poziom – druga kula, na każdej krawędzi odpowiednie prawdopodobieństwo.

Losowanie ze zwracaniem – niezależność losowań

Jeżeli po każdym losowaniu zwracamy element do urny i mamy wciąż tę samą pulę możliwych wyników, kolejne losowania są niezależne. Prawdopodobieństwo konkretnego wyniku w drugim losowaniu nie zależy od tego, co wypadło w pierwszym.

Dla poprzedniego przykładu (3 czerwone, 2 białe kule) załóżmy teraz, że po każdym losowaniu kula wraca do urny. Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch czerwonych kul:

• pierwsza czerwona: P = 3/5,
• druga czerwona – bez względu na pierwszą: P = 3/5.

Zatem:

P(2 czerwone ze zwracaniem) = (3/5) · (3/5) = 9/25.

Różnica względem losowania bez zwracania jest istotna: przy zwracaniu szanse „nie spadają” po każdym sukcesie, bo liczność zbioru się nie zmienia. W zadaniach egzaminacyjnych często to właśnie ten szczegół: „ze zwracaniem”/„bez zwracania” decyduje o poprawnym rozwiązaniu.

Porównanie losowania ze zwracaniem i bez zwracania

Zestawienie obu modeli w prostej tabeli pozwala szybciej wychwycić różnice, które wpływają na korzystanie z drzewa prawdopodobieństwa.

Świadome rozróżnienie tych dwóch przypadków to najprostszy filtr, który eliminuje sporą część typowych błędów w zadaniach z losowaniami.

Drzewa prawdopodobieństwa – budowa i zasady

Jak krok po kroku zbudować drzewo prawdopodobieństwa

Drzewo prawdopodobieństwa to schemat, który pokazuje wszystkie możliwe sekwencje wyników w kolejnych etapach losowania. Konstrukcja przebiega zwykle według podobnego algorytmu:

1. Zidentyfikuj etapy losowania – np. pierwszy rzut monetą, drugi rzut, trzecie losowanie karty.
2. Wypisz możliwe wyniki każdego etapu – np. orzeł/reszka; czerwona/biała; wygrana/przegrana.
3. Od punktu startowego „rozgałęź” drzewo – z korzenia wychodzą gałęzie odpowiadające wynikom pierwszego etapu.
4. Z każdego węzła narysuj gałęzie kolejnego etapu – każda gałąź powinna być opisana:
   • wynikiem danego kroku (np. „czerwona kula”),
   • prawdopodobieństwem tego wyniku na tym etapie.
5. Na końcu każdej gałęzi (liść) opisz pełną sekwencję wyników oraz oblicz jej prawdopodobieństwo jako iloczyn prawdopodobieństw na kolejnych krawędziach.
6. Zsumuj prawdopodobieństwa tych liści, które odpowiadają szukanemu zdarzeniu.

Drzewo pozwala świetnie oddzielić dwie rzeczy: strukturę możliwych scenariuszy (gałęzie) oraz obliczenie ich łącznych prawdopodobieństw (iloczyny oraz sumy tych iloczynów).

Iloczyn wzdłuż gałęzi i suma po odpowiednich gałęziach

W zadaniach z drzewem prawdopodobieństwa ważne są dwie proste reguły rachunkowe:

• Iloczyn wzdłuż gałęzi: prawdopodobieństwo konkretnej sekwencji wyników to iloczyn prawdopodobieństw poszczególnych etapów na tej gałęzi – odpowiada to zdarzeniu typu „A i B i C”.
• Suma po gałęziach: gdy szukane zdarzenie może zrealizować się na kilka sposobów (różne ścieżki drzewa), trzeba zsumować prawdopodobieństwa odpowiednich liści – odpowiada to zdarzeniu typu „(A1 i B1) lub (A2 i B2)”.

Przykład: W urnie są 2 czerwone i 1 biała kula. Losujemy dwie bez zwracania. Interesuje nas zdarzenie „dokładnie jedna kula czerwona”.

1. Możliwe sekwencje:
   • czerwona, potem biała (C-B),
   • biała, potem czerwona (B-C).
2. Drzewo:
   • pierwsza: C (2/3) lub B (1/3),
   • druga po C: zostaje 1 C, 1 B → P(B | C) = 1/2,
   • druga po B: zostają 2 C, 0 B → P(C | B) = 1.
3. Iloczyny wzdłuż gałęzi:
   • P(C-B) = (2/3) · (1/2) = 1/3,
   • P(B-C) = (1/3) · 1 = 1/3.
4. Suma po gałęziach odpowiadających zdarzeniu:
   • P(dokładnie jedna czerwona) = 1/3 + 1/3 = 2/3.

Taki wzorzec „iloczyn-wzdłuż, suma-po” przewija się w większości zadań z drzewami prawdopodobieństwa.

Typowe błędy przy rysowaniu drzew

Najczęstsze problemy w pracy z drzewami prawdopodobieństwa wynikają z pośpiechu lub małej dbałości o szczegóły. W praktyce powtarzają się w kółko te same błędy:

• Pominięte gałęzie – założenie, że coś „nie może się zdarzyć”, choć jest możliwe; na przykład brak gałęzi dla sytuacji, w której wylosowano „gorszy” wynik, bo autorowi zadania chodzi o „sukcesy”. Tymczasem drzewo powinno odzwierciedlać wszystkie wyniki, nie tylko te pożądane.
• Brak uwzględnienia zmiany liczby elementów – w losowaniu bez zwracania często powtarza się ta sama liczba w mianowniku na wszystkich gałęziach, jakby po każdym losowaniu liczność się nie zmieniała.
• Błędne sumowanie – zamiast sumować liście odpowiadające różnym scenariuszom, uczniowie czasem „sumują” prawdopodobieństwa kolejnych etapów na jednej gałęzi (zamiast je mnożyć), co jest fundamentalnym błędem.
• Niewłaściwe użycie niezależności – w losowaniach bez zwracania zakładanie, że kolejne kroki są niezależne („bo to nadal losowanie”), co prowadzi do błędnego wzoru P(A i B) = P(A)P(B) zamiast P(A i B) = P(A)P(B | A).

Solidnie narysowane drzewo często chroni przed tymi pomyłkami, bo wymusza zastanowienie się: co jest na każdej gałęzi, czy wszystkie scenariusze są ujęte, czy sumy prawdopodobieństw w danym poziomie są sensowne (np. sumują się do 1).

Proste zadania z losowaniami – krok po kroku

Przykład: losowanie kart z talii – jedno losowanie

Na początek warto opanować zadania jednowarstwowe, w których nie trzeba jeszcze rysować drzewa. Przykład:

Z pełnej talii 52 kart losujemy jedną kartę. Oblicz prawdopodobieństwo, że:

1. jest to as,
2. jest to karta kier,
3. jest to figura (walet, dama, król),
4. jest to as lub król,
5. jest to jednocześnie as i pik.

Rozwiązanie prostych zadań z talią kart

W takich zadaniach kluczowe jest spokojne policzenie liczby sprzyjających wyników oraz wszystkich możliwych wyników. Dla pełnej talii 52 kart mianownik jest zawsze ten sam: 52. Zaczynamy więc od policzenia odpowiednich liczników.

1. Prawdopodobieństwo, że wylosowana karta jest asem
   • w talii są 4 asy,
   • wszystkich kart jest 52.

   P(„as”) = 4/52 = 1/13.

2. Prawdopodobieństwo, że wylosowana karta jest kierem
   • w talii są 4 kolory, każdy po 13 kart → 13 kierów,
   • wszystkich kart: 52.

   P(„kier”) = 13/52 = 1/4.

3. Prawdopodobieństwo, że wylosowana karta jest figurą
   • figury: walet, dama, król → 3 figury w jednym kolorze,
   • kolorów: 4 → 3 · 4 = 12 figur,
   • wszystkich kart: 52.

   P(„figura”) = 12/52 = 3/13.

4. Prawdopodobieństwo, że karta jest asem lub królem
   • asów: 4,
   • królów: 4,
   • zbiory „asy” i „króle” nie nachodzą na siebie (brak wspólnych kart),
   • suma sprzyjających kart: 4 + 4 = 8.

   P(„as lub król”) = 8/52 = 2/13.

5. Prawdopodobieństwo, że karta jest jednocześnie asem i pikiem
   • „as pik” to dokładnie jedna, konkretna karta w talii,
   • sprzyja tylko 1 karta z 52.

   P(„as pik”) = 1/52.

Przy takich zadaniach przydaje się umiejętność rozróżniania sytuacji, gdy dwa warunki mogą zachodzić jednocześnie („i”) oraz gdy rozpatrujemy ich alternatywę („lub”) – bez tego łatwo pomylić się przy liczeniu liczby korzystnych kart.

Losowanie kilku kart bez zwracania – zadanie z drzewem i bez

Przy przechodzeniu do losowań wielokrotnych można iść dwiema drogami: albo rysować drzewo, albo korzystać z prostych reguł kombinatorycznych. Dla nauki rachunku prawdopodobieństwa dobrze jest na początku zobaczyć obie techniki na tym samym przykładzie.

Przykład:

Z talii 52 kart losujemy dwie karty bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że:

1. obie karty są asami,
2. dokładnie jedna karta jest asem.

Rozwiązanie z użyciem drzewa

Na pierwszym poziomie drzewa rozróżniamy wynik „as” i „nie as”. Na drugim poziomie – ponownie „as”/„nie as”, ale z innymi prawdopodobieństwami, bo losowanie jest bez zwracania.

• Pierwsze losowanie:
  • P(A) = 4/52 (as),
  • P(¬A) = 48/52 (nie as).
• Drugie losowanie:
  • jeżeli w pierwszym losowaniu był as: zostały 3 asy i 48 nie asów → 51 kart,
    • P(A | A) = 3/51,
    • P(¬A | A) = 48/51;
  • jeżeli w pierwszym losowaniu nie było asa: zostały 4 asy i 47 nie asów → 51 kart,
    • P(A | ¬A) = 4/51,
    • P(¬A | ¬A) = 47/51.

Teraz wystarczy policzyć iloczyny wzdłuż gałęzi.

1. Obie karty asy (A-A):
   • P(A-A) = P(A) · P(A | A) = (4/52) · (3/51) = (4 · 3)/(52 · 51) = 12/2652 = 1/221.
2. Dokładnie jedna karta jest asem:
   • możliwe sekwencje: A-¬A lub ¬A-A,
   • P(A-¬A) = P(A) · P(¬A | A) = (4/52) · (48/51),
   • P(¬A-A) = P(¬A) · P(A | ¬A) = (48/52) · (4/51).

Iloczyny są równe, więc można policzyć jeden i pomnożyć razy 2:

P(A-¬A) = (4/52) · (48/51) = (4 · 48)/(52 · 51).
P(dokładnie jeden as) = 2 · (4 · 48)/(52 · 51).

Po uproszczeniu (skracanie przez 4, 3 itd.) dostajemy często wynik w postaci ułamka właściwego, ale w zadaniach szkolnych nie jest wymagane maksymalne uproszczenie – ważne, żeby zapis był poprawny rachunkowo.

Rozwiązanie kombinatoryczne (bez drzewa)

Ten sam wynik można otrzymać, podchodząc do zadania „od strony liczenia zestawów kart”. Taka metoda bywa szybsza, gdy mamy opanowane podstawy kombinatoryki.

• wszystkich dwuelementowych podzbiorów z 52 kart:
  • (binom{52}{2}) = liczba wszystkich możliwych par kart.

1. Obie karty asy
   • asów jest 4, z nich wybieramy 2:
     (binom{4}{2}) = 6,
   • P(2 asy) = (dfrac{binom{4}{2}}{binom{52}{2}}).

   Wynik ten po obliczeniu numerycznym również daje ułamek 1/221.

2. Dokładnie jedna karta jest asem
   • wybieramy jednego asa z 4: (binom{4}{1} = 4),
   • oraz jedną kartę nie będącą asem z 48: (binom{48}{1} = 48),
   • łączna liczba korzystnych par: 4 · 48,
   • P(dokładnie jeden as) = (dfrac{4 · 48}{binom{52}{2}}).

Ta metoda w naturalny sposób pojawia się na maturze rozszerzonej, ale drzewo nadal stanowi dobre zaplecze kontrolne – pozwala sprawdzić, czy nie pominięto jakiejś grupy konfiguracji.

Zadania tekstowe z losowaniami – jak przekładać treść na model

Wydarzenia z życia codziennego jako zdarzenia losowe

Wiele zadań szkolnych brzmi dość „suche”, ale mechanizmy stojące za rachunkiem prawdopodobieństwa wcale nie są teoretyczne. Prosty przykład: sklep internetowy losowo przydziela rabaty nowym klientom, losowo wybierasz miejsce w kinie, system rekrutacyjny losowo ustala kolejność rozmów – wszystko to można zmodelować jako losowania ze zbioru możliwości.

Sedno pracy z takim zadaniem to przełożenie opisu słownego na trzy elementy:

• przestrzeń wyników (‘co konkretnie się może zdarzyć’),
• prawdopodobieństwa elementarnych wyników (wszystkie równe czy nie?),
• szukane zdarzenie (‘co ma zajść’).

Przykład tekstowy: rekrutacja do projektu

W pewnym projekcie zgłosiło się 8 uczniów, w tym 3 dziewczyny i 5 chłopców. Losowo wybiera się 3 osoby do zespołu, bez możliwości powtórzeń. Oblicz prawdopodobieństwo, że w zespole znajdzie się:

1. dokładnie jedna dziewczyna,
2. co najmniej jedna dziewczyna.

Model i rozwiązanie

Najpierw opisujemy model:

• osób łącznie: 8,
• dziewczyny: 3, chłopcy: 5,
• wybieramy 3 osoby jednocześnie (bez kolejności, bez zwracania).

Liczba wszystkich możliwych trzyosobowych zespołów:
(binom{8}{3}).

1. Dokładnie jedna dziewczyna
   • wybieramy 1 dziewczynę z 3: (binom{3}{1} = 3),
   • oraz 2 chłopców z 5: (binom{5}{2} = 10),
   • korzystne zespoły: 3 · 10 = 30,
   • P(dokładnie jedna dziewczyna) = (dfrac{30}{binom{8}{3}}).
2. Co najmniej jedna dziewczyna

   Można rozbić to na przypadki (1 dziewczyna, 2 dziewczyny, 3 dziewczyny) albo skorzystać z komplementarnego podejścia: policzyć prawdopodobieństwo, że w zespole nie ma żadnej dziewczyny i odjąć od 1.

   • zespół bez dziewczyn = 3 osoby wybrane tylko z 5 chłopców:
     (binom{5}{3}),
   • P(brak dziewczyn) = (dfrac{binom{5}{3}}{binom{8}{3}}),
   • P(co najmniej jedna dziewczyna) = 1 − P(brak dziewczyn)
     = (1 – dfrac{binom{5}{3}}{binom{8}{3}}).

W wielu zadaniach wygodniej liczyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego i odjąć je od 1. Typowy sygnał, że to może być dobry pomysł, to sformułowania typu „co najmniej”, „przynajmniej”, „nie mniej niż”.

Przykład z warunkiem: test dwustopniowy

W pewnym teście komputerowym każdy uczestnik wykonuje dwa etapy. W każdym etapie wynik to „zdany” (Z) lub „niezdany” (N). Prawdopodobieństwo zdania jednego etapu wynosi 0,7. Zakładamy, że wyniki obu etapów są niezależne.

Oblicz prawdopodobieństwo, że:

1. uczestnik zda oba etapy,
2. uczestnik zda dokładnie jeden z dwóch etapów,
3. uczestnik nie zda żadnego z etapów.

Model drzewa i rachunki

Ponieważ etapy są niezależne, na obu poziomach drzewa używamy tych samych prawdopodobieństw:

• P(Z) = 0,7,
• P(N) = 0,3.

Możliwe sekwencje wyników:

• Z-Z,
• Z-N,
• N-Z,
• N-N.

1. Oba etapy zdane (Z-Z)
   • P(Z-Z) = P(Z) · P(Z) = 0,7 · 0,7 = 0,49.
2. Dokładnie jeden etap zdany
   • sekwencje: Z-N lub N-Z,
   • P(Z-N) = 0,7 · 0,3 = 0,21,
   • P(N-Z) = 0,3 · 0,7 = 0,21,
   • P(dokładnie jeden zdany) = 0,21 + 0,21 = 0,42.
3. Żaden etap niezdany (N-N)
   • P(N-N) = 0,3 · 0,3 = 0,09.

Suma prawdopodobieństw wszystkich czterech sekwencji (0,49 + 0,42 + 0,09) daje 1, co jest szybkim testem poprawności obliczeń w takim dwustopniowym modelu.

Drzewa dla większej liczby kroków i schemat Bernoulliego

Wielokrotne próby niezależne – wzór zamiast całego drzewa

Przy dwóch czy trzech krokach drzewo jest wygodne, ale przy większej liczbie prób szybko robi się nieporęczne. Rzut monetą 5 razy, gra losowa powtarzana 10 razy, ankieta wysyłana do 8 osób – pełne drzewo miałoby dziesiątki, a nawet setki liści.

Jeżeli każda próba ma tylko dwa możliwe wyniki (np. sukces/porażka) i prawdopodobieństwo sukcesu jest takie samo w każdym kroku, korzysta się z schematu Bernoulliego. Prawdopodobieństwo dokładnie (k) sukcesów w (n) próbach wyraża się wzorem:

(P(X = k) = binom{n}{k} p^{k} (1-p)^{n-k}),

gdzie:

• (n) – liczba powtórzeń doświadczenia (np. rzutów),
• (k) – liczba sukcesów, którą chcemy uzyskać,
• (p) – prawdopodobieństwo sukcesu w jednej próbie,
• (binom{n}{k}) – liczba sposobów ustawienia (k) sukcesów wśród (n) prób.

Przykład: wielokrotny rzut monetą

Rzucamy symetryczną monetą 5 razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że wypadną:

1. dokładnie 3 orły,
2. co najwyżej 2 orły.

Model Bernoulliego

• każdy rzut: orzeł (O) lub reszka (R),
• prawdopodobieństwo orła: p = 1/2,
• liczba prób: n = 5.

1. Dokładnie 3 orły
   • (k = 3),

   Kontynuacja przykładu: wielokrotny rzut monetą

   1. Dokładnie 3 orły
      • (k = 3),
      • (P(X = 3) = binom{5}{3} left(frac{1}{2}right)^3 left(frac{1}{2}right)^{5-3}
        = binom{5}{3} left(frac{1}{2}right)^5),
      • (binom{5}{3} = 10), więc
        (P(X = 3) = 10 cdot frac{1}{32} = frac{10}{32} = frac{5}{16}).
   2. Co najwyżej 2 orły

      „Co najwyżej 2” oznacza: 0, 1 lub 2 orły. Najwygodniej skorzystać z sumy kilku wartości schematu Bernoulliego.

      • (P(X = 0) = binom{5}{0} left(frac{1}{2}right)^0 left(frac{1}{2}right)^5 = 1 cdot frac{1}{32} = frac{1}{32}),
      • (P(X = 1) = binom{5}{1} left(frac{1}{2}right)^1 left(frac{1}{2}right)^4 = 5 cdot frac{1}{32} = frac{5}{32}),
      • (P(X = 2) = binom{5}{2} left(frac{1}{2}right)^2 left(frac{1}{2}right)^3 = 10 cdot frac{1}{32} = frac{10}{32}).

      Zbieramy wszystko razem:

      (P(X le 2) = frac{1}{32} + frac{5}{32} + frac{10}{32} = frac{16}{32} = frac{1}{2}.)

   Przy bardziej skomplikowanych prawdopodobieństwach, np. „od 2 do 4 sukcesów”, schemat Bernoulliego pozwala uniknąć rysowania wielkiego drzewa, a rachunek sprowadza się do zsumowania kilku iloczynów.

   Zadania z losowaniami bez zwracania – kulki, bilety, ankiety

   Model „urna z kulkami” i zależności między losowaniami

   Popularną wersją zadań z losowaniem bez zwracania jest opis w stylu „w urnie znajdują się kulki…”. Ten sam schemat kryje się za sytuacją wybierania biletów z pudełka, plików z folderu czy ankietowanych do badania – po każdym losowaniu liczba możliwych wyników się zmienia.

   Ważne punkty przy takim modelu:

   • prawdopodobieństwa w kolejnych krokach nie są stałe – zależą od tego, co wylosowano wcześniej,
   • do obliczeń można użyć albo drzewa, albo kombinatoryki (wybór podzbiorów),
   • przy większej liczbie losowań podejście kombinatoryczne jest zwykle szybsze.

   Przykład: losowanie kul bez zwracania

   W pudełku znajduje się 7 kul białych i 3 czarne. Losujemy kolejno 3 kule bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo, że:

   1. wszystkie wylosowane kule są białe,
   2. dokładnie jedna z nich jest czarna.

   Rozwiązanie kombinatoryczne

   Całkowita liczba trójek kul (bez uwzględniania kolejności):
   (binom{10}{3}).

   1. Trzy białe kule
      • białych kul jest 7, wybieramy 3:
        (binom{7}{3}),
      • P(3 białe) = (dfrac{binom{7}{3}}{binom{10}{3}}).
   2. Dokładnie jedna czarna
      • wymagamy 1 czarnej i 2 białych,
      • czarne: (binom{3}{1} = 3),
      • białe: (binom{7}{2} = 21),
      • korzystnych zestawów: 3 · 21 = 63,
      • P(dokładnie 1 czarna) = (dfrac{3 cdot 21}{binom{10}{3}}).

   Ten sam wynik można oczywiście dostać z drzewa, ale przy trzech i więcej losowaniach rozrysowanie wszystkich gałęzi zajęłoby sporo miejsca, a rachunki i tak sprowadzą się do podobnych kombinacji liczb.

   To samo zadanie rozwiązane drzewem

   Aby zobaczyć związek między liczeniem na drzewie a podejściem kombinatorycznym, weźmy pierwszy punkt zadania (3 białe kule) i policzmy go przy pomocy pełnego modelu wieloetapowego.

   • P(1. los – biała) = (7/10),
   • po wylosowaniu białej kul zostaje 6 białych i 3 czarne, razem 9:
   • P(2. los – biała | 1. biała) = (6/9),
   • po dwóch białych zostaje 5 białych i 3 czarne, razem 8:
   • P(3. los – biała | 2 białe) = (5/8).

   Prawdopodobieństwo, że wszystkie trzy kule są białe:

   (P(3 text{białe}) = frac{7}{10} cdot frac{6}{9} cdot frac{5}{8}
   = frac{7 cdot 6 cdot 5}{10 cdot 9 cdot 8}.)

   Zauważmy, że licznik to dokładnie liczba uporządkowanych sposobów wylosowania 3 białych kul, a mianownik – wszystkich uporządkowanych trójek. Po uproszczeniu otrzymamy ten sam wynik, co przy podejściu z (binom{7}{3} / binom{10}{3}).

   

   Zadania z kartami – bardziej rozbudowane konfiguracje

   Pary, trójki i układy „w stylu pokerowym”

   Standardowa talia 52 kart daje ogromną liczbę możliwych kombinacji. W zadaniach szkolnych zwykle nie wchodzi się w pełne układy pokerowe, ale schemat rozumowania jest ten sam: liczymy, na ile sposobów można utworzyć dany typ układu, i dzielimy przez liczbę wszystkich możliwych układów.

   Przykład: para kart o tej samej wartości

   Z talii 52 kart losujemy jednocześnie 5 kart. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród nich znajduje się dokładnie jedna para (dwie karty o tej samej wartości), a pozostałe 3 karty mają różne wartości między sobą i różne od pary.

   Model kombinatoryczny

   Najpierw liczba wszystkich możliwych pięciokartowych układów:
   (binom{52}{5}).

   Teraz policzmy liczbę układów spełniających warunki:

   1. Wybór wartości pary
      • talia ma 13 różnych wartości (A, K, Q, …, 2),
      • wybieramy 1 wartość na parę:
        (binom{13}{1} = 13).
   2. Wybór 2 kart spośród 4 o wybranej wartości
      • każda wartość występuje w 4 kolorach,
      • wybieramy 2 z 4:
        (binom{4}{2} = 6).
   3. Wybór wartości pozostałych 3 kart
      • muszą mieć inne wartości niż para i nie mogą tworzyć kolejnej pary ani trójki,
      • z pozostałych 12 wartości wybieramy 3 różne:
        (binom{12}{3}).
   4. Wybór konkretnych kart dla tych 3 wartości
      • dla każdej z 3 wartości mamy 4 możliwe kolory,
      • każdą wartość reprezentujemy dokładnie jedną kartą,
      • łączna liczba możliwości: (4^3).

   Łącznie liczba korzystnych układów:

   (N_{text{korzystne}} = 13 cdot binom{4}{2} cdot binom{12}{3} cdot 4^3.)

   Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie jednej pary:

   (P(text{dokładnie 1 para}) = dfrac{13 cdot binom{4}{2} cdot binom{12}{3} cdot 4^3}{binom{52}{5}}.)

   Podział na kolejne kroki (wybór wartości, potem konkretnych kart) jest wygodny także w innych zadaniach kartowych – np. przy liczeniu szans na trójkę, fulla czy kolora w prostych modelach.

   Zdarzenia niezależne i zależne w zadaniach z życia wziętych

   Losowanie z powtórzeniami – przykład z systemem PIN

   Część zadań opisuje losowania z zwracaniem, choć nie zawsze jest to powiedziane wprost. Typowy przykład: ktoś losowo „zgaduje” czterocyfrowy PIN do telefonu. Każda pozycja PIN-u może być dowolną cyfrą 0–9, cyfry mogą się powtarzać, a każde „losowanie” kolejnej cyfry nie zmienia rozkładu prawdopodobieństwa.

   Przykład: zgadywanie PIN-u

   PIN ma 4 cyfry, każda od 0 do 9. Zakładamy, że wszystkie 10 cyfr są jednakowo prawdopodobne na każdej pozycji i dobierane niezależnie. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo wybrany PIN:

   1. ma dokładnie dwie cyfry 7,
   2. nie zawiera cyfry 0.

   Model i rozwiązanie

   Łączna liczba możliwych PIN-ów:
   (10^4) (każda z 4 pozycji – 10 możliwości).

   1. Dokładnie dwie cyfry 7

      Traktujemy to jak schemat Bernoulliego, gdzie „sukces” = wylosowanie 7 na danej pozycji.

      • prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczym losowaniu: (p = 1/10),
      • liczba prób: (n = 4),
      • liczba sukcesów: (k = 2).

      Możemy pracować całkowicie kombinatorycznie (licząc konkretne kody) albo użyć wzoru:

      (P(text{dokładnie 2 siódemki}) = binom{4}{2} left(frac{1}{10}right)^2 left(frac{9}{10}right)^2.)

      Na poziomie „liczenia kodów” wygląda to tak:

      • wybieramy pozycje, na których stoi 7: (binom{4}{2}),
      • na pozostałych 2 pozycjach wstawiamy cyfry różne od 7: każda po 9 możliwości,
        razem (9^2),
      • korzystne PIN-y: (binom{4}{2} cdot 9^2),
      • P(dokładnie 2 siódemki) = (dfrac{binom{4}{2} cdot 9^2}{10^4}).

      Obie formy zapisu są równoważne.

   2. Brak cyfry 0
      • każda z 4 pozycji: może być 1, 2, …, 9 (9 możliwości),
      • PIN-y bez zera: (9^4),
      • P(brak zera) = (dfrac{9^4}{10^4}).

   Ten typ zadania często pojawia się także w kontekście generowania haseł, kodów rabatowych czy numerów seryjnych – zawsze schemat jest ten sam: ustalamy liczbę możliwości na każdej pozycji i uwzględniamy ograniczenia.

   Mieszanie podejść: drzewa, kombinatoryka i zdarzenia przeciwne

   Przykład złożony: ankieta telefoniczna

   Firma badawcza dzwoni losowo do 6 osób z dużej populacji. Prawdopodobieństwo, że dana osoba zgodzi się odpowiedzieć na ankietę, wynosi 0,4 i jest takie samo dla wszystkich telefonów, niezależnie od innych. Oblicz prawdopodobieństwo, że:

   1. dokładnie 2 osoby zgodzą się na udział,
   2. co najmniej 3 osoby odmówią.

   Model

   • każde połączenie kończy się „zgodą” (Z) lub „odmową” (O),
   • P(Z) = 0,4, P(O) = 0,6,
   • n = 6 niezależnych prób (połączeń).

   Rozwiązanie z wykorzystaniem schematu Bernoulliego

   1. Dokładnie 2 zgody

      Traktujemy zgodę jako „sukces”.

      • (k = 2), (p = 0,4),
      • (P(X = 2) = binom{6}{2} 0{,}4^2 cdot 0{,}6^{4}).
   2. Co najmniej 3 odmowy

      „Co najmniej 3 odmowy” to sytuacje: 3, 4, 5 lub 6 odmów. Można je sumować wprost, ale wygodniej użyć zdarzenia przeciwnego: „mniej niż 3 odmowy” – czyli 0, 1 lub 2 odmowy.

      Niech Y oznacza liczbę odmów. Wtedy:

      • P(Y = k) = (binom{6}{k} 0{,}6^k 0{,}4^{6-k}).

      Liczymy:

      • P(Y = 0) = (binom{6}{0} 0{,}6^0 0{,}4^6),
      • P(Y = 1) = (binom{6}{1} 0{,}6^1 0{,}4^5),

      Najczęściej zadawane pytania (FAQ)

      Jak liczyć prawdopodobieństwo w zadaniach z losowaniem z urny?

      W prostych zadaniach z losowaniem z urny korzysta się z klasycznej definicji prawdopodobieństwa:
      P(A) = (liczba wyników sprzyjających zdarzeniu A) / (liczba wszystkich możliwych wyników). Najpierw więc opisujesz dokładnie, jakie są możliwe wyniki doświadczenia (np. jakie kule mogą być wylosowane i w jakiej kolejności), a następnie liczysz, na ile sposobów może zajść interesujące Cię zdarzenie.

      Przykład: jeśli w urnie jest 3 czerwone i 2 białe kule, a losujemy 1 kulę, to wszystkich możliwych wyników jest 5, a korzystnych (czerwona) – 3. Stąd P(czerwona) = 3/5. Przy większej liczbie losowań zwykle trzeba uwzględnić kolejność zdarzeń oraz to, czy losujemy ze zwracaniem, czy bez.

      Jaka jest różnica między losowaniem ze zwracaniem a bez zwracania?

      Przy losowaniu bez zwracania element, który raz został wylosowany, nie wraca do puli. Oznacza to, że liczba elementów w kolejnych krokach maleje, a prawdopodobieństwa w kolejnych losowaniach zależą od tego, co wylosowano wcześniej. Zdarzenia są wtedy zależne, a zapis typu P(A i B) = P(A) · P(B | A) uwzględnia tę zależność.

      Przy losowaniu ze zwracaniem po każdym losowaniu element wraca do urny. Pula możliwych wyników się nie zmienia, więc każde losowanie ma takie samo prawdopodobieństwo danego wyniku jak poprzednie. Zdarzenia są niezależne i można zapisać P(A i B) = P(A) · P(B). Ten szczegół bardzo często decyduje o poprawnym rozwiązaniu zadania.

      Do czego służy drzewo prawdopodobieństwa w zadaniach?

      Drzewo prawdopodobieństwa służy do uporządkowania wszystkich możliwych scenariuszy w zadaniach wieloetapowych – np. przy kilku losowaniach kul, kart czy rzutach kostką. Na kolejnych poziomach drzewa pokazujesz następne etapy doświadczenia, a na gałęziach wpisujesz możliwe wyniki poszczególnych kroków oraz odpowiadające im prawdopodobieństwa.

      Dzięki temu łatwo:

      • odczytać prawdopodobieństwo konkretnej sekwencji (mnożysz wartości na gałęziach wzdłuż ścieżki),
      • zsumować prawdopodobieństwa wszystkich ścieżek, które realizują opisane w zadaniu zdarzenie złożone (np. „dokładnie jedna czerwona kula”).

      To narzędzie szczególnie pomaga uniknąć pomijania przypadków i błędnego podwójnego liczenia.

      Jak krok po kroku narysować drzewo prawdopodobieństwa?

      Aby narysować drzewo prawdopodobieństwa:

      • Określ, ile etapów ma doświadczenie (np. dwa losowania kul, trzy rzuty monetą).
      • Dla każdego etapu wypisz wszystkie możliwe wyniki (np. czerwona/biała kula, orzeł/reszka).
      • Od punktu startowego narysuj gałęzie pierwszego etapu z odpowiednimi prawdopodobieństwami.
      • Z każdego węzła pierwszego etapu rozgałęź kolejne wyniki drugiego etapu itd.
      • Na końcu każdej ścieżki (liścia) oblicz prawdopodobieństwo sekwencji jako iloczyn wartości na gałęziach.

      Na końcu sumujesz prawdopodobieństwa tych liści, które odpowiadają szukanemu zdarzeniu.

      Jak obliczać prawdopodobieństwo „co najmniej raz” w zadaniach z losowaniem?

      W zadaniach typu „co najmniej raz wylosujemy czerwoną kulę” najprościej jest zastosować dopełnienie. Zamiast liczyć wiele scenariuszy (1 raz, 2 razy, …), oblicza się prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego – np. „ani razu nie wylosujemy czerwonej kuli” – a następnie korzysta ze wzoru:

      P(co najmniej raz) = 1 – P(ani razu).
      P(ani razu) zwykle liczy się łatwiej, bo wymaga rozpatrzenia tylko jednego typu wyniku w każdym etapie, np. wyłącznie białych kul w każdym losowaniu.

      Czym różni się zdarzenie elementarne od złożonego w rachunku prawdopodobieństwa?

      Zdarzenie elementarne to pojedynczy, niepodzielny wynik doświadczenia losowego – np. „wypadła 3 w rzucie kostką” albo „wylosowano asa pik”. Nie da się go opisać prostszym, bardziej szczegółowym rezultatem w danym modelu.

      Zdarzenie złożone składa się z kilku zdarzeń elementarnych. Może to być:

      • suma zdarzeń („wypadnie liczba parzysta” – czyli 2, 4 lub 6),
      • część wspólna („wypadnie as pik” – jednocześnie as i pik),
      • lub kombinacja wyników z kilku etapów („wylosujemy dwie czerwone kule pod rząd”).

      W zadaniach kluczowe jest rozpoznanie, kiedy pracujesz ze zdarzeniem elementarnym, a kiedy musisz zsumować lub połączyć kilka takich zdarzeń.

      Jakie typowe błędy popełnia się w zadaniach z losowaniami i drzewami?

      Najczęstsze błędy to:

      • nieuwzględnienie różnicy między losowaniem ze zwracaniem i bez zwracania (błędne prawdopodobieństwa w kolejnych etapach),
      • pominięcie niektórych gałęzi w drzewie lub policzenie ich dwa razy,
      • mylenie operacji: kiedy należy mnożyć (zdarzenia „i”), a kiedy sumować (różne sposoby realizacji zdarzenia „albo”).

      Unikniesz ich, jeśli konsekwentnie rysujesz drzewo, opisujesz każde zdarzenie i świadomie decydujesz, czy łączysz zdarzenia iloczynem, czy sumą.

      Kluczowe obserwacje

      • Rachunek prawdopodobieństwa w zadaniach z losowaniami opiera się na klasycznym schemacie: zbiorze wszystkich możliwych wyników, wybranym zdarzeniu oraz liczbie sposobów, w jakie może ono wystąpić (P(A) = liczba korzystnych / liczba wszystkich).
      • Rozróżnienie zdarzeń elementarnych (pojedynczy prosty wynik) i złożonych (kombinacje kilku wyników) jest kluczowe do poprawnego formułowania i liczenia prawdopodobieństw.
      • Operacje na zdarzeniach – suma („albo”), część wspólna („i”), dopełnienie („nie”) – pozwalają systematycznie budować i upraszczać złożone zdarzenia w zadaniach z losowaniami.
      • Drzewa prawdopodobieństwa porządkują kolejne etapy losowania, pokazując każdy możliwy przebieg doświadczenia i przypisane mu prawdopodobieństwa, co zmniejsza ryzyko pomyłek „z głowy”.
      • W losowaniu bez zwracania kolejne kroki są zależne, liczba elementów maleje, a prawdopodobieństwo liczymy uwzględniając warunek (P(A i B) = P(A) · P(B | A)).
      • W losowaniu ze zwracaniem kolejne losowania są niezależne, liczba elementów się nie zmienia, a prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń to zwykły iloczyn ich prawdopodobieństw (P(A i B) = P(A) · P(B)).
      • Umiejętność świadomego odróżniania modeli „ze zwracaniem” i „bez zwracania” oraz sprawnego posługiwania się drzewami stanowi fundament do trudniejszych tematów: prawdopodobieństwa warunkowego, zmiennych losowych i rozkładów.

      Jeśli spodobał Ci się ten artykuł, sprawdź też:

      • 

        Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego: 5 zadań z…

      • 

        Jak wygrać na loterii (matematycznie)?

      • 

        Rachunek prawdopodobieństwa: zadania maturalne krok po kroku

      • 

        Prawdopodobieństwo w 10 krokach – seria dla początkujących

      • 

        Zadania z prawdopodobieństwa krok po kroku – część II

      • 

        Jak rozumieć niezależność zdarzeń?