Intuicja: czym jest prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego?
Definicja zdarzenia przeciwnego w rachunku prawdopodobieństwa
Zdarzenie przeciwne to jedno z najprostszych, a jednocześnie najczęściej używanych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa. Jeśli mamy jakieś zdarzenie losowe A, to jego zdarzenie przeciwne oznaczamy zwykle jako A̅ (A z kreską) lub A’. Intuicyjnie: zdarzenie przeciwne zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zdarzenie A nie zaszło.
Jeśli w przestrzeni zdarzeń losowych opisujemy wszystkie możliwe wyniki doświadczenia, to zbiór zdarzenia przeciwnego zawiera dokładnie te wyniki, które nie należą do zdarzenia A. Inaczej mówiąc, A i A̅ to dwa rozłączne zdarzenia, które razem tworzą całą przestrzeń zdarzeń elementarnych.
Formalnie zapisuje się to tak:
A ∩ A̅ = ∅ – zdarzenia rozłączne, nie mogą zajść jednocześnie,
A ∪ A̅ = Ω – razem tworzą całą przestrzeń zdarzeń (Ω),
P(A) + P(A̅) = 1 – prawdopodobieństwa sumują się do jedności.
Ostatnia własność prowadzi nas do najważniejszego wzoru używanego w praktyce: P(A̅) = 1 − P(A). To właśnie prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego – liczba, która mówi, jak bardzo realne jest, że dane zdarzenie nie wystąpi.
Codzienne sytuacje a zdarzenie przeciwne
Choć nazwa brzmi podręcznikowo, z pojęciem zdarzenia przeciwnego każdy spotyka się na co dzień. Przykłady są proste:
Albo jutro będzie padać (A), albo nie będzie padać (A̅); trzeciej opcji nie ma.
Albo klient zapłaci terminowo fakturę (A), albo nie zapłaci terminowo (A̅).
Albo serwer będzie działał bezawaryjnie przez 24h (A), albo wydarzy się awaria (A̅).
Wszystkie te przykłady są binarne – dokładnie jedno z tych dwóch zdarzeń musi zajść. Dlatego łatwiej myśleć o tym, co może pójść nie tak, niż wyliczać bezpośrednio prawdopodobieństwo sukcesu czy porażki. W statystyce i informatyce bardzo często liczy się nie to, że „model zadziała”, lecz że „nie popełni błędu”. Dokładnie tym zajmuje się prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.
Szczególnie przydatne jest to podejście, gdy wyników korzystnych jest mało, za to niekorzystnych – bardzo dużo. Łatwiej policzyć prawdopodobieństwo, że coś się nie wydarzy, niż wszystkich skomplikowanych wariantów, w których coś jednak nastąpi.
Klasyczny wzór na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego
Dla równomiernie rozłożonych wyników (klasyczne prawdopodobieństwo) używa się definicji:
P(A) = liczba wyników sprzyjających A / liczba wszystkich możliwych wyników.
Jeśli liczba wszystkich wyników to n, a liczba wyników sprzyjających A to k, to liczba wyników sprzyjających zdarzeniu przeciwnemu A̅ równa się n − k. Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego wynosi więc:
P(A̅) = (n − k) / n = 1 − k/n = 1 − P(A).
Ten wzór jest absolutną podstawą wielu zadań z rachunku prawdopodobieństwa. Zamiast liczyć skomplikowaną konfigurację sukcesów, liczy się prawdopodobieństwo, że „nic się nie udało” – a potem odejmuje od 1.
Dlaczego liczenie zdarzenia przeciwnego bywa łatwiejsze?
Strategia „1 minus coś prostszego”
W ogromnej liczbie zadań pojawia się taki schemat:
Bezpośrednie wyliczenie P(A) jest trudne,
Natomiast łatwo policzyć P(A̅),
Końcowy wynik to P(A) = 1 − P(A̅).
Zdarzenie przeciwne często ma prostszą strukturę. Przykład: „co najmniej jedno trafienie” kontra „ani jednego trafienia”. Złożyć po kolei wszystkie scenariusze „co najmniej jedno” bywa skomplikowane. Ale „żadnego” to jeden, bardzo prosty scenariusz: same pudła.
Takie odwrócenie spojrzenia prowadzi w praktyce do krótszych i mniej podatnych na błąd obliczeń. W kontekście szkolnym i akademickim to bardzo popularne podejście do zadań na losowania bez zwracania, losowe rozmieszczenia, wybory kombinatoryczne czy wielokrotne rzuty monetą.
Przykłady złożonych zdarzeń, które wygodniej liczyć „od tyłu”
Kilka charakterystycznych typów zadań, w których prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego jest naturalnym narzędziem:
„Przynajmniej jedno” – np. „przynajmniej jedna szóstka w 4 rzutach kostką”. Zdarzenie przeciwne: „ani jednej szóstki”.
„Co najmniej k sukcesów” – np. „co najmniej 2 dziewczyny w losowej 5-osobowej grupie”. Zdarzenie przeciwne: „0 lub 1 dziewczyna”.
„Min. jeden element o danej własności” – np. „wśród losowo wybranych dokumentów jest przynajmniej jeden błędny”. Zdarzenie przeciwne: „wszystkie są poprawne”.
„Żaden element nie ma danej cechy” – wtedy korzystanie z przeciwnego może być odwrotne: czasem wygodniej policzyć „chociaż jeden ma tę cechę” i odjąć od 1.
Gdy zdarzenie zawiera w sobie wiele alternatyw (co najmniej jedno, co najmniej dwa), sumowanie wszystkich wariantów bywa obarczone ryzykiem pominięcia części przypadków. Zdarzenie przeciwne zwykle ma jeden czytelny opis, dzięki czemu łatwiej je ująć kombinatorycznie.
Gra losowa kontra analiza ryzyka: dwa oblicza tego samego wzoru
W grach losowych lub prostych modelach (kostka, moneta, urna z kulami) prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego jest narzędziem czysto rachunkowym. Optymalizuje strukturę rozwiązania, upraszcza obliczenia i uczy patrzeć na zadanie z drugiej strony.
W praktycznych zastosowaniach – analizie ryzyka, niezawodności systemów czy jakości procesów – zdarzenie przeciwne bardzo często oznacza coś niepożądanego (awarię, stratę, błąd, opóźnienie). Przykłady:
Szansa, że system nie będzie dostępny w danym momencie.
Prawdopodobieństwo, że w partii produkcyjnej nie znajdzie się żadna wadliwa sztuka.
Prawdopodobieństwo, że kampania marketingowa nie przyniesie żadnej konwersji.
Tu z kolei bywa wygodnie wyliczać prawdopodobieństwo zdarzenia „dobrego” i dopiero na końcu przejść do „złego” poprzez zdarzenie przeciwne. Niezależnie od perspektywy rachunek jest ten sam – zmienia się tylko to, które zdarzenie interpretujemy jako korzystne.
Zadanie 1: Rzuty monetą i prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego
Treść zadania 1 i omówienie sytuacji
Rozważmy proste, ale bardzo instruktujące zadanie.
Zadanie 1. Rzucamy uczciwą monetą 5 razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadnie orzeł. Użyj prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego.
Na pierwszy rzut oka można próbować liczyć prawdopodobieństwo zdarzenia:
„dokładnie raz orzeł”,
„dokładnie dwa orły”,
…,
„dokładnie pięć orłów”
i wszystko zsumować. To jednak pięć osobnych rachunków, a więc sporo roboty, w dodatku łatwo się pomylić. Zdarzenie przeciwne prezentuje się znacznie prościej.
Rozwiązanie zadania 1 krok po kroku
Zdarzenie:
A – „co najmniej raz wypadnie orzeł”.
Zdarzenie przeciwne:
A̅ – „ani razu nie wypadnie orzeł”, czyli we wszystkich 5 rzutach wypada reszka.
Dla jednej uczciwej monety:
P(orzeł) = 1/2,
P(reszka) = 1/2.
A̅ to sytuacja, gdy w 5 rzutach kolejno: R, R, R, R, R. To jedno konkretne ułożenie wyników. Prawdopodobieństwo pojedynczej sekwencji 5 reszek (przy niezależnych rzutach) wynosi:
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadnie orzeł w 5 rzutach, wynosi 31/32.
Dlaczego liczenie zdarzenia przeciwnego jest tu optymalne?
Gdyby ktoś upierał się liczyć to bez użycia zdarzenia przeciwnego, musiałby dokonać następującej sumy:
P(dokładnie 1 orzeł),
P(dokładnie 2 orły),
P(dokładnie 3 orły),
P(dokładnie 4 orły),
P(dokładnie 5 orłów).
Dla każdego z tych przypadków trzeba by użyć kombinatoryki (dwumianu Newtona), a następnie zsumować pięć ułamków. Wszystkie rachunki sprowadziłyby się w końcu do tego samego wyniku, ale cała procedura jest dłuższa i łatwiej o błąd.
Podejście ze zdarzeniem przeciwnym upraszcza zadanie do:
Zdefiniowania „ani razu orzeł”,
Policzenia jednego prostego prawdopodobieństwa (5 razy reszka),
Odjęcia od 1.
Taki schemat pojawi się jeszcze wielokrotnie w kolejnych zadaniach – z rzutami kostką, losowaniem kul czy wyborem kart.
Źródło: Pexels | Autor: Max Fischer
Zadanie 2: Kostka do gry i „brak szóstki” jako zdarzenie przeciwne
Treść zadania 2 i wstępne rozpoznanie
Teraz przejdźmy do nieco innej sytuacji, również bardzo klasycznej.
Zadanie 2. Rzucamy uczciwą sześcienną kostką do gry 4 razy. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadnie szóstka. Użyj prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego.
W analogiczny sposób jak w zadaniu 1, zdarzenie:
A – „co najmniej raz wypadnie szóstka”
jest niewygodne do bezpośredniego liczenia (dokładnie jedna szóstka, dwie szóstki, trzy, cztery…). Natomiast zdarzenie przeciwne jest bardzo kompaktowe.
Rozwiązanie zadania 2: krok po kroku
Zdarzenie przeciwne:
A̅ – „ani razu nie wypadnie szóstka”, czyli w każdym rzucie otrzymujemy wynik 1, 2, 3, 4 lub 5.
Dla jednego rzutu kostką:
P(wypadnie szóstka) = 1/6,
P(nie wypadnie szóstka) = 5/6.
W 4 niezależnych rzutach prawdopodobieństwo, że w żadnym nie pojawi się szóstka, wynosi:
Wartość można pozostawić w postaci ułamka nieskracalnego: P(A) = 671/1296.
Interpretacja wyniku i szybkie przybliżenie
Dla intuicji często dobrze jest przybliżyć ułamek do liczby dziesiętnej:
671/1296 ≈ 0,517 (ponad 51%).
Zatem prawdopodobieństwo, że w 4 rzutach kostką przynajmniej raz pojawi się szóstka, jest nieco większe niż 1/2. Innymi słowy, w dłuższej serii powtórzeń tego eksperymentu:
w ponad połowie serii 4 rzutów trafi się przynajmniej jedna szóstka,
w pozostałych seriach nie trafi się żadna szóstka.
Zadanie 3: Losowanie kart i „brak asa” jako zdarzenie przeciwne
Opis sytuacji i model losowania
Tym razem przejdźmy do kart. Klasyczna talia ma 52 karty: 4 kolory, po 13 kart w każdym. Asów jest 4.
Zadanie 3. Z dobrze przetasowanej talii 52 kart losujemy bez zwracania 5 kart. Oblicz prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden as znajdzie się wśród wylosowanych kart. Skorzystaj ze zdarzenia przeciwnego.
Losowanie odbywa się bez zwracania, więc kolejne ciągnięcia nie są niezależne. Mimo to metoda „od tyłu” działa tak samo, tylko zamiast prostego potęgowania korzystamy z kombinatoryki.
Rozwiązanie zadania 3: kombinacje i zdarzenie „bez asa”
Definiujemy:
A – „wśród 5 wylosowanych kart jest co najmniej jeden as”,
A̅ – „wśród 5 wylosowanych kart nie ma ani jednego asa”.
W talii mamy:
4 asy,
52 − 4 = 48 kart niebędących asami.
Liczba wszystkich możliwych 5‑kartowych układów (bez względu na kolejność) to:
(displaystyle binom{52}{5}).
Zdarzenie przeciwne A̅ oznacza, że wszystkie 5 kart pochodzi z puli 48 kart bez asa. Liczba takich układów to:
Można zostawić wynik w tej postaci – jest czytelny rachunkowo i łatwy do wrzucenia w kalkulator. W praktyce ważniejsze od dokładnej wartości jest tu zrozumienie struktury: liczymy najpierw „brak asa”, a dopiero potem „co najmniej jeden as”.
Dlaczego bez zdarzenia przeciwnego byłoby gorzej?
Próba liczenia bezpośrednio „co najmniej jeden as” wymagałaby sumy przypadków:
dokładnie 1 as,
dokładnie 2 asy,
dokładnie 3 asy,
dokładnie 4 asy.
Każdy z nich to osobne wyrażenie kombinatoryczne, np. dla dokładnie dwóch asów:
(displaystyle binom{4}{2}·binom{48}{3}),
a na końcu trzeba by wszystko dzielić przez (binom{52}{5}) i sumować. Dużo miejsca na pomyłkę: łatwo zgubić któryś przypadek lub pomylić współczynnik.
Przejście przez zdarzenie przeciwne redukuje całość do jednego prostego układu: „5 kart bez asa”. Struktura rozwiązania pozostaje przejrzysta nawet przy większej liczbie losowanych kart.
Zadanie 4: Losowanie kul bez zwracania – „co najmniej jedna czerwona”
Opis urny i sformułowanie zadania
Przykład z urną dobrze pokazuje tę samą ideę, ale w bardziej „abstrakcyjnej” wersji.
Zadanie 4. W urnie znajduje się 6 kul czerwonych i 9 białych (łącznie 15 kul). Losujemy bez zwracania 4 kule. Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kul znajdzie się przynajmniej jedna czerwona. Wykorzystaj zdarzenie przeciwne.
Znów intuicja podpowiada: zamiast liczyć wszystkie kombinacje z 1, 2, 3, 4 czerwonymi kulami, lepiej przeanalizować sytuację „same białe”.
Rozwiązanie zadania 4: „same białe” jako przeciwne
Oznaczmy:
B – „wśród wylosowanych kul jest przynajmniej jedna czerwona”,
B̅ – „wśród wylosowanych kul nie ma czerwonej”, czyli wszystkie są białe.
W urnie mamy:
6 kul czerwonych,
9 kul białych,
razem 15 kul.
Wszystkich możliwych 4‑elementowych zestawów kul jest:
(displaystyle binom{15}{4}).
Zdarzenie przeciwne B̅ to wybór 4 kul z 9 białych:
Czyli szansa, że wśród 4 losowanych kul pojawi się przynajmniej jedna czerwona, jest bardzo duża – około 90,7%. Estymacja przydaje się w praktycznej interpretacji: okazuje się, że „brak czerwonej” jest zdarzeniem dość rzadkim, co dobrze widać już po samym wzorze na zdarzenie przeciwne.
Niezależny punkt widzenia: rozpisanie po losowaniach
Ten sam wynik można zapisać innym torem myślenia, nadal opierając się na zdarzeniu przeciwnym. Zamiast kombinacji, patrzymy kolejno na losowania:
Pierwsza kula: biała z prawdopodobieństwem 9/15,
druga (jeśli pierwsza była biała): biała z prawdopodobieństwem 8/14,
trzecia (jeśli dwie pierwsze były białe): 7/13,
czwarta (jeśli trzy pierwsze były białe): 6/12.
P(B̅) = (9/15) · (8/14) · (7/13) · (6/12).
Po skróceniu ułamków otrzymamy tę samą wartość 14/151. Ta forma bywa bardziej intuicyjna, gdy ktoś woli śledzić zmieniające się liczności, zamiast od razu przechodzić do kombinacji.
Źródło: Pexels | Autor: Vanessa Garcia
Zadanie 5: Co najmniej dwie dziewczyny w grupie – zdarzenie przeciwne „maksymalnie jedna”
Opis populacji i sens zadania
Przykłady z losowaniami osób dobrze odzwierciedlają wiele realnych sytuacji: dobór zespołów projektowych, komisji, grup fokusowych czy ekip dyżurnych.
Zadanie 5. W klasie jest 20 uczniów, w tym 12 dziewczyn i 8 chłopców. Losowo wybieramy 5‑osobową grupę. Oblicz prawdopodobieństwo, że w grupie znajdą się co najmniej dwie dziewczyny. W rozwiązaniu użyj zdarzenia przeciwnego.
Zdarzenie „co najmniej dwie dziewczyny” obejmuje:
dokładnie 2 dziewczyny,
dokładnie 3 dziewczyny,
dokładnie 4 dziewczyny,
dokładnie 5 dziewczyn.
To cztery przypadki do policzenia i zsumowania. Wygodniej więc pójść w stronę zdarzenia przeciwnego, które ma tylko dwa składniki.
Rozwiązanie zadania 5: „0 lub 1 dziewczyna”
Oznaczmy:
C – „w grupie jest co najmniej 2 dziewczyny”,
C̅ – „w grupie jest najwyżej 1 dziewczyna” (czyli 0 lub 1 dziewczyna).
W klasie:
12 dziewczyn,
8 chłopców,
łącznie 20 uczniów.
Liczba wszystkich możliwych 5‑osobowych grup:
(displaystyle binom{20}{5}).
Zdarzenie przeciwne C̅ rozbijamy na dwa rozłączne przypadki:
dokładnie 0 dziewczyn (czyli 5 chłopców),
dokładnie 1 dziewczyna (i 4 chłopców).
Przypadek 1: 0 dziewczyn. Wybieramy 5 osób spośród 8 chłopców:
Ułamek 913/969 jest już nieskracalny. W przybliżeniu:
913/969 ≈ 0,942.
Czyli z losowo wybranej 5‑osobowej grupy w takiej klasie w ponad 94% przypadków znajdą się co najmniej dwie dziewczyny. Zdarzenie przeciwne (0 lub 1 dziewczyna) jest więc dość rzadkie; to ono stanowi „ogon” rozkładu, który odjęliśmy od 1.
Jak rozpoznawać zadania „pod zdarzenie przeciwne”?
Typowe sygnały w treści zadania
W praktyce kluczowa jest umiejętność zauważenia, że dane zadanie „prosi się” o użycie prawdopodobieństwa zdarzenia przeciwnego. Kilka charakterystycznych sygnałów w treści:
pojawia się zwrot „przynajmniej” lub „co najmniej”,
zdarzenie wymaga policzenia wielu wariantów (0, 1, 2, 3 sukcesy, …),
naturalne do opisania jest raczej „brak czegoś” niż „wystąpienie czegoś”,
losowania są liczne, a pojedynczy „sukces” jest prosty do zdefiniowania (np. „wypadła szóstka”, „kula jest czerwona”, „produkt jest wadliwy”).
Prosty schemat postępowania w nowych zadaniach
Przy pracy z nowym zadaniem dobrze jest przelecieć szybki check‑list:
Wypisz dokładnie, czym jest interesujące cię zdarzenie (np. „co najmniej 2 sukcesy”).
Spróbuj zdefiniować zdarzenie przeciwne w jednym zdaniu. Jeśli się da (np. „maksymalnie 1 sukces”, „ani jednego sukcesu”), to dobry znak.
Ćwiczenie na kartce: zamiana „co najmniej” na „maksymalnie”
Tę prostą check‑listę najlepiej utrwalić na krótkim ćwiczeniu. Przy każdym z poniższych sformułowań spróbuj od razu zapisać zdarzenie przeciwne w jednym zdaniu:
„W rzucie 5 kostkami wypadnie co najmniej jedna szóstka”.
„W losowo wybranej paczce 10 żarówek znajduje się co najmniej jedna wadliwa”.
„Wśród 6 losowo wybranych klientów co najmniej trzech dokona zakupu”.
Pożądane przekształcenia wyglądają następująco:
„co najmniej jedna szóstka” → „ani jednej szóstki”,
„co najmniej jedna wadliwa” → „wszystkie są sprawne”,
„co najmniej trzech kupi” → „maksymalnie dwóch kupi” (czyli 0, 1 lub 2).
Jeśli takie przeformułowanie przychodzi bez wysiłku, prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego najpewniej będzie wygodniejsze w liczeniu niż bezpośrednie sumowanie wariantów.
Typowe błędy przy używaniu zdarzenia przeciwnego
Mylenie „przeciwnego” z „dopełniającym”
W języku potocznym mówi się czasem „zdarzenie przeciwne” na wszystko, co „nie jest tym, co chcemy”. W matematyce precyzja jest ostrzejsza: zdarzenie przeciwne (dopełniające) A̅ obejmuje dokładnie te wyniki, które nie należą do A, ale wciąż są w naszym przestrzennym „świecie” (przestrzeni zdarzeń).
Przykład. Rzucamy kostką:
A – „wypadła liczba parzysta”,
A̅ – „wypadła liczba nieparzysta”.
Tu wszystko jest w porządku. Ale jeśli:
A – „wypadła liczba większa od 6”,
to zdarzenie A jest po prostu niemożliwe, więc:
A̅ – „wypadła liczba z {1,2,3,4,5,6}”.
Nie istnieje wynik „7 oczek” przy zwykłej kostce – nie należy on do przestrzeni zdarzeń. Gdy pojawia się taki błąd w definicji, wzór P(A) = 1 − P(A̅) przestaje mieć sens.
Niedopilnowanie rozłączności przypadków
W zadaniach „kombinatorycznych” przy zdarzeniu przeciwnym często rozbijamy je na przypadki (tak jak przy grupach z dziewczynami: 0 lub 1 dziewczyna). Kłopot zaczyna się, gdy przypadki nie są rozłączne.
Wyobraź sobie, że liczysz prawdopodobieństwo:
„grupa ma co najwyżej 2 osoby z miasta A”.
Jeśli „przeciwne” rozbijesz na:
„dokładnie 2 osoby z A”,
„co najwyżej 3 osoby z A”,
to te dwa podzbiory nakładają się (grupy z 2 osobami z A liczą się dwa razy). Suma P(…) będzie zawyżona. Przy rozpisywaniu zdarzenia przeciwnego każdy przypadek musi opisywać inny, niepokrywający się wycinek.
Zapominanie o 1 − P(A̅) przy równoległym liczeniu
Czasem ktoś policzy P(A̅) prawidłowo, po czym „z rozpędu” zaczyna jeszcze kombinować P(A) bezpośrednio i gubi prosty związek:
P(A) + P(A̅) = 1.
Jeżeli zdarzenia A i A̅ są zdefiniowane poprawnie (są dopełnieniami w pełnej przestrzeni), to do wyniku A dochodzimy w jednej sekundzie przez odejmowanie. Gdy próbuje się jednocześnie dwoma metodami, łatwo wprowadzić sprzeczność i nie zauważyć błędu w którymś rachunku.
Błędne założenie o równoprawdopodobnych wynikach
Zdarzenie przeciwne nie wymaga wcale, by wszystkie wyniki elementarne były równie prawdopodobne. Jednak gdy korzystamy z kombinacji typu (binom{n}{k}), zwykle w tle tkwi założenie o jednakowych szansach każdego wyboru.
Jeśli więc:
losujesz osoby z klasy – raczej ok,
wyciągasz karty z typowej talii – również,
ale już wybierasz klientów, spośród których część ma dużo większą szansę znaleźć się w próbie (np. stali bywalcy częściej odbierają telefon) – trzeba użyć innego modelu niż „surowe” kombinacje.
Zdarzenie przeciwne dalej można zdefiniować, lecz rachunek musi odzwierciedlać różne wagi prawdopodobieństw, a nie tylko liczbę kombinacji.
Źródło: Pexels | Autor: Nothing Ahead
Szybkie porównanie: bezpośrednie liczenie vs zdarzenie przeciwne
Krótki przykład na liczbach – rzuty kostką
Rzucamy 4 razy uczciwą kostką. Szukamy prawdopodobieństwa, że wypadnie co najmniej jedna szóstka.
Bezpośrednio musielibyśmy sumować:
P(dokładnie 1 szóstka),
P(dokładnie 2 szóstki),
P(dokładnie 3 szóstki),
P(dokładnie 4 szóstki).
Każdy składnik zawierałby czynnik kombinatoryczny i potęgi 1/6 i 5/6. Można, ale po co, skoro zdarzenie przeciwne ma prostą postać:
D – „co najmniej jedna szóstka”,
D̅ – „ani jednej szóstki” (czyli same liczby z {1,2,3,4,5}).
P(D̅) = ((5/6)^4), więc:
P(D) = 1 − (5/6)^4.
Cały rachunek zamyka się w jednej linijce. Schemat ten przenosi się praktycznie bez zmian na zadania z urnami, kartami czy wadliwymi produktami.
Porównanie z zadaniem o „co najmniej dwóch dziewczynach”
W zadaniu z klasą (12 dziewczyn, 8 chłopców, grupa 5‑osobowa) podejście „wprost” wyglądałoby następująco:
liczenie liczby grup z dokładnie 2 dziewczynami,
z dokładnie 3 dziewczynami,
z dokładnie 4 dziewczynami,
z dokładnie 5 dziewczynami,
suma czterech ilorazów typu (dfrac{binom{12}{k}binom{8}{5-k}}{binom{20}{5}}).
To cztery osobne rachunki i późniejsze dodawanie. W wariancie ze zdarzeniem przeciwnym wystarczyło rozważyć „0 lub 1 dziewczyna” i wykonać dwa obliczenia. Różnica w objętości pracy rośnie błyskawicznie, gdy zwiększamy liczebność grupy lub liczbę możliwych „sukcesów”.
Rozszerzenie: zdarzenie przeciwne w schemacie Bernoulliego
Pojedyncze doświadczenie i wiele powtórzeń
W wielu zastosowaniach mamy do czynienia z następującym schematem:
jedno doświadczenie ma dwa wyniki: „sukces” z prawdopodobieństwem p, „porażka” z prawdopodobieństwem 1 − p,
powtarzamy doświadczenie n razy, niezależnie od siebie (rzuty monetą, testy produktów, wejścia klientów itd.).
To tzw. schemat Bernoulliego. Zdarzenie „przynajmniej jeden sukces” wprost domaga się użycia zdarzenia przeciwnego, bo liczba możliwych konfiguracji sukcesów byłaby ogromna.
Wzór ogólny na „co najmniej jeden sukces”
Niech:
S – „wśród n prób wystąpi co najmniej jeden sukces”,
S̅ – „ani jeden sukces nie wystąpi” (czyli same porażki).
Wtedy:
P(S̅) = (1 − p)(^n),
a zatem:
P(S) = 1 − (1 − p)(^n).
To uniwersalny i bardzo przydatny wzór. W ten sam sposób analizuje się m.in.:
czy w serii wysyłek pojawi się przynajmniej jedna paczka uszkodzona,
czy w ciągu tygodnia w sklepie pojawi się choć jeden klient z określonej grupy,
czy w ciągu dnia system wygeneruje choć jeden błąd krytyczny.
Drobnym wysiłkiem dalej: „co najmniej dwa sukcesy”
Czasem interesuje nas „więcej niż jeden sukces”. Zdarzenie przeciwne jest wtedy proste do opisania: „0 lub 1 sukces”.
Niech:
T – „wśród n prób jest co najmniej 2 sukcesy”,
T̅ – „0 lub 1 sukces”.
W schemacie Bernoulliego z niezależnymi próbami mamy:
Dzięki temu unikamy sumowania wielu składników dla 2, 3, 4, … sukcesów. W praktyce nierzadko jest to różnica między „zadanie na chwilę” a „zadanie na całą kartkę obliczeń”.
Trening samodzielny: krótkie zadania do przećwiczenia
Pięć prostych przykładów „pod zdarzenie przeciwne”
Poniżej zestaw krótkich zadań. Ich wspólną cechą jest to, że rozwiązanie przez zdarzenie przeciwne jest wyraźnie wygodniejsze niż liczenie „wprost”. Można potraktować je jako mini‑trening.
Kostki: Rzucasz 5 razy uczciwą kostką. Oblicz prawdopodobieństwo, że ani razu nie wypadnie jedynka. Spróbuj też policzyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego („co najmniej jedna jedynka”) przez 1 − P(A̅).
Produkcja: Pojedynczy wyrób jest wadliwy z prawdopodobieństwem 0,02. Partia zawiera 50 wyrobów, przyjmujemy model niezależnych prób. Oszacuj prawdopodobieństwo, że w partii wystąpi co najmniej jeden wadliwy produkt.
Karty: Z talii 52 kart losujesz bez zwracania 3 karty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród nich znajdzie się co najmniej jeden as? Wykorzystaj zdarzenie przeciwne „ani jednego asa”.
Losowanie osób: W grupie 15 osób jest 5 programistów i 10 osób nietechnicznych. Losujesz 4‑osobowy zespół do projektu. Oblicz prawdopodobieństwo, że w zespole będzie co najmniej jeden programista.
Urna: W urnie jest 7 kul czarnych i 3 białe. Losujesz z powrotem (po każdym losowaniu odkładasz kulę) 6 razy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo, że przynajmniej raz wyciągniesz kulę białą.
W każdym z tych zadań w pierwszym kroku zdefiniuj wyraźnie interesujące zdarzenie, następnie napisz w jednym zdaniu zdarzenie przeciwne, a dopiero później wprowadź wzory. Po kilku próbach takie przełączanie się między opisem słownym a rachunkiem staje się odruchem.
Praktyczna użyteczność: dlaczego „ogon” bywa ważniejszy niż środek
Punkt widzenia inżyniera i analityka ryzyka
W sytuacjach inżynierskich, finansowych czy medycznych często nie interesuje nas najbardziej „typowy” wynik, lecz właśnie ogon rozkładu: zdarzenia rzadkie, ale istotne. Zdarzenie przeciwne jest naturalnym narzędziem do ich analizy.
Kilka typowych scenariuszy:
system informatyczny: „prawdopodobieństwo, że w ciągu doby nie wystąpi ani jedna awaria krytyczna”,
logistyka: „szansa, że w miesiącu ani jedna dostawa nie spóźni się powyżej ustalonego progu”,
jakość produkcji: „prawdopodobieństwo, że w partii 1000 sztuk znajdzie się co najmniej jedna skrajnie wadliwa”.
Z pozoru rozpatrujemy „co najmniej jedno zdarzenie niepożądane”, ale operacyjnie znacznie łatwiej policzyć „ani jednego” i użyć odejmowania od 1. Ta sama technika, którą ćwiczy się na kostkach i kartach, po prostu przenosi się na poważniejsze modele.
Intuicyjna ocena „czy to dużo, czy mało”
Najczęściej zadawane pytania (FAQ)
Co to jest zdarzenie przeciwne w rachunku prawdopodobieństwa?
Zdarzenie przeciwne do zdarzenia A (oznaczane A̅ lub A’) to takie zdarzenie, które zachodzi dokładnie wtedy, gdy zdarzenie A nie zachodzi. Innymi słowy, A i A̅ wykluczają się wzajemnie i razem obejmują wszystkie możliwe wyniki doświadczenia losowego.
Formalnie zapisuje się to tak: A ∩ A̅ = ∅, A ∪ A̅ = Ω oraz P(A) + P(A̅) = 1. Dzięki temu zawsze możemy policzyć prawdopodobieństwo jednego z nich, znając prawdopodobieństwo drugiego.
Jaki jest wzór na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego?
Podstawowy wzór na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego brzmi:
P(A̅) = 1 − P(A).
Oznacza to, że aby obliczyć prawdopodobieństwo, że zdarzenie A nie zajdzie, wystarczy odjąć od 1 prawdopodobieństwo, że A zajdzie. W wersji klasycznej, gdy wszystkie wyniki są jednakowo możliwe, jeśli P(A) = k/n, to P(A̅) = (n − k)/n = 1 − k/n.
Kiedy warto liczyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego zamiast bezpośrednio P(A)?
Warto używać zdarzenia przeciwnego, gdy bezpośrednie obliczenie P(A) jest skomplikowane, a opis zdarzenia przeciwnego A̅ jest prosty. Typowe sytuacje to zdarzenia typu:
„przynajmniej jedno…” (np. przynajmniej jedna szóstka, przynajmniej jeden błąd),
„co najmniej k sukcesów”,
„wśród wybranych elementów jest ktoś/coś o danej własności”.
Zwykle „przynajmniej jedno” rozkłada się na wiele przypadków, a jego przeciwne „ani jednego” to jeden prosty scenariusz, łatwy do policzenia.
Jak obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego na przykładzie rzutów monetą?
Przykład: rzucamy uczciwą monetą 5 razy i chcemy policzyć prawdopodobieństwo, że co najmniej raz wypadnie orzeł. Oznaczmy to zdarzenie jako A.
Zamiast liczyć wszystkie przypadki „dokładnie 1 orzeł, dokładnie 2, …, dokładnie 5”, liczymy zdarzenie przeciwne A̅: „ani razu nie wypadnie orzeł”, czyli 5 razy z rzędu wypada reszka. Pojedyncza sekwencja 5 reszek ma prawdopodobieństwo (1/2)⁵ = 1/32. Zatem:
P(A) = 1 − P(A̅) = 1 − 1/32 = 31/32.
Co oznacza „przynajmniej jedno zdarzenie” i jak wykorzystać zdarzenie przeciwne w takich zadaniach?
„Przynajmniej jedno” oznacza: może być jedno, dwa, trzy itd., aż do maksymalnej możliwej liczby sukcesów. Na przykład „przynajmniej jedna szóstka w 4 rzutach kostką” obejmuje przypadki: dokładnie 1 szóstka, dokładnie 2, 3 lub 4 szóstki.
Zamiast sumować wszystkie te możliwości, zwykle łatwiej policzyć zdarzenie przeciwne: „ani jednej szóstki”, czyli we wszystkich rzutach wypada coś innego niż 6. Po obliczeniu P(ani jednej szóstki) odejmujemy ten wynik od 1 i dostajemy P(przynajmniej jedna szóstka).
Czym się różni zdarzenie przeciwne od zdarzenia dopełniającego w statystyce?
W typowym kursie rachunku prawdopodobieństwa nazwy „zdarzenie przeciwne” i „zdarzenie dopełniające” oznaczają to samo: zdarzenie zawierające wszystkie wyniki nieprzynależne do zdarzenia A. Formalnie jest to dopełnienie zbioru A względem całej przestrzeni Ω.
W języku potocznym w statystyce termin „dopełnienie” bywa częściej używany, ale matematycznie oba pojęcia są równoważne i korzystają z tego samego wzoru P(A̅) = 1 − P(A).
Do czego w praktyce wykorzystuje się prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego?
Poza klasycznymi zadaniami z kostkami i monetami, prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego jest istotne w analizie ryzyka, niezawodności systemów oraz kontroli jakości. Przykłady:
obliczanie szansy, że system nie ulegnie awarii w danym czasie (zdarzenie „działa” kontra „nie działa”),
ocena prawdopodobieństwa, że w partii produkcyjnej nie trafi się żadna wadliwa sztuka,
szacowanie, że kampania marketingowa nie da żadnej konwersji.
W takich zastosowaniach często wygodniej jest policzyć szansę „dobrego” przebiegu i dopiero na końcu przejść do interesującego nas ryzyka poprzez zdarzenie przeciwne.
Najważniejsze punkty
Zdarzenie przeciwne A̅ zachodzi dokładnie wtedy, gdy nie zachodzi zdarzenie A; oba są rozłączne i razem obejmują całą przestrzeń zdarzeń (A ∩ A̅ = ∅, A ∪ A̅ = Ω).
Prawdopodobieństwa zdarzenia i jego przeciwnego zawsze sumują się do jedności: P(A) + P(A̅) = 1, co prowadzi do kluczowego wzoru P(A̅) = 1 − P(A).
W klasycznym modelu (wszystkie wyniki jednakowo prawdopodobne) zdarzenie przeciwne ma liczbę korzystnych wyników równą n − k, jeśli A ma k wyników z n możliwych, więc P(A̅) = (n − k) / n.
W wielu zadaniach łatwiej obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego niż samego zdarzenia, a następnie użyć schematu „P(A) = 1 − P(A̅)” zamiast liczyć złożoną konfigurację bezpośrednio.
Typowe sytuacje, gdzie wygodnie stosować zdarzenie przeciwne, to zdarzenia typu „przynajmniej jedno”, „co najmniej k sukcesów” czy „przynajmniej jeden element ma daną własność”, bo ich przeciwieństwa są prostsze do opisania kombinatorycznie.
Zdarzenie przeciwne naturalnie występuje zarówno w codziennych sytuacjach (np. „będzie padać” vs „nie będzie padać”), jak i w modelach statystycznych, gdzie częściej liczy się szansę „braku błędu” niż „sukcesu” wprost.
