Zastosowanie wzorów skróconego mnożenia w rozkładzie na czynniki: przykłady od łatwych do trudnych

Przez
MatmaLogic
-
0
25
Rate this post

Spis Treści:

Czym są wzory skróconego mnożenia i dlaczego tak ułatwiają rozkład na czynniki?

Intuicja stojąca za rozkładem na czynniki

Rozkładanie wyrażeń algebraicznych na czynniki to odpowiednik „rozbijania” liczb na iloczyn prostszych składników. Tak jak liczba 60 może zostać zapisana jako iloczyn 2 · 2 · 3 · 5, tak wyrażenie algebraiczne można zapisać jako iloczyn prostszych wyrażeń. Dzięki temu łatwiej je upraszczać, rozwiązywać równania czy analizować własności funkcji.

Najczęściej rozkład na czynniki pojawia się przy rozwiązywaniu równań kwadratowych, skracaniu ułamków algebraicznych czy wyznaczaniu miejsc zerowych wielomianów. Zamiast żmudnie liczyć deltę, można czasem „zobaczyć” postać iloczynową, jeśli zna się i stosuje wzory skróconego mnożenia.

Wzory skróconego mnożenia są gotowymi schematami, które pozwalają szybko zamienić sumę lub różnicę na iloczyn (albo odwrotnie). W praktyce działa to w dwie strony: raz służą do szybkiego mnożenia, innym razem – do natychmiastowego rozkładu na czynniki. W kontekście tego tematu interesuje przede wszystkim ten drugi kierunek.

Podstawowy zestaw wzorów skróconego mnożenia

Klasyczne wzory skróconego mnożenia, które są najczęściej wykorzystywane przy rozkładzie na czynniki, to:

  • Kwadrat sumy: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
  • Kwadrat różnicy: (a − b)2 = a2 − 2ab + b2
  • Różnica kwadratów: a2 − b2 = (a − b)(a + b)
  • Sześcian sumy: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
  • Sześcian różnicy: (a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3
  • Suma sześcianów: a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
  • Różnica sześcianów: a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

W rozkładzie na czynniki korzysta się z nich „od końca”. Na przykład z wyrażenia a2 − b2 od razu przechodzi się do (a − b)(a + b). Albo z wyrażenia x2 − 10x + 25 tworzy się (x − 5)2. Sukces zależy głównie od tego, czy uda się rozpoznać strukturę pasującą do któregoś wzoru.

Jak myśleć o wzorach skróconego mnożenia w praktyce?

Te wzory można traktować jak „szablony” do dopasowania. W praktyce warto zadawać sobie dwa pytania:

  1. Do którego z poznanych wzorów to wyrażenie jest najbardziej podobne?
  2. Co muszę wyciągnąć przed nawias lub jak przekształcić wyrażenie, aby idealnie do tego wzoru pasowało?

Najprostsze przykłady działają bez kombinowania, trudniejsze wymagają przygotowania wyrażenia – np. wyciągnięcia wspólnego czynnika, uporządkowania kolejności wyrazów lub dopisania zera w „sprytny” sposób. W kolejnych sekcjach przechodzą kolejne stopnie trudności od zadań elementarnych po bardziej złożone.

Nauczyciel przy tablicy wyjaśnia uczniom równania algebraiczne
Źródło: Pexels | Autor: Vanessa Garcia

Kwadrat sumy i kwadrat różnicy w rozkładzie na czynniki

Rozpoznawanie „idealnych” kwadratów trójmianu

Wzory kwadratu sumy i różnicy najczęściej wykorzystuje się przy trójmianach kwadratowych postaci:

  • x2 + 2ax + a2 = (x + a)2
  • x2 − 2ax + a2 = (x − a)2

Kluczowe są tu dwie obserwacje:

  1. Pierwszy i ostatni wyraz muszą być pełnymi kwadratami (np. 4x2, 9, 16y2).
  2. Wyraz środkowy musi odpowiadać wzorowi ±2·pierwiastek z pierwszego wyrazu · pierwiastek z ostatniego wyrazu.

Przykład:

Rozłóż na czynniki: x2 − 6x + 9

  • x2 = (x)2
  • 9 = (3)2
  • Środkowy wyraz: −6x = −2·x·3

Wszystko pasuje do wzoru kwadratu różnicy, zatem:

x2 − 6x + 9 = (x − 3)2

Proste przykłady z liczbowymi współczynnikami

W praktyce szkolnej pojawia się wiele trójmianów, które można rozłożyć w ten sposób, np.:

  • 4x2 + 12x + 9
  • 9y2 − 30y + 25
  • 25a2 − 20a + 4

Opracujmy po kolei jeden z nich.

Przykład: Rozłóż na czynniki 4x2 + 12x + 9

  1. Sprawdzenie kwadratów:
    • 4x2 = (2x)2
    • 9 = 32
  2. Wyraz środkowy: 12x = 2·(2x)·3 → pasuje do wzoru a2 + 2ab + b2.
  3. Czyli 4x2 + 12x + 9 = (2x + 3)2.

Takie proste przykłady oswajają z mechanizmem rozpoznawania „idealnych” kwadratów. Z czasem wystarczy jedno spojrzenie, aby zauważyć, że dany trójmian da się zapisać jako kwadrat sumy lub różnicy.

Wyciąganie czynnika przed nawias a kwadrat sumy/różnicy

Niekiedy trójmian nie wygląda na „idealny kwadrat”, dopóki nie wyciągnie się jakiegoś czynnika przed nawias. Klasyczny przypadek: współczynnik przy x2 jest większy od 1 i tworzy się wspólny czynnik mniejszy niż ten współczynnik.

Przykład: Rozłóż na czynniki 2x2 + 8x + 8

  1. Najpierw wyciągnij wspólny czynnik: 2x2 + 8x + 8 = 2(x2 + 4x + 4).
  2. Teraz trójmian w nawiasie: x2 + 4x + 4 = (x + 2)2.
  3. Ostatecznie: 2x2 + 8x + 8 = 2(x + 2)2.
Polecane dla Ciebie:  Algebra a kreatywność – czy to możliwe?

Bez tego pierwszego kroku dopasowanie do wzoru byłoby trudne, bo 2x2 i 8 nie są pełnymi kwadratami. Po wyciągnięciu dwójki cała sytuacja staje się oczywista.

Różnica kwadratów jako najczęściej używany wzór w rozkładzie

Podstawowa postać różnicy kwadratów

Wzór różnicy kwadratów ma postać:

a2 − b2 = (a − b)(a + b)

Jest wyjątkowo wygodny, ponieważ zamienia pozornie nierozkładalną różnicę na prosty iloczyn dwóch nawiasów. Typowe proste przykłady to:

  • x2 − 16 = (x − 4)(x + 4)
  • a2 − 9 = (a − 3)(a + 3)
  • 25 − y2 = (5 − y)(5 + y)

W każdym przypadku ważne jest rozpoznanie pełnych kwadratów. Różnica kwadratów zachodzi wtedy, gdy oba składniki (z plusem i minusem) są kwadratami pewnych wyrażeń.

Ukryta różnica kwadratów: ułamki i pierwiastki

Różnica kwadratów pojawia się również w mniej „schoolbookowych” przykładach, np. z pierwiastkami czy ułamkami:

  • x2 − 1/4 = (x)2 − (1/2)2 = (x − 1/2)(x + 1/2)
  • 9 − 4x2 = (3)2 − (2x)2 = (3 − 2x)(3 + 2x)
  • a2 − 2 = a2 − (√2)2 = (a − √2)(a + √2)

Dzięki takiemu podejściu można rozkładać na czynniki nawet te wyrażenia, które zawierają niewygodne liczby. W rozwiązywaniu równań często pozwala to uniknąć bardziej skomplikowanych metod.

Wielokrotne stosowanie różnicy kwadratów

Przy bardziej rozbudowanych wielomianach różnica kwadratów może pojawić się „warstwowo”. Wymaga to kilkukrotnego zastosowania wzoru.

Przykład: Rozłóż na czynniki x4 − 16

  1. Rozpoznanie: x4 − 16 = (x2)2 − 42.
  2. Stosujemy różnicę kwadratów:

    x4 − 16 = (x2 − 4)(x2 + 4).

  3. Drugi nawias (x2 + 4) nie jest różnicą, lecz sumą kwadratów – nad tym na razie się zatrzymujemy (w liczbach rzeczywistych nie rozkładamy).
  4. Pierwszy nawias: x2 − 4 = (x − 2)(x + 2).

Ostatecznie:

x4 − 16 = (x − 2)(x + 2)(x2 + 4)

Ta umiejętność przydaje się szczególnie przy wyższych potęgach, gdzie pierwszym krokiem jest zawsze „zauważenie” a2 − b2 w pewnym miejscu.

Młody mężczyzna w okularach przy tablicy rozwiązuje zadania z algebry
Źródło: Pexels | Autor: Yan Krukau

Sześciany: suma i różnica sześcianów w rozkładzie

Wzory na sumę i różnicę sześcianów

Dla potęg trzecich istnieją dwie ważne tożsamości używane do rozkładu na czynniki:

  • a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)
  • a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

Są mniej „intuicyjne” niż różnica kwadratów, ale w wielu zadaniach okazują się kluczowe. W praktyce najpierw rozpoznaje się wyrażenie jako sumę lub różnicę sześcianów, a potem podstawia do wzoru.

Proste przykłady z sumą i różnicą sześcianów

Lażejsze przykłady to takie, gdzie a i b są bezpośrednio widoczne:

  • x3 − 8 = x3 − 23 = (x − 2)(x2 + 2x + 4)
  • 27 + y3 = 33 + y3 = (3 + y)(9 − 3y + y2)
  • a3 + 8b3 = a3 + (2b)3 = (a + 2b)(a2 − 2ab + 4b2)

W każdym z powyższych przykładów „rdzeń” to zauważenie 8 = 23, 27 = 33 oraz 8b3 = (2b)3. Dalej mechaniczne podłożenie do odpowiedniego wzoru.

Łączenie wzorów sześcianowych z innymi metodami

Zagnieżdżone wzory: sześciany spotykają różnicę kwadratów

W niektórych zadaniach suma lub różnica sześcianów nie jest widoczna od razu, lecz dopiero po wcześniejszym rozłożeniu wyrażenia innym wzorem. Typowy motyw: różnica kwadratów, w której jeden z nawiasów daje się dalej rozłożyć jako suma lub różnica sześcianów.

Przykład: Rozłóż na czynniki x6 − 1

  1. Najpierw potraktuj x6 − 1 jako różnicę kwadratów:

    x6 − 1 = (x3)2 − 12 = (x3 − 1)(x3 + 1).

  2. Każdy z nawiasów to już klasyczna różnica/suma sześcianów:
    • x3 − 1 = x3 − 13 = (x − 1)(x2 + x + 1)
    • x3 + 1 = x3 + 13 = (x + 1)(x2 − x + 1)

Ostatecznie:

x6 − 1 = (x − 1)(x + 1)(x2 + x + 1)(x2 − x + 1)

W podobny sposób można rozkładać wiele wyrażeń typu a6 − b6, najpierw korzystając z różnicy kwadratów, a następnie z wzorów sześcianowych.

Przykład: Rozłóż na czynniki 8x6 − 27y6

  1. Rozpoznaj kwadraty:

    8x6 − 27y6 = (2x3)2 − (3y3)2 = (2x3 − 3y3)(2x3 + 3y3).

  2. Każdy nawias to suma lub różnica sześcianów po małej modyfikacji: 2x3 = (∛2·x)3, 3y3 = (∛3·y)3. W praktyce szkolnej częściej rozkłada się jednak przypadki z „ładniejszymi” współczynnikami, np. 8x6 − y6:

    8x6 − y6 = (2x3)2 − (y3)2 = (2x3 − y3)(2x3 + y3).

Jeżeli dopuszczalne są pierwiastki stopnia trzeciego, można pójść dalej, lecz w typowym zakresie szkoły średniej zatrzymuje się często na poziomie dwóch nawiasów kwadratowych.

Przygotowanie wyrażenia do zastosowania wzoru sześcianowego

Często trzeba „przemodelować” wyrażenie, aby suma/difference sześcianów stała się czytelna. Czasami wystarczy zamiana kolejności wyrazów, innym razem wyciągnięcie wspólnego czynnika.

Przykład: Rozłóż na czynniki 2x3 − 54

  1. Wyciągnij wspólny czynnik:

    2x3 − 54 = 2(x3 − 27).

  2. W nawiasie widoczna jest różnica sześcianów:

    x3 − 27 = x3 − 33 = (x − 3)(x2 + 3x + 9).

Ostatecznie:

2x3 − 54 = 2(x − 3)(x2 + 3x + 9)

Przykład: Rozłóż na czynniki 4a4 + 12a

  1. Na początek wspólny czynnik:

    4a4 + 12a = 4a(a3 + 3).

  2. Teraz a3 + 3 to suma sześcianów, bo 3 = (∛3)3. W zadaniach z „ładnymi” liczbami częściej spotyka się np. 4a(a3 + 8), gdzie:

    a3 + 8 = a3 + 23 = (a + 2)(a2 − 2a + 4).

Taki krok „przygotowujący” (wyciągnięcie czynnika) często jest jedyną rzeczą, która oddziela pozornie trudne wyrażenie od prostego zastosowania wzoru.

Łączenie wzorów skróconego mnożenia z wyciąganiem wspólnego czynnika

Wyciąganie największego możliwego czynnika

Jedną z najpraktyczniejszych umiejętności jest wyłapanie wspólnego czynnika w wielu wyrazach. Następnie wewnątrz nawiasu pojawia się prostsze wyrażenie, często pasujące już wprost do któregoś z wzorów.

Przykład: Rozłóż na czynniki 3x3 − 12x2 + 12x

  1. Każdy wyraz ma wspólny czynnik 3x:

    3x3 − 12x2 + 12x = 3x(x2 − 4x + 4).

  2. W nawiasie jest „idealny kwadrat”:

    x2 − 4x + 4 = (x − 2)2.

Otrzymujemy:

3x3 − 12x2 + 12x = 3x(x − 2)2

Przykład: Rozłóż na czynniki 5y3 + 20y2 + 20y

  1. Wspólny czynnik to 5y:

    5y3 + 20y2 + 20y = 5y(y2 + 4y + 4).

  2. Trójmian w nawiasie to kwadrat sumy:

    y2 + 4y + 4 = (y + 2)2.

Stąd:

5y3 + 20y2 + 20y = 5y(y + 2)2

Polecane dla Ciebie:  „Równanie niemożliwe” – historia rozwiązywania wielomianów

„Dwustopniowe” wyciąganie czynnika i rozkład w środku

W bardziej rozbudowanych wielomianach wyciąga się czynnik najpierw „na grubo”, a potem rozkłada wyrażenie w nawiasie jeszcze raz – niekoniecznie jednym wzorem.

Przykład: Rozłóż na czynniki 2x4 − 8x2

  1. Najpierw wspólny czynnik:

2x4 − 8x2 = 2x2(x2 − 4).

  1. W nawiasie pojawia się różnica kwadratów:

    x2 − 4 = (x − 2)(x + 2).

Końcowy rozkład:

2x4 − 8x2 = 2x2(x − 2)(x + 2)

Przykład: Rozłóż na czynniki 6a3 − 24a

  1. Wspólny czynnik 6a:

6a3 − 24a = 6a(a2 − 4).

  1. Różnica kwadratów w nawiasie:

    a2 − 4 = (a − 2)(a + 2).

6a3 − 24a = 6a(a − 2)(a + 2)

Uśmiechnięta uczennica z plecakiem przy tablicy z wzorami algebraicznymi
Źródło: Pexels | Autor: Max Fischer

Grupowanie wyrazów i sprytne korzystanie ze wzorów

Grupowanie czterech wyrazów w pary

Gdy wielomian ma cztery wyrazy, często opłaca się je pogrupować. Cecha charakterystyczna: po zgrupowaniu dwóch i dwóch wyrazów można w każdej parze wyciągnąć czynnik, który prowadzi do „takiego samego” nawiasu.

Przykład: Rozłóż na czynniki x3 − x2 − x + 1

  1. Pogrupuj wyrazy:

    x3 − x2 − x + 1 = (x3 − x2) − (x − 1).

  2. Wyciągnij czynnik z każdej pary:

    x2(x − 1) − 1(x − 1) = (x − 1)(x2 − 1).

  3. W drugim nawiasie mamy różnicę kwadratów:

    x2 − 1 = (x − 1)(x + 1).

Całość daje:

x3 − x2 − x + 1 = (x − 1)2(x + 1)

Przykład: Rozłóż na czynniki a3 + a2b − a − b

  1. Naturalne grupowanie po „wspólnym czynniku” w dwóch pierwszych i dwóch ostatnich wyrazach:

    a3 + a2b − a − b = (a3 + a2b) − (a + b).

  2. Wyciągnij czynnik z nawiasów:

    a2(a + b) − 1·(a + b) = (a + b)(a2 − 1).

  3. Rozłóż różnicę kwadratów:

    a2 − 1 = (a − 1)(a + 1).

Otrzymujemy:

a3 + a2b − a − b = (a + b)(a − 1)(a + 1)

Grupowanie prowadzące do sumy lub różnicy sześcianów

Czasem po zgrupowaniu pojawia się bezpośrednio suma lub różnica sześcianów. To już wyższy poziom „sprytu”, ale schemat pozostaje ten sam: najpierw grupujemy, potem w każdej grupie wyciągamy czynnik, a w środku stosujemy jeden z poznanych wzorów.

Przykład: Rozłóż na czynniki x4 + x3 − x − 1

  1. Pogrupuj „początek” i „koniec”:

    x4 + x3 − x − 1 = (x4 + x3) − (x + 1).

  2. Wyciągnij wspólne czynniki:

    x3(x + 1) − 1·(x + 1) = (x + 1)(x3 − 1).

  3. Teraz w drugim nawiasie pojawia się różnica sześcianów:

    x3 − 1 = (x − 1)(x2 + x + 1).

Zatem:

x4 + x3 − x − 1 = (x + 1)(x − 1)(x2 + x + 1)

Przykład (z parametrem): Rozłóż na czynniki a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

  1. To klasyczny wielomian Newtona, ale można na niego spojrzeć przez grupowanie:

    (a3 − 3a2b) + (3ab2 − b3).

  2. Z pierwszej pary wyciągnij a2, z drugiej b2:

    a2(a − 3b) + b2(3a − b).

    3. Rozpoznawanie wzorów „ukrytych” w trójmianach i wielomianach

    W wielu zadaniach wzory skróconego mnożenia nie są widoczne od razu. Czasem trzeba lekko przekształcić wyrażenie: dodać i odjąć ten sam wyraz, wprowadzić parametr pomocniczy, przegrupować potęgi. Taka gimnastyka algebryczna pojawia się często np. przy zadaniach z funkcjami, gdy trzeba wyznaczyć miejsca zerowe wielomianu.

    Przykład: Rozłóż na czynniki x4 − 5x2 + 4

    1. Zauważ, że x4 = (x2)2. Ustaw się myślowo na „kwadrat czegoś”:

      x4 − 5x2 + 4 = (x2)2 − 5x2 + 4.

    2. Potraktuj x2 jako jedną zmienną, np. t:

      t2 − 5t + 4.

    3. Rozłóż trójmian kwadratowy:

      t2 − 5t + 4 = (t − 1)(t − 4).

    4. Wróć do x2 zamiast t:

      (x2 − 1)(x2 − 4).

    5. Każdy nawias to różnica kwadratów:

      x2 − 1 = (x − 1)(x + 1), x2 − 4 = (x − 2)(x + 2).

    Końcowy rozkład:

    x4 − 5x2 + 4 = (x − 2)(x + 2)(x − 1)(x + 1)

    Przykład: Rozłóż na czynniki x6 + 3x3 + 2

    1. Widać potęgi 6 i 3, więc spróbuj wprowadzić t = x3:

      x6 + 3x3 + 2 = (x3)2 + 3x3 + 2 = t2 + 3t + 2.

    2. Rozłóż trójmian w t:

      t2 + 3t + 2 = (t + 1)(t + 2).

    3. Wróć do x3:

      (x3 + 1)(x3 + 2).

    4. Pierwszy nawias to suma sześcianów:

      x3 + 1 = x3 + 13 = (x + 1)(x2 − x + 1).

    Drugi nawias można zostawić (w typowym zakresie szkoły):

    x6 + 3x3 + 2 = (x + 1)(x2 − x + 1)(x3 + 2)

    „Dosztukowywanie” wyrazów, aby zobaczyć znany wzór

    Ciekawą techniką jest dodanie i odjęcie tego samego wyrażenia, dzięki czemu część wielomianu zaczyna przypominać znany wzór. Przydaje się to w zadaniach olimpijskich i w zadaniach maturalnych z gwiazdką.

    Przykład: Rozłóż na czynniki x4 − 4x + 3

    1. Ten wielomian nie ma oczywistego wzoru. Spróbuj sprawdzić proste wartości x:

    x = 1: 1 − 4 + 3 = 0, więc (x − 1) jest dzielnikiem.

    1. Podziel wielomian przez (x − 1), np. przez grupowanie lub schemat Hornera. Zróbmy grupowanie „po swojemu”:

      x4 − 4x + 3 = (x4 − x) + (−3x + 3) = x(x3 − 1) − 3(x − 1).

    2. Zauważ wspólny czynnik (x − 1):

      x(x3 − 1) − 3(x − 1) = x(x − 1)(x2 + x + 1) − 3(x − 1).

      Wyciągnij (x − 1):

      (x − 1)[x(x2 + x + 1) − 3].

    3. Uprość nawias:

      x(x2 + x + 1) − 3 = x3 + x2 + x − 3.

    4. Ponownie szukaj prostego pierwiastka, np. x = 1:

      1 + 1 + 1 − 3 = 0, więc (x − 1) jest jeszcze jednym czynnikiem.

    Po dalszym rozkładzie (np. dzieleniu wielomianów) otrzymujemy:

    x4 − 4x + 3 = (x − 1)2(x2 + 2x + 3)

    Ostatni nawias nie rozkłada się już na czynniki liniowe w liczbach rzeczywistych.

    Wielomiany wyższych stopni: systematyczna strategia

    Rozkład piątego stopnia z użyciem sumy i różnicy kwadratów

    Przy stopniu 5 i wyżej dobre rozpoznanie wzoru często wymaga kilku kroków: wyciągnięcia czynnika, różnicy kwadratów, a potem – w środku – różnicy/sumy sześcianów.

    Przykład: Rozłóż na czynniki x5 − x

    1. Wyciągnij wspólny czynnik x:

      x5 − x = x(x4 − 1).

    2. W nawiasie x4 − 1 to różnica kwadratów:

      x4 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1).

    3. Rozłóż dalej x2 − 1:

      x2 − 1 = (x − 1)(x + 1).

    Otrzymujemy pełen rozkład nad liczbami rzeczywistymi:

    x5 − x = x(x − 1)(x + 1)(x2 + 1)

    Ten schemat często stosuje się przy szukaniu miejsc zerowych funkcji typu x5 − x, x7 − x itp. Rozkład pozwala od razu wypisać rozwiązania równania.

    Przykład: Rozłóż na czynniki x6 − x4 − x2 + 1

    1. Spróbuj grupowania:

      x6 − x4 − x2 + 1 = (x6 − x4) − (x2 − 1).

    2. Wyciągnij czynniki:

      x4(x2 − 1) − (x2 − 1) = (x2 − 1)(x4 − 1).

    3. Każdy nawias to różnica kwadratów:

      x2 − 1 = (x − 1)(x + 1),

      x4 − 1 = (x2 − 1)(x2 + 1) = (x − 1)(x + 1)(x2 + 1).

    Stąd:

    x6 − x4 − x2 + 1 = (x − 1)2(x + 1)2(x2 + 1)

    Łączenie wzorów sześcianowych i kwadratowych w jednym zadaniu

    W zadaniach konkursowych często w jednym wielomianie ukryte są różne wzory naraz. Dobrze wtedy działa schemat: najpierw „porządki” (czynnik wspólny, proste grupowanie), potem rozbijanie kolejnych nawiasów.

    Przykład: Rozłóż na czynniki 8x3 − x2 − 8x + 1

    1. Pogrupuj początek i koniec:

      8x3 − x2 − 8x + 1 = (8x3 − 8x) + (−x2 + 1).

    2. Wyciągnij czynniki z każdej pary:

      8x(x2 − 1) − (x2 − 1) = (x2 − 1)(8x − 1).

    3. Rozłóż różnicę kwadratów:

      x2 − 1 = (x − 1)(x + 1).

    Zatem:

    8x3 − x2 − 8x + 1 = (x − 1)(x + 1)(8x − 1)

    W tym przykładzie wzór kwadratowy objawił się dopiero po sprytnym grupowaniu, a sam sześcian (8x3) nie był bezpośrednio rozkładany.

    Przykład (z parametrem): Rozłóż na czynniki a4 − 4a2b2 + b4

    1. Rozpoznaj „kwadrat czegoś”:

      a4 − 4a2b2 + b4 = (a2)2 − 4a2b2 + (b2)2.

    2. Porównaj ze wzorem (A − B)2 = A2 − 2AB + B2. Tutaj środkowy wyraz to −4a2b2, czyli −2·a2·2b2. Spróbuj więc:

      (a2 − 2b2)2} = a4 − 4a2b2 + 4b4.

    3. Brakuje nam „tylko” 3b4 do dopasowania. Ten przykład pokazuje, że prosty wzór kwadratowy tu nie pasuje; lepiej spróbować innej drogi: potraktować wyrażenie jako trójmian w a2:

      (a2)2 − 4b2a2 + b4.

    4. Oznacz t = a2:

      t2 − 4b2t + b4.

    5. Rozłóż trójmian kwadratowy z parametrem:

      t2 − 4b2t + b4 = (t − b2)(t − 3b2)

      (można to łatwo sprawdzić, wymnażając nawiasy).

    6. Wróć do a2:

      (a2 − b2)(a2 − 3b2).

    7. Pierwszy nawias możesz jeszcze rozpisać:

      a2 − b2 = (a − b)(a + b).

    Ostatecznie:

    a4 − 4a2b2 + b4 = (a − b)(a + b)(a2 − 3b2)

    Zastosowania praktyczne: równania i nierówności

    Rozkład na czynniki nie jest celem samym w sobie. W praktyce najczęściej służy do rozwiązywania równań i nierówności wielomianowych, upraszczania ułamków algebraicznych czy analizy funkcji.

    Przykład (równanie): Rozwiąż w R równanie x4 − 5x2 + 4 = 0

    Najczęściej zadawane pytania (FAQ)

    Jakie są podstawowe wzory skróconego mnożenia używane przy rozkładzie na czynniki?

    Najczęściej używane wzory skróconego mnożenia to:

    • (a + b)² = a² + 2ab + b² – kwadrat sumy
    • (a − b)² = a² − 2ab + b² – kwadrat różnicy
    • a² − b² = (a − b)(a + b) – różnica kwadratów
    • (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ – sześcian sumy
    • (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ – sześcian różnicy
    • a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²) – suma sześcianów
    • a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²) – różnica sześcianów

    W rozkładzie na czynniki korzysta się z nich „od końca”: szukamy, do którego wzoru dane wyrażenie jest podobne i przepisujemy je jako iloczyn nawiasów.

    Jak rozpoznać, że trójmian jest kwadratem sumy lub różnicy?

    Trójmian jest „idealnym kwadratem”, jeśli spełnia dwa warunki:

    • pierwszy i ostatni wyraz są pełnymi kwadratami (np. 4x² = (2x)², 9 = 3², 16y² = (4y)²),
    • wyraz środkowy ma postać ±2 · (pierwiastek z pierwszego wyrazu) · (pierwiastek z ostatniego wyrazu).

    Na przykład x² − 6x + 9: mamy x² = (x)², 9 = 3², a środkowy −6x = −2·x·3, więc całość pasuje do wzoru (x − 3)². Analogicznie postępujemy w bardziej skomplikowanych przykładach, czasem po wcześniejszym wyciągnięciu czynnika przed nawias.

    Kiedy stosuje się wzór na różnicę kwadratów a² − b² = (a − b)(a + b)?

    Wzór na różnicę kwadratów stosujemy, gdy mamy różnicę dwóch pełnych kwadratów, czyli wyrażenie typu „coś do kwadratu minus coś do kwadratu”. Mogą to być zarówno proste liczby, jak i bardziej złożone wyrażenia:

    • x² − 16 = x² − 4² = (x − 4)(x + 4)
    • 9 − 4x² = 3² − (2x)² = (3 − 2x)(3 + 2x)
    • a² − 2 = a² − (√2)² = (a − √2)(a + √2)

    Warto zawsze sprawdzić, czy dany wielomian da się przepisać jako a² − b² (czasem po uporządkowaniu wyrazów lub wyciągnięciu wspólnego czynnika), bo to często znacznie upraszcza równania i ułamki algebraiczne.

    Co zrobić, gdy trójmian nie wygląda na „idealny kwadrat”? (np. 2x² + 8x + 8)

    Jeśli trójmian nie jest od razu idealnym kwadratem, pierwszym krokiem bywa wyciągnięcie wspólnego czynnika przed nawias. Dla 2x² + 8x + 8:

    • wyciągamy 2: 2x² + 8x + 8 = 2(x² + 4x + 4),
    • w nawiasie mamy x² + 4x + 4 = (x + 2)²,
    • ostatecznie: 2x² + 8x + 8 = 2(x + 2)².

    Podobnie postępujemy w innych zadaniach: szukamy wspólnego czynnika, porządkujemy kolejność wyrazów, a dopiero potem próbujemy dopasować wyrażenie do wzoru kwadratu sumy lub różnicy.

    Jak rozpoznać sumę lub różnicę sześcianów i zastosować odpowiedni wzór?

    Najpierw sprawdzamy, czy składniki są sześcianami (lub dają się tak zapisać), np. 8 = 2³, 27 = 3³, 8b³ = (2b)³. Jeśli tak, korzystamy z jednego z dwóch wzorów:

    • a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
    • a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

    Przykłady: x³ − 8 = x³ − 2³ = (x − 2)(x² + 2x + 4), a³ + 8b³ = a³ + (2b)³ = (a + 2b)(a² − 2ab + 4b²). Kluczem jest zauważenie postaci sześcianu, reszta to mechaniczne podstawienie do wzoru.

    Jak połączyć kilka wzorów skróconego mnożenia w jednym rozkładzie, np. przy x⁴ − 16?

    Przy bardziej złożonych wyrażeniach często stosuje się wzory „warstwowo”. Dla x⁴ − 16 najpierw zauważamy różnicę kwadratów:

    • x⁴ − 16 = (x²)² − 4² = (x² − 4)(x² + 4),
    • następnie rozkładamy x² − 4 = (x − 2)(x + 2),
    • wyrażenie x² + 4 w liczbach rzeczywistych jest już nierozkładalne.

    Dzięki wielokrotnemu użyciu wzoru na różnicę kwadratów (a czasem połączeniu z sumą lub różnicą sześcianów) można efektywnie rozkładać wyrażenia o wyższych potęgach.

    Najważniejsze punkty

    • Wzory skróconego mnożenia są kluczowym narzędziem do szybkiego rozkładu wielomianów na czynniki, co upraszcza rozwiązywanie równań, skracanie wyrażeń i analizę funkcji.
    • Podstawowe wzory (kwadrat sumy/różnicy, różnica kwadratów, sześciany i suma/różnica sześcianów) działają „w dwie strony”: pozwalają zarówno mnożyć, jak i natychmiast rozkładać wyrażenia na czynniki.
    • Rozpoznawanie trójmianów jako kwadratu sumy lub różnicy opiera się na tym, że pierwszy i ostatni wyraz są pełnymi kwadratami, a wyraz środkowy ma postać ±2·pierwiastek z pierwszego wyrazu · pierwiastek z ostatniego.
    • Często przed zastosowaniem wzoru trzeba najpierw wyciągnąć wspólny czynnik przed nawias, aby w nawiasie pojawił się „idealny” trójmian pasujący do wzoru kwadratu sumy lub różnicy.
    • Różnica kwadratów (a² − b² = (a − b)(a + b)) jest jednym z najczęściej używanych wzorów w rozkładzie na czynniki i działa zawsze, gdy oba składniki są kwadratami pewnych wyrażeń.
    • Wzory skróconego mnożenia stosuje się także w przykładach z ułamkami i pierwiastkami (np. x² − 1/4 czy a² − 2), co pozwala rozkładać na czynniki nawet „niewygodne” wyrażenia bez sięgania po bardziej skomplikowane metody.

    Jeśli spodobał Ci się ten artykuł, sprawdź też: