Miara kąta, długość łuku i pole wycinka – fundamenty w jednym miejscu
Miara kąta – stopnie i radiany bez straszenia
Praca z długością łuku i polem wycinka zawsze opiera się na miarze kąta. Jeśli kąt jest źle odczytany lub przeliczony, wynik w zadaniu od razu „ucieka”. Dlatego pierwszym krokiem jest porządne zrozumienie, czym jest kąt i jak go mierzyć.
Klasycznie w szkole używa się stopni. Pełny obrót to 360°. Półobwód to 180°, ćwiartka to 90° i tak dalej. Taka jednostka jest intuicyjna, ale w zadaniach z długością łuku i polem wycinka bardzo wygodna okazuje się inna jednostka – radian. W radianach pełny kąt prosty, ostry czy rozwarty opisuje się poprzez związek z obwodem koła.
Radian definiuje się tak, aby kąt środkowy obejmujący łuk o długości równej promieniowi miał miarę 1 rad. Daje to elegancki związek: długość łuku = promień × miara kąta w radianach. Pełny kąt to obwód koła podzielony przez promień, czyli:
2π rad = 360°
Z tego płyną praktyczne wzory na zamianę stopni na radiany i odwrotnie:
- z stopni na radiany: (alpha_{text{rad}} = alpha_{text{°}} cdot dfrac{pi}{180°}),
- z radianów na stopnie: (alpha_{text{°}} = alpha_{text{rad}} cdot dfrac{180°}{pi}).
Kąt środkowy a wycinek koła
Długość łuku i pole wycinka zawsze liczy się z kąta środkowego. Kąt środkowy to kąt, którego wierzchołek leży w środku koła, a ramiona przechodzą przez punkty na okręgu. To istotne, bo nie każdy kąt „przy kole” jest kątem środkowym – kąt wpisany, styczny czy wewnętrzny to inne sytuacje.
W zadaniach często padają sformułowania:
- „wycinek koła o kącie 60°” – chodzi o kąt środkowy 60°,
- „łuk odpowiadający kątowi środkowemu 2 rad” – też kąt środkowy.
Jeśli kąt nie jest środkowy, trzeba go powiązać z kątem środkowym (np. kąt wpisany oparty na tym samym łuku ma miarę dwa razy mniejszą niż kąt środkowy). Dopiero wtedy da się poprawnie policzyć długość łuku czy pole wycinka.
Formuły, które wracają w każdym zadaniu
Cała geometria łuku i wycinka opiera się na dwóch ulgowo prostych zależnościach, pod warunkiem pracy w radianach:
- długość łuku: (L = r cdot alpha), gdzie (r) – promień, (alpha) – kąt w radianach,
- pole wycinka: (P = dfrac{1}{2} r^2 cdot alpha), gdzie (alpha) – również w radianach.
Jeśli kąt masz w stopniach, albo:
- przeliczasz go na radiany, a potem stosujesz te wzory, albo
- używasz wersji „procentowej”:
- dla łuku: (L = dfrac{alpha_{text{°}}}{360°} cdot 2pi r),
- dla wycinka: (P = dfrac{alpha_{text{°}}}{360°} cdot pi r^2).
W praktyce szkolnej dobrze jest ćwiczyć obie formy. W trudniejszych zadaniach i tak szybko wyjdzie, że wygodniej operować w radianach.
Długość łuku okręgu – od podstaw do trudniejszych układów
Skąd bierze się wzór na długość łuku
Obwód koła o promieniu (r) to (2pi r). Jeśli bierzemy cały obwód (kąt 360° lub (2pi) rad), długość łuku jest równa obwodowi. Gdy kąt jest mniejszy, łuk to odpowiedni ułamek obwodu. To daje dwa równoważne sposoby patrzenia na długość łuku.
W stopniach:
(
L = dfrac{alpha_{text{°}}}{360°} cdot 2pi r
)
Interpretacja: kąt jest (dfrac{alpha}{360}) całego pełnego kąta, więc łuk jest takim samym ułamkiem pełnego obwodu.
W radianach korzysta się z definicji radiana. Dla kąta (alpha) w radianach:
(
L = r cdot alpha
)
Pełny kąt: (2pi) rad, pełny łuk: (2pi r). Proporcja skaluje się liniowo.
Przykłady obliczania długości łuku ze stopni
Przy kątach w stopniach wygodnie stosuje się wersję „ułamka obwodu”. Kilka typowych przykładów.
Przykład 1. Promień koła (r = 5) cm, kąt środkowy (60°). Oblicz długość łuku.
Obwód całego koła: (2pi cdot 5 = 10pi) cm.
Kąt 60° to (dfrac{60}{360} = dfrac{1}{6}) pełnego kąta. Stąd:
(
L = dfrac{60°}{360°} cdot 2pi cdot 5 = dfrac{1}{6} cdot 10pi = dfrac{10pi}{6} = dfrac{5pi}{3} text{cm}.
)
Przykład 2. Promień koła (r = 12) cm, kąt środkowy (150°). Długość łuku?
Obwód: (2pi cdot 12 = 24pi) cm.
Ułamek kąta: (dfrac{150}{360} = dfrac{5}{12}).
(
L = dfrac{5}{12} cdot 24pi = 10pi text{cm}.
)
W takich zadaniach często dostajesz pozwolenie, by zostawić odpowiedź w postaci z π. Przybliżenie (np. (pi approx 3{,}14)) używa się wtedy, gdy wyraźnie jest o to prośba.
Praca z radianami przy długości łuku
Radiany upraszczają rachunki, ale wymagają jednego kroku więcej – konwersji jednostek, jeśli kąt podany jest w stopniach. Gdy kąt już masz w radianach, wzór robi się bardzo krótki.
Przykład 3. Promień (r = 4) cm, kąt środkowy (alpha = dfrac{pi}{3}) rad. Długość łuku?
Wprost z definicji:
(
L = r cdot alpha = 4 cdot dfrac{pi}{3} = dfrac{4pi}{3} text{cm}.
)
Przykład 4. Promień (r = 10) cm, kąt środkowy (72°). Oblicz długość łuku korzystając z radianów.
Najpierw przelicz kąt:
(
72° = 72 cdot dfrac{pi}{180} = dfrac{72}{180}pi = dfrac{2}{5}pi text{rad}.
)
Teraz wzór:
(
L = r cdot alpha = 10 cdot dfrac{2}{5}pi = 4pi text{cm}.
)
Przy częstym korzystaniu z radianów opłaca się zapamiętać kilka standardowych przeliczeń: (30° = dfrac{pi}{6}), (45° = dfrac{pi}{4}), (60° = dfrac{pi}{3}), (90° = dfrac{pi}{2}), (180° = pi), (360° = 2pi).
Odwrotne zadania: z łuku do kąta i promienia
W wielu zadaniach dane są „od tyłu”: zamiast kąta podana jest długość łuku i promień, a trzeba wyznaczyć miarę kąta lub odwrotnie. Wtedy te same wzory przekształca się algebraicznie.
Jeśli korzystamy z radianów:
- znając (L) i (r), liczysz kąt: (alpha = dfrac{L}{r}),
- znając (L) i (alpha), liczysz promień: (r = dfrac{L}{alpha}).
Przykład 5. Na okręgu o promieniu 7 cm zaznaczono łuk o długości (7pi) cm. Jaki jest kąt środkowy w radianach?
(
alpha = dfrac{L}{r} = dfrac{7pi}{7} = pi text{rad},
)
czyli 180°.
Przykład 6. Długość łuku wynosi (5pi) cm, a kąt środkowy jest równy 90°. Znajdź promień.
Przejdź na radiany: (90° = dfrac{pi}{2}). Teraz:
(
L = r cdot alpha Rightarrow 5pi = r cdot dfrac{pi}{2} Rightarrow r = 5pi cdot dfrac{2}{pi} = 10 text{cm}.
)
Pole wycinka koła – jak przełożyć kąt na powierzchnię
Dlaczego pole wycinka zależy od kąta
Wycinek koła można traktować jak „kawałek pizzy” przyciętej dwoma promieniami i łukiem. Jeśli kąt jest dwa razy większy, wycinek jest dwa razy „szerszy”, więc jego pole również rośnie dwukrotnie. To intuicyjnie prowadzi do proporcji: pole wycinka jest takim samym ułamkiem pola koła, jak kąt wycinka jest ułamkiem pełnego kąta.
Pole całego koła: (P_{text{koła}} = pi r^2).
Kąt środkowy wycinka równy (alpha_{text{°}}) to (dfrac{alpha_{text{°}}}{360°}) pełnego kąta, stąd:
(
P_{text{wycinka}} = dfrac{alpha_{text{°}}}{360°} cdot pi r^2.
)
W radianach: skoro pełny kąt to (2pi) rad, to ułamek kąta wynosi (dfrac{alpha_{text{rad}}}{2pi}). Pole wycinka:
(
P = dfrac{alpha_{text{rad}}}{2pi} cdot pi r^2 = dfrac{1}{2} r^2 alpha_{text{rad}}.
)
Obliczanie pola wycinka przy kątach w stopniach
Zadania szkolne bardzo często podają kąt w stopniach, a promień w centymetrach. Wtedy najprościej używać wersji ze stopniami.
Przykład 7. Promień koła (r = 6) cm, kąt środkowy wycinka (45°). Oblicz pole wycinka.
Pole koła: (pi cdot 6^2 = 36pi) cm².
Ułamek kąta: (dfrac{45}{360} = dfrac{1}{8}).
(
P = dfrac{1}{8} cdot 36pi = dfrac{36pi}{8} = dfrac{9pi}{2} text{cm}^2.
)
Przykład 8. Wycinek koła ma kąt środkowy 120°, promień 4 cm. Znajdź jego pole.
Pole koła: (pi cdot 4^2 = 16pi) cm².
Ułamek kąta: (dfrac{120}{360} = dfrac{1}{3}).
(
P = dfrac{1}{3} cdot 16pi = dfrac{16pi}{3} text{cm}^2.
)
Pole wycinka przy kątach w radianach
Jeśli kąt masz w radianach, wzór jest prosty i bezpośredni. Wystarczy pilnować, by przypadkiem nie podstawić kąta w stopniach do wzoru „radianowego”.
Przykład 9. Wyznacz pole wycinka koła o promieniu 5 cm i kącie środkowym (dfrac{pi}{6}) rad.
(
P = dfrac{1}{2} r^2 alpha = dfrac{1}{2} cdot 5^2 cdot dfrac{pi}{6}
= dfrac{1}{2} cdot 25 cdot dfrac{pi}{6}
= dfrac{25pi}{12} text{cm}^2.
)
Przykład 10. Kąt środkowy wycinka to (dfrac{3pi}{4}) rad, promień 2 cm. Znajdź pole wycinka.
(
P = dfrac{1}{2} cdot 2^2 cdot dfrac{3pi}{4}
= dfrac{1}{2} cdot 4 cdot dfrac{3pi}{4}
= 2 cdot dfrac{3pi}{4}
= dfrac{3pi}{2} text{cm}^2.
)
Zadania mieszane: długość łuku i pole wycinka w jednym układzie
W większości ciekawszych zadań długość łuku i pole wycinka nie pojawiają się osobno, tylko łączą się w jednym rysunku. Trzeba wtedy świadomie przeskakiwać między wzorami oraz między stopniami a radianami.
Od łuku do pola – typowy łańcuch obliczeń
Częsty układ: dane są promień i długość łuku, a szukane – pole wycinka. Po drodze trzeba wyznaczyć kąt.
Przykład 11. Wycinek ma promień (r = 6) cm i długość łuku (L = 3pi) cm. Oblicz pole wycinka.
-
Najpierw kąt w radianach z długości łuku:
(
L = ralpha Rightarrow alpha = dfrac{L}{r} = dfrac{3pi}{6} = dfrac{pi}{2} text{rad}.
) -
Teraz pole wycinka z kąta w radianach:
(
P = dfrac{1}{2} r^2 alpha = dfrac{1}{2} cdot 6^2 cdot dfrac{pi}{2}
= dfrac{1}{2} cdot 36 cdot dfrac{pi}{2}
= 9pi text{cm}^2.
)
Łańcuch: długość łuku → kąt → pole wraca w wielu zadaniach, szczególnie tam, gdzie dane są „rozsiane” po rysunku.
Od pola do łuku – zadania „na odwrót”
Może być też odwrotnie: powierzchnia wycinka jest znana, a pytanie dotyczy długości łuku.
Przykład 12. Pole wycinka koła o promieniu 10 cm jest równe (25pi) cm². Oblicz długość łuku tego wycinka.
-
Z pola wyznacz kąt w radianach:
(
P = dfrac{1}{2} r^2 alpha Rightarrow
25pi = dfrac{1}{2} cdot 10^2 cdot alpha
= 50 alpha.
)(
alpha = dfrac{25pi}{50} = dfrac{pi}{2} text{rad}.
) -
Teraz długość łuku:
(
L = ralpha = 10 cdot dfrac{pi}{2} = 5pi text{cm}.
)
W podobnych zadaniach łatwo pomylić się na etapie przekształcania wzorów. Pomaga spokojne zapisanie każdego kroku, zamiast robienia wszystkiego „w głowie”.
Dwa wycinki w jednym kole – porównywanie łuków i pól
Gdy w tym samym okręgu porównuje się wycinki, relacje między ich kątami, długościami łuków i polami są bardzo proste. Wspólny promień redukuje problem do proporcji kątów.
- W tym samym kole stosunek długości łuków dwóch wycinków jest równy stosunkowi ich kątów.
- W tym samym kole stosunek pól dwóch wycinków jest równy stosunkowi ich kątów.
Dzieje się tak, bo we wzorach na długość łuku i pole wycinka promień jest ten sam i skraca się w proporcji.
Przykład 13. W jednym kole są dwa wycinki o kątach 40° i 100°. Jaki jest stosunek:
- długości ich łuków,
- pól tych wycinków?
Stosunek kątów:
(
dfrac{40°}{100°} = dfrac{2}{5}.
)
Taki sam stosunek mają długości łuków i pola:
- (L_1 : L_2 = 2 : 5),
- (P_1 : P_2 = 2 : 5).
Rachunek na wzorach dałby dokładnie to samo, ale z większą ilością liczb po drodze.
Wycinek a trójkąt: zadania z „plastrami” w środku koła
Wycinek koła bardzo często pojawia się razem z trójkątem utworzonym przez dwa promienie i cięciwę. Taki trójkąt środkowy ma ten sam kąt przy wierzchołku, co wycinek, więc można płynnie łączyć geometrię kół z klasycznymi wzorami na pole trójkąta.
Różnica pola: wycinek minus trójkąt
Typowy motyw: obliczenie pola „wygiętego trójkąta”, czyli obszaru ograniczonego dwoma promieniami i łukiem, ale bez środka. To po prostu:
(
P_{text{różnica}} = P_{text{wycinka}} – P_{triangle}.
)
Przykład 14. W kole o promieniu 5 cm kąt środkowy wycinka ma miarę 60°. Oblicz pole części zawartej między łukiem a cięciwą tego wycinka.
-
Pole wycinka (w stopniach):
(
P_{text{wycinka}} = dfrac{60°}{360°} cdot pi r^2
= dfrac{1}{6} cdot pi cdot 25
= dfrac{25pi}{6} text{cm}^2.
) -
Pole trójkąta równobocznego (bo 60° i dwa promienie 5 cm):
(
P_{triangle} = dfrac{a^2sqrt{3}}{4}, text{gdzie} a = 5.
)(
P_{triangle} = dfrac{25sqrt{3}}{4} text{cm}^2.
) -
Różnica:
(
P_{text{różnica}} = dfrac{25pi}{6} – dfrac{25sqrt{3}}{4} text{cm}^2.
)
W zadaniach egzaminacyjnych często nie wymaga się przybliżenia – ważne jest poprawne ustawienie odejmowania dwóch pól.
Pole trójkąta środkowego z funkcji trygonometrycznych
Gdy kąt nie jest 60° lub nie tworzy łatwego trójkąta, wygodniej sięgnąć po wzór:
(
P_{triangle} = dfrac{1}{2}absingamma,
)
gdzie (a) i (b) to boki tworzące kąt (gamma). Dla trójkąta z dwóch promieni (długość (r)) i kąta środkowego (alpha):
(
P_{triangle} = dfrac{1}{2} r^2 sinalpha.
)
Ten sam kąt (alpha) używany jest jednocześnie przy polu wycinka i przy polu trójkąta.
Przykład 15. W kole o promieniu 8 cm dany jest wycinek o kącie środkowym 120°. Oblicz pole obszaru między łukiem a cięciwą.
-
Pole wycinka:
(
P_{text{wycinka}} = dfrac{120°}{360°} cdot pi cdot 8^2
= dfrac{1}{3} cdot 64pi
= dfrac{64pi}{3} text{cm}^2.
) -
Pole trójkąta:
(
P_{triangle} = dfrac{1}{2} r^2 sin 120°
= dfrac{1}{2} cdot 64 cdot sin 120°.
)(
sin 120° = sin 60° = dfrac{sqrt{3}}{2},
)(
P_{triangle} = 32 cdot dfrac{sqrt{3}}{2} = 16sqrt{3} text{cm}^2.
) -
Różnica pól:
(
P = P_{text{wycinka}} – P_{triangle}
= dfrac{64pi}{3} – 16sqrt{3} text{cm}^2.
)
Długość cięciwy z łuku lub z kąta
Obok długości łuku pojawia się długość cięciwy, czyli odcinka łączącego końce łuku. Dla promienia (r) i kąta środkowego (alpha) (w radianach lub stopniach, byle konsekwentnie przy sinusie) wygodny jest wzór:
(
c = 2rsindfrac{alpha}{2}.
)
Przykład 16. W kole o promieniu 9 cm kąt środkowy wycinka ma miarę 80°. Oblicz długość cięciwy ograniczającej ten wycinek.
(
c = 2 cdot 9 cdot sindfrac{80°}{2}
= 18 sin 40°.
)
Jeśli potrzebne jest przybliżenie, korzysta się z kalkulatora:
(
sin 40° approx 0{,}643 Rightarrow c approx 18 cdot 0{,}643 approx 11{,}6 text{cm}.
)
Jeśli zamiast kąta znana jest długość łuku, można najpierw wyznaczyć kąt (z (L = ralpha)), a dopiero potem policzyć cięciwę ze wzoru z sinusem.
Zadania tekstowe z życia codziennego
Łuki i wycinki pojawiają się nie tylko w „suchych” rysunkach geometrycznych. Typowe przykłady to: fragmenty torów, ronda, łukowe schody, sektory na wykresach kołowych czy nawet kawałki blachy wycinanej po łuku.
Droga po łuku – ruch po okręgu
Na torach, rondach czy w ruchu obrotowym długość łuku to po prostu droga pokonana przy stałym promieniu. Gdy znasz prędkość kątową lub czas obrotu, można szybko przejść z kąta do długości trajektorii.
Przykład 17. Samochód jedzie po łuku ronda o promieniu 20 m, pokonując kąt 90°. Jaką drogę przejechał po łuku?
(
L = dfrac{90°}{360°} cdot 2pi r
= dfrac{1}{4} cdot 2pi cdot 20
= dfrac{40pi}{4}
= 10pi text{m} approx 31{,}4 text{m}.
)
Jeśli zamiast kąta w stopniach podany jest czas obrotu i prędkość kątowa, najpierw oblicza się kąt, a dopiero potem długość łuku.
Wycinek jako kawałek materiału lub płyty
Przy projektowaniu daszków, blaszanych osłon czy wycinków z drewna ważne jest pole materiału. Pojawia się wtedy proste zadanie na wycinek, ale często z dodatkowymi warunkami – np. wycinek ma po rozwinięciu utworzyć stożek.
Przykład 18. Blaszany dach ma kształt wycinka koła o promieniu 2 m i kącie 150°. Oblicz powierzchnię blachy potrzebnej do wykonania takiego dachu.
(
P = dfrac{150°}{360°} cdot pi cdot 2^2
= dfrac{5}{12} cdot 4pi
= dfrac{20pi}{12}
= dfrac{5pi}{3} text{m}^2.
)
Jeśli później wycinek zwija się np. w stożek, długość łuku staje się obwodem podstawy stożka, a promień wycinka – tworzącą stożka. Wtedy do gry wchodzi jeszcze geometria brył, ale punktem wyjścia nadal są proste wzory na łuk i wycinek.
Typowe pułapki i błędy przy długości łuku i polu wycinka
Mieszanie stopni i radianów
Najczęstszy problem: podstawienie kąta w stopniach do wzorów przeznaczonych dla radianów. Zdarza się też odwrotna sytuacja – plan był na korzystanie z radianów, ale ktoś w połowie zadania wraca do stopni.
- Jeśli używasz (L = ralpha) lub (P = dfrac{1}{2}r^2alpha), (alpha) musi być w radianach.
- Jeśli w zadaniu cały czas podano kąty w stopniach i nie ma potrzeby przechodzenia na radiany, wygodniej zostać przy „procentowych” wersjach wzorów.
Prosty test: dla kąta 90° i promienia 1:
- prawidłowa długość łuku to (dfrac{1}{4}) obwodu, czyli (dfrac{pi}{2}),
- gdyby ktoś wziął (L = 1 cdot 90), wyszłoby 90, co od razu widać jako absurdalne.
Mylenie długości łuku z obwodem koła
Czasem w rozwiązaniach pojawia się nagłe użycie pełnego obwodu (2pi r), mimo że kąt jest wyraźnie mniejszy niż 360°. Długość łuku jest zawsze ułamkiem obwodu:
(
L = dfrac{alpha_{text{°}}}{360°} cdot 2pi r
)
lub
(
L = ralpha_{text{rad}}.
)
Niedokładne rysunki i złudne „na oko”
Przy łukach i wycinkach rysunek bardzo łatwo wprowadza w błąd. Kąt wygląda na „prawie prosty”, promienie wydają się równe, ale linijka i cyrkiel mówią co innego. Gdy rozwiązanie opiera się na „na oko”, szybko pojawiają się sprzeczne wyniki.
- Jeśli w treści nie podano, że trójkąt jest równoboczny, to sam fakt, że „tak wygląda”, nic nie znaczy.
- Kąt środkowy mierzy się z danych liczbowych, a nie z rysunku – szkic ma pomóc zrozumieć układ, nie zastępuje obliczeń.
Dobrym nawykiem jest krótkie sprawdzenie, czy wynik ma sens: im większy kąt, tym dłuższy łuk i większe pole wycinka. Jeśli rysunek sugeruje coś przeciwnego, trzeba wrócić do rachunków.
Błędy jednostek i „gubienie” centymetrów
W zadaniach obliczeniowych potrafią ginąć jednostki. Ktoś liczy długość łuku, dostaje liczbę, ale nie dopisuje cm, m, stopni. W zadaniach na ocenę lub egzamin często kosztuje to punkt, a przy bardziej złożonej geometrii powoduje też merytoryczne pomyłki.
- Przy długościach (łuk, cięciwa, promień) zawsze dodaj jednostkę długości: cm, m, km.
- Przy polach (wycinek, różnica pól) używaj jednostek kwadratowych: cm(^2), m(^2).
- Kąt to nie „cm” ani „m” – opisuj go symbolem „°” lub dopiskiem „rad”.
W praktyce projektowej (np. arkusz blachy, łuk krawężnika) brak jednostek prowadzi do złych zamówień materiału. W szkolnym zadaniu chroni przed tym systematyczne dopisywanie jednostek przy każdym wyniku pośrednim.
Łączenie łuku i wycinka z innymi działami geometrii
Wycinek a stożek obrotowy
Wycinek koła często pełni rolę „szablonu” do zrobienia stożka. Po zagięciu:
- promień wycinka staje się tworzącą stożka (l),
- długość łuku wycinka staje się obwodem podstawy stożka (2pi R),
- pole wycinka staje się polem powierzchni bocznej stożka.
To pozwala przekładać zadania z płaszczyzny na bryły i odwrotnie.
Przykład 19. Z kartonu w kształcie wycinka koła o promieniu 12 cm i kącie 90° zrobiono stożek (bez podstawy). Oblicz promień podstawy stożka i jego wysokość.
-
Długość łuku wycinka:
(
L = dfrac{90°}{360°} cdot 2pi cdot 12
= dfrac{1}{4} cdot 24pi
= 6pi text{cm}.
) -
Ten łuk staje się obwodem podstawy stożka:
(
2pi R = 6pi Rightarrow R = 3 text{cm}.
) -
Promień wycinka to tworząca stożka:
(
l = 12 text{cm}.
) -
Wysokość stożka z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych (h), (R) i przeciwprostokątnej (l):
(
h^2 + R^2 = l^2
Rightarrow h^2 + 3^2 = 12^2
Rightarrow h^2 = 144 – 9 = 135.
)(
h = sqrt{135} = 3sqrt{15} text{cm}.
)
Ta zależność „łuk = obwód podstawy” pojawia się często w zadaniach o stożkach zwijanych z blachy lub papieru.
Wycinek i pole pierścienia kołowego
Gdy z jednego koła wycina się mniejsze w środku, powstaje pierścień. Jego „sektor” to różnica dwóch wycinków o tym samym kącie, ale różnych promieniach.
Dla promieni (R) i (r) (z (R > r)) oraz tego samego kąta (alpha) w stopniach:
(
P_{text{pierścienia-wycinka}} = dfrac{alpha}{360°}pi R^2 – dfrac{alpha}{360°}pi r^2
= dfrac{alpha}{360°}pileft(R^2 – r^2right).
)
Przykład 20. Dane są dwa współśrodkowe okręgi o promieniach 5 cm i 9 cm. Rozpatrujemy wycinek pierścienia kołowego o kącie 120°. Oblicz pole tego wycinka pierścienia.
(
P = dfrac{120°}{360°}pileft(9^2 – 5^2right)
= dfrac{1}{3}pileft(81 – 25right)
= dfrac{1}{3}picdot 56
= dfrac{56pi}{3} text{cm}^2.
)
Taki układ geometryczny jest typowy np. dla fragmentu toru biegowego między dwiema równoległymi prostymi.
Wycinek, trójkąt i trapez – zadania mieszane
W jednym rysunku można mieć naraz wycinek, trójkąt i trapez, szczególnie gdy cięciwa jest przedłużona lub do koła dorysowano styczną. Wtedy poszczególne fragmenty płaszczyzny liczy się osobno i składa w całość.
Przykład 21. W kole o promieniu 6 cm kąt środkowy wycinka wynosi 100°. Przez końce cięciwy poprowadzono styczne do okręgu; odcinek między punktami styczności jest równoległy do cięciwy i tworzy z nią trapez. Oblicz pole części zawartej między tym trapezem a łukiem (schematycznie: „czapka” nad trapezem).
Rozwiązanie można rozłożyć na kilka kroków:
- Oblicz pole wycinka o kącie 100°.
- Znajdź długość cięciwy, korzystając z (c = 2rsin dfrac{alpha}{2}).
- Wyznacz odległość cięciwy od środka koła (wysokość trójkąta isosceles) i z niej wysokość całego trapezu.
- Oblicz pole trapezu z klasycznego wzoru, a następnie odejmij je od pola wycinka.
Takie zadanie wymusza łączenie pracy z miarą kąta z umiejętnością stosowania wzorów na pole różnych figur.
Strategie skutecznej pracy z zadaniami o łukach i wycinkach
Rysunek z oznaczeniami jako „mapa zadania”
Pierwszym krokiem, który ułatwia niemal każde zadanie, jest czytelny szkic. Warto nie tylko narysować okrąg, lecz także:
- zaznaczyć promień z podaną długością,
- wpisać przy łuku miarę kąta (stopnie lub radiany),
- podpisać istotne punkty: środek (O), punkty na okręgu (A), (B), wierzchołki trójkątów,
- rozróżnić różnymi kolorami (lub chociaż różną kreską) odcinki: cięciwy, promienie, styczne.
Taki rysunek szybko pokazuje, czy pracujemy z wycinkiem, pierścieniem, trójkątem środkowym, a może z kilkoma łukami naraz. Łatwiej wtedy dobrać właściwy wzór.
Dobór wzoru do informacji z treści
Zanim pojawią się rachunki, dobrze jest odpowiedzieć sobie na krótkie pytania:
- Czy kąt podany jest w stopniach, czy w radianach?
- Czy znam promień, czy raczej długość łuku / pole wycinka i muszę z nich wydobyć (r) lub (alpha)?
- Czy poza wycinkiem jest w zadaniu trójkąt, trapez, pierścień?
Od tego zależy, czy wygodniej użyć:
- wzorów „na ułamek” obwodu/pola: (dfrac{alpha_{text{°}}}{360°} cdot 2pi r), (dfrac{alpha_{text{°}}}{360°} cdot pi r^2),
- czy wersji „radianowych”: (L = ralpha), (P = dfrac{1}{2}r^2alpha),
- oraz czy do trójkąta lepiej podejść z klasycznym wzorem (dfrac{1}{2}ah), czy z trygonometrycznym (dfrac{1}{2}absingamma).
Odwracanie wzorów – wyznaczanie promienia i kąta
Nie zawsze długość łuku i promień są dane. Często trzeba odwrócić znane wzory, co dla wielu osób jest trudniejsze niż samo podstawianie.
Jeśli znasz długość łuku (L) i promień (r), możesz wyznaczyć kąt:
- w radianach:
(
alpha = dfrac{L}{r},
) - w stopniach (korzystając z pełnego obwodu):
(
dfrac{alpha_{text{°}}}{360°} = dfrac{L}{2pi r}
Rightarrow alpha_{text{°}} = 360° cdot dfrac{L}{2pi r}.
)
Analogicznie, gdy znasz pole wycinka (P) i kąt:
- w stopniach:
(
P = dfrac{alpha_{text{°}}}{360°}pi r^2
Rightarrow r^2 = dfrac{360°}{alpha_{text{°}}} cdot dfrac{P}{pi},
) - w radianach:
(
P = dfrac{1}{2}r^2alpha
Rightarrow r^2 = dfrac{2P}{alpha}.
)
Takie „odwrócone” zadania pojawiają się np. przy planowaniu długości ogrodzenia po łuku lub przy wymiarowaniu wykresów kołowych.
Krótka seria zadań treningowych
Ćwiczenia na długość łuku
Dobrą metodą nauki jest rozwiązanie kilku prostych, a potem coraz bardziej złożonych zadań. Poniżej kilka propozycji do samodzielnej pracy.
-
W okręgu o promieniu 7 cm kąt środkowy wycinka ma miarę 45°. Oblicz:
- długość łuku (dokładnie i w przybliżeniu),
- jaki to ułamek całego obwodu.
-
Długość łuku koła o promieniu 10 cm wynosi (5pi) cm. Wyznacz miarę kąta środkowego:
- w radianach,
- w stopniach (z dokładnością do 1°).
- Piłkarz wykonuje rzut rożny; piłka porusza się po łuku koła o promieniu 9 m i zatacza kąt 60°. Oblicz drogę, jaką pokonał środek piłki po tym łuku.
Ćwiczenia na pole wycinka i figury z nim związane
- Wycinek koła o promieniu 4 cm ma kąt 135°. Oblicz jego pole oraz pole trójkąta środkowego wyznaczonego przez dwa promienie i cięciwę. Ile wynosi różnica pól?
-
W pierścieniu kołowym o promieniach 3 cm i 5 cm rozpatrujemy wycinek o kącie 210°. Oblicz:
- pole całego pierścienia,
- pole danego wycinka pierścienia.
- W okręgu o promieniu 6 cm wycięto wycinek tak, że pole pozostałej części koła jest równe (18pi) cm(^2). Oblicz miarę kąta wyciętego wycinka.
Ćwiczenia łączące łuk, cięciwę i trójkąt
-
W kole o promieniu 10 cm dany jest wycinek o kącie 72°. Oblicz:
- długość łuku tego wycinka,
- długość cięciwy ograniczającej wycinek,
- pole obszaru między łukiem a cięciwą.
-
Z blachy w kształcie wycinka koła o promieniu 15 cm wykonano stożek. Obwód podstawy stożka wynosi (12pi) cm.
- Oblicz miarę kąta wycinka,
- oblicz pole powierzchni bocznej stożka.
- W kole o promieniu 5 cm cięciwa ma długość 8 cm. Oblicz miarę kąta środkowego odpowiadającego tej cięciwie oraz pole wycinka, który ona ogranicza.
Najczęściej zadawane pytania (FAQ)
Jak obliczyć długość łuku okręgu, gdy znam promień i kąt?
Jeśli kąt podany jest w stopniach, skorzystaj ze wzoru:
(L = dfrac{alpha_{text{°}}}{360°} cdot 2pi r),
gdzie (L) to długość łuku, (alpha_{text{°}}) – kąt środkowy w stopniach, a (r) – promień okręgu.
Jeśli kąt masz w radianach, wzór jest prostszy:
(L = r cdot alpha_{text{rad}}).
Pamiętaj, że w tym wzorze (alpha) musi być wyrażone w radianach, a nie w stopniach.
Jaki jest wzór na pole wycinka koła i kiedy używać stopni, a kiedy radianów?
Dla kąta w stopniach stosujemy wzór:
(P = dfrac{alpha_{text{°}}}{360°} cdot pi r^2),
gdzie (P) to pole wycinka, (alpha_{text{°}}) – kąt środkowy w stopniach, a (r) – promień.
Dla kąta w radianach dużo wygodniejszy jest wzór:
(P = dfrac{1}{2} r^2 alpha_{text{rad}}).
W zadaniach bardziej zaawansowanych (np. z trygonometrii) zwykle pracuje się w radianach, w prostszych zadaniach szkolnych częściej używa się stopni.
Jak zamienić stopnie na radiany i radiany na stopnie?
Do zamiany stopni na radiany użyj wzoru:
(alpha_{text{rad}} = alpha_{text{°}} cdot dfrac{pi}{180°}).
Przykład: (60° = 60 cdot dfrac{pi}{180} = dfrac{pi}{3}) rad.
Do zamiany radianów na stopnie służy wzór:
(alpha_{text{°}} = alpha_{text{rad}} cdot dfrac{180°}{pi}).
Przykład: (dfrac{pi}{2} text{rad} = dfrac{pi}{2} cdot dfrac{180°}{pi} = 90°).
Czym różni się kąt środkowy od kąta wpisanego i który jest potrzebny do długości łuku?
Kąt środkowy ma wierzchołek w środku koła, a jego ramiona przechodzą przez punkty na okręgu. Właśnie ten kąt wykorzystujemy zawsze do obliczania długości łuku i pola wycinka.
Kąt wpisany ma wierzchołek na okręgu, a jego ramiona przecinają okrąg. Kąt wpisany oparty na tym samym łuku jest równy połowie kąta środkowego. Jeśli w zadaniu podano kąt wpisany, trzeba najpierw wyznaczyć odpowiadający mu kąt środkowy (podwajając go), a dopiero potem liczyć długość łuku czy pole wycinka.
Jak obliczyć kąt środkowy, gdy znam długość łuku?
Najwygodniej jest skorzystać ze wzoru na długość łuku w radianach:
(L = r cdot alpha_{text{rad}}).
Po przekształceniu otrzymujemy:
(alpha_{text{rad}} = dfrac{L}{r}).
Jeśli potrzebujesz kąta w stopniach, po obliczeniu (alpha_{text{rad}}) zamieniasz go na stopnie korzystając z:
(alpha_{text{°}} = alpha_{text{rad}} cdot dfrac{180°}{pi}).
Dlaczego do wzorów na łuk i pole wycinka lepiej używać radianów?
W radianach wzory mają bardzo prostą postać:
długość łuku: (L = r cdot alpha),
pole wycinka: (P = dfrac{1}{2} r^2 cdot alpha).
To wynika z definicji radiana i sprawia, że rachunki są krótsze i mniej podatne na pomyłki.
W stopniach trzeba zawsze uwzględniać ułamek pełnego kąta (dzielić przez 360°), co wydłuża zapis. Dlatego w trudniejszych zadaniach (np. z funkcjami trygonometrycznymi) standardem są radiany, choć w szkole podstawowej często używa się stopni ze względu na ich intuicyjność.
Najbardziej praktyczne wnioski
- Poprawne obliczanie długości łuku i pola wycinka zawsze zaczyna się od właściwego odczytania i przeliczenia miary kąta (stopnie ↔ radiany).
- Radian jest zdefiniowany tak, aby kąt środkowy obejmujący łuk o długości równej promieniowi miał miarę 1 rad, co prowadzi do prostego wzoru: długość łuku = promień × kąt w radianach.
- Kąt środkowy jest kluczowy przy łuku i wycinku – jeśli w zadaniu występuje inny typ kąta (np. wpisany), trzeba go najpierw powiązać z kątem środkowym.
- Podstawowe wzory w radianach to: dla długości łuku L = r·α oraz dla pola wycinka P = ½·r²·α, gdzie α jest wyrażone w radianach.
- Przy kątach w stopniach wygodnie korzystać z ułamka pełnego obrotu: L = (α°/360°)·2πr dla długości łuku oraz P = (α°/360°)·πr² dla pola wycinka.
- Radiany upraszczają rachunki w trudniejszych zadaniach, ale wymagają opanowania konwersji jednostek oraz zapamiętania podstawowych zamian (np. 30° = π/6, 90° = π/2, 180° = π).
