Topologia generowana przez metrykę: jak wyznaczyć zbiory otwarte

Topologia generowana przez metrykę – punkt wyjścia

Co to znaczy, że metryka generuje topologię

Topologia generowana przez metrykę to konstrukcja, która z jednej funkcji odległościowej wyciąga całą informację o tym, jakie zbiory są otwarte, jakie są domknięte, a które z nich są granicami innych. Metryka to funkcja d: X × X → [0, ∞), spełniająca trzy podstawowe własności:

• symetria: d(x, y) = d(y, x),
• tożsamość nierozróżnialnych: d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y,
• nierówność trójkąta: d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z).

Na bazie takiej metryki buduje się topologię, czyli zbiór wszystkich tych podzbiorów X, które zadeklarujemy jako otwarte. Kluczowy fakt: w przestrzeni metrycznej zbiory otwarte są dokładnie tymi, które da się zapisać jako sumę kul otwartych. To zdanie jest punktem centralnym całego artykułu: zrozumienie kul otwartych i ich ról pozwala w praktyce wyznaczać zbiory otwarte.

Kule otwarte jako podstawowy budulec

Dla danej metryki d na zbiorze X, kula otwarta o środku w punkcie x ∈ X i promieniu r > 0 to zbiór:

B(x, r) = { y ∈ X : d(x, y) < r }.

Intuicyjnie: wszystkie punkty, które leżą „bliżej” niż r od x. W topologii generowanej przez metrykę kula otwarta jest traktowana jako najbardziej elementarny rodzaj zbioru otwartego. Każdy inny zbiór otwarty można zbudować z takich kul:

• przez ich sumowanie (nawet nieskończone),
• lub – patrząc z innej strony – jako zbiór, w którego każdym punkcie da się umieścić jakąś kulę otwartą w całości w nim zawartą.

Ważny szczegół: w definicji kuli używa się ściśle mniejszego niż r, a nie ≤ r. To przenosi się bezpośrednio na topologię – to „ściśle wewnątrz” jest cechą otwartości.

Definicja zbioru otwartego w przestrzeni metrycznej

Niech (X, d) będzie przestrzenią metryczną. Zbiór U ⊆ X nazywa się otwarty, jeśli dla każdego punktu x ∈ U istnieje promień r > 0 taki, że kula B(x, r) jest całkowicie zawarta w U, czyli:

x ∈ U ⇒ ∃ r > 0: B(x, r) ⊆ U.

Ten prosty warunek jest definicją topologii generowanej przez metrykę: topologia τ_d to zbiór wszystkich U, które spełniają powyższy warunek. W praktyce, gdy chcesz sprawdzić, czy dany zbiór jest otwarty, analizujesz, czy w każdym jego punkcie da się „wcisnąć” jakąś kulę otwartą w całości mieszczącą się w tym zbiorze.

Jak z metryki otrzymać topologię krok po kroku

Od funkcji odległości do kul otwartych

Pierwszym krokiem jest zrozumienie samej metryki i tego, jak wyglądają jej kule otwarte. W klasycznych przykładach, jak (ℝ, d(x, y) = |x − y|), kula otwarta B(x, r) to zwykły przedział (x − r, x + r). W ℝ² z metryką euklidesową B((a, b), r) to okrąg bez brzegu – „wnętrze” koła.

Dla bardziej egzotycznych metryk, np. metryki dyskretnej czy metryki maksimum, kule otwarte mają nieintuicyjne kształty. Dlatego zanim zaczniesz mówić o zbiorach otwartych, warto wypisać kilka kul otwartych i narysować je (przynajmniej w wyobraźni). To natychmiast pokazuje, jakie zbiory potencjalnie mogą być otwarte.

Topologia jako zbiór wszystkich możliwych sum kul

Po zrozumieniu kul otwartych można przejść do samej topologii. Definicja teorii zbiorów mówi: topologia τ na X to rodzina podzbiorów X zawierająca ∅ i X oraz domknięta ze względu na:

• dowolne sumy (nawet nieskończone),
• skończone przekroje.

Topologia generowana przez metrykę d, oznaczana zwykle τ_d, to:

τ_d = { U ⊆ X : dla każdego x ∈ U istnieje r > 0 z B(x, r) ⊆ U }.

Można o tym myśleć równoważnie: τ_d jest najmniejszą topologią, która zawiera wszystkie kule otwarte B(x, r). „Najmniejsza” oznacza: jeśli weźmiesz dowolną topologię τ na X, która zawiera wszystkie te kule, to τ musi zawierać też wszystkie zbiory z τ_d.

Jak sprawdzać otwartość bez błądzenia w definicjach

W zastosowaniach liczy się praktyka: jak konkretnie wyznaczyć, czy dany zbiór A jest otwarty w topologii generowanej przez metrykę d? Można posłużyć się prostą procedurą:

1. Wybierz dowolny punkt x ∈ A.
2. Spróbuj znaleźć r > 0 taki, że B(x, r) ⊆ A.
3. Jeśli dla danego x nigdy Ci się to nie udaje (każda kula „wystaje” poza A), punkt ten jest brzegowy, a A nie jest otwarty.
4. Jeśli dla każdego x ∈ A znajdziesz takie r, zbiór A jest otwarty.

W niektórych sytuacjach prostsza jest metoda „od razu konstrukcyjna”: pokazujesz, że A jest sumą kul otwartych. Wtedy automatycznie jest otwarty, bo suma dowolnej rodziny zbiorów otwartych jest otwarta.

Kule otwarte w różnych metrykach – konkretne obrazy

Metryka standardowa na prostej rzeczywistej

W przestrzeni (ℝ, d(x, y) = |x − y|) kula otwarta B(x, r) ma postać:

B(x, r) = (x − r, x + r).

Zbiory otwarte w tej topologii (zwanej standardową topologią na ℝ) to dowolne sumy takich przedziałów. Typowe przykłady:

• (0, 1) – przedział otwarty; w każdym jego punkcie można umieścić mały przedział (kulę) w całości mieszczący się w (0, 1),
• (−3, −1) ∪ (0, 2) – suma dwóch przedziałów otwartych – też otwarta,
• cała prosta ℝ – można ją traktować jako „bardzo dużą sumę” kul otwartych; dla każdego x ∈ ℝ B(x, 1) ⊆ ℝ.

Natomiast zbiór [0, 1] nie jest otwarty: w punkcie 0 nie ma żadnej kuli B(0, r), która zmieściłaby się w [0, 1], bo każda kula B(0, r) zawiera punkty ujemne. Podobnie zbiór [0, 1) nie jest otwarty – kłopotliwy jest tu punkt 0.

Metryka euklidesowa w wyższych wymiarach

W ℝ² z metryką euklidesową d((x₁, y₁), (x₂, y₂)) = √[(x₁ − x₂)² + (y₁ − y₂)²] kula otwarta to „wnętrze dysku”:

B((a, b), r) = { (x, y) : (x − a)² + (y − b)² < r² }.

Topologię generowaną przez tę metrykę tworzą zbiory, które lokalnie wyglądają jak „obszary bez brzegu”. Przykłady:

• otwarty dysk: { (x, y) : (x − a)² + (y − b)² < R² },
• otwarty prostokąt: (a, b) × (c, d),
• suma otwartych dysków i prostokątów, nawet w nieskończonej liczbie.

Kulinie zamknięte: np. koło { (x, y) : (x − a)² + (y − b)² ≤ R² } nie jest otware, bo każdy punkt na okręgu ma „brakującą” połowę kuli leżącą na zewnątrz.

Metryka maksimum (supremum) i jej kule

Na ℝ² można wprowadzić metrykę maksimum:

d∞((x₁, y₁), (x₂, y₂)) = max{ |x₁ − x₂|, |y₁ − y₂| }.

W tej metryce kula otwarta o środku (a, b) i promieniu r wygląda inaczej:

B∞((a, b), r) = { (x, y) : max{ |x − a|, |y − b| } < r }.

Warunek max{ |x − a|, |y − b| } < r oznacza jednocześnie |x − a| < r oraz |y − b| < r, więc kula otwarta to po prostu kwadrat (prostokąt) bez brzegu:

B∞((a, b), r) = (a − r, a + r) × (b − r, b + r).

Mimo innego kształtu kul, topologia generowana przez d∞ jest taka sama jak topologia generowana przez metrykę euklidesową na ℝ². Kule mają inne kształty, ale zbiory otwarte okazują się identyczne (to klasyczny przykład metryk równoważnych).

Metryka dyskretna – gdy wszystko jest bardzo otwarte

Metryka dyskretna na dowolnym zbiorze X definiowana jest przez:

d(x, y) =

• 0, gdy x = y,
• 1, gdy x ≠ y.

Jak w takiej metryce wyglądają kule? Dla r ≤ 1:

• B(x, r) = {x}, jeśli 0 < r ≤ 1 – bo dla y ≠ x mamy d(x, y) = 1 ≥ r, a kula bazuje na < r,
• a dla r > 1: B(x, r) = X, bo wszystkie odległości są mniejsze niż r.

W efekcie każdy jednoelementowy zbiór {x} jest kulą otwartą, a więc jest otwarty. Suma dowolnej liczby jednoelementowych zbiorów to dowolny podzbiór X. Oznacza to, że w topologii generowanej przez metrykę dyskretną wszystkie zbiory są otwarte. Taka topologia nazywa się topologią dyskretną.

Definicja zbioru otwartego w języku kul – praktyczne testy

Lokalne kryterium otwartości: każdemu punktowi daj kulę

Najprostszy w zastosowaniu test: zbiór U ⊆ X jest otwarty w topologii generowanej przez d wtedy i tylko wtedy, gdy:

∀ x ∈ U ∃ r > 0: B(x, r) ⊆ U.

Sprowadza się to do przeglądu punktów U i pytania: czy wokół tego punktu mogę narysować „małe kółko”, które się nie wychyla poza U? W przypadku ℝ, kółko zastępuje przedział, w ℝ² – dysk, w metryce maksimum – kwadrat itd.

Przykład w ℝ: sprawdzenie, czy zbiór A = (0, 2) ∪ {5} jest otwarty. Dla punktu x = 1 wewnątrz (0, 2) można wziąć np. r = 0,5 i B(1, 0,5) = (0,5, 1,5) ⊆ (0, 2). Natomiast dla punktu 5 każda kula B(5, r) ma postać (5 − r, 5 + r) i zawiera nieskończenie wiele punktów; żaden taki przedział nie jest podzbiorem A, bo zawsze zawiera coś innego niż 5. Wniosek: A nie jest otwarty.

Wnętrze zbioru a zbiory otwarte

Dla dowolnego zbioru A ⊆ X można zdefiniować jego wnętrze int(A) jako sumę wszystkich zbiorów otwartych zawartych w A. W przestrzeni metrycznej daje się to też opisać lokalnie:

int(A) = { x ∈ A : ∃ r > 0, B(x, r) ⊆ A }.

Wnętrze jest więc zbiorem wszystkich punktów, które mają dookoła siebie „czystą” kulę całkowicie mieszczącą się w A. Zbiór A jest otwarty wtedy i tylko wtedy, gdy A = int(A). Często łatwiej jest opisać wnętrze skomplikowanego zbioru (np. z przedziałów domkniętych, półotwartych, dysków z brzegiem) i sprawdzić, czy pokrywa się on z A.

Przykład: w ℝ, dla A = [0, 1] ∪ (2, 3], wnętrze to (0, 1) ∪ (2, 3). Zbiór A ≠ int(A), więc A nie jest otwarty.

Punkty brzegowe i warstwa „problematyczna”

Punkty brzegowe, wewnętrzne i zewnętrzne – porządkowanie intuicji

Dla zbioru A ⊆ X w przestrzeni metrycznej (X, d) wyróżnia się trzy podstawowe typy punktów. Pozwala to „zobaczyć” strukturę A w języku kul:

• punkt wewnętrzny – x ∈ A jest wewnętrzny, jeśli istnieje r > 0 takie, że B(x, r) ⊆ A,
• punkt zewnętrzny – x ∉ A jest zewnętrzny, jeśli istnieje r > 0 z B(x, r) ⊆ X A,
• punkt brzegowy – x jest brzegowy, jeśli każda kula B(x, r) przecina zarówno A, jak i X A.

Brzeg zbioru ∂A to zbiór wszystkich jego punktów brzegowych. Wnętrze int(A) to zbiór punktów wewnętrznych, a zewnętrze ext(A) to zbiór punktów zewnętrznych. Zachodzi rozkład:

X = int(A) ∪ ∂A ∪ ext(A),

przy czym te trzy zbiory są parami rozłączne.

W praktyce: punkty brzegowe to dokładnie te, „przy których” nie da się narysować kuli pozostającej całkowicie w A ani całkowicie poza A. W ℝ dla A = [0, 1): punkty wewnętrzne to (0, 1), punkty brzegowe to 0 i 1, a reszta liczb rzeczywistych to punkty zewnętrzne.

Otwartość A można sformułować czysto brzegowo:

• A jest otwarty ⇔ A nie zawiera żadnego punktu swojego brzegu ⇔ A ∩ ∂A = ∅.

Z kolei A jest domknięty, jeśli zawiera wszystkie swoje punkty brzegowe, czyli ∂A ⊆ A. W przestrzeni metrycznej związki między wnętrzem, brzegiem i domknięciem są wyjątkowo klarowne.

Domknięcie i zbieżność – lustrzane pojęcia wobec otwartości

Jeśli mamy już intuicję związaną z kulami, wygodnie jest wprowadzić domknięcie zbioru. Dla A ⊆ X definiuje się:

cl(A) = Ā = { x ∈ X : każda kula B(x, r) przecina A }.

Inaczej mówiąc, x należy do domknięcia A, jeśli żadna kula wokół x nie „omija” A; w każdej znajduje się chociaż jeden punkt A. Domknięcie można też wyrazić przez brzeg i wnętrze:

Ā = A ∪ ∂A.

Zbiór A jest domknięty, jeśli A = Ā. Otwartość i domkniętość zachowują się dualnie:

• A otwarty ⇔ X A domknięty,
• A domknięty ⇔ X A otwarty.

W przestrzeniach metrycznych pojawia się jeszcze użyteczne kryterium w języku ciągów: A jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy wraz z każdym ciągiem punktów z A zawiera wszystkie jego granice (o ile istnieją w X). Jest to wygodne narzędzie przy analizie zbiorów zadanych nierównościami czy równaniami.

Przykład w ℝ: dla A = (0, 1) domknięcie to [0, 1], bo:

• punkty z (0, 1) są oczywiście w domknięciu,
• 0 i 1 są granicami ciągów wewnątrz (0, 1), np. x_n = 1/n → 0, y_n = 1 − 1/n → 1,
• poza [0, 1] każda kula omija A (np. B(2, 0,4) nie przecina (0, 1)).

Bazy i podbazy topologii metrycznej

Baza z kul otwartych – minimalny „zestaw klocków”

Kule otwarte w przestrzeni metrycznej tworzą bazę topologii τ_d. Oznacza to, że każdy zbiór otwarty U ∈ τ_d można zapisać jako sumę (być może nieskończenie wielu) kul otwartych. Formalnie, rodzina ℬ ⊆ τ_d jest bazą, jeśli:

1. dla każdego x ∈ X istnieje B ∈ ℬ takie, że x ∈ B,
2. jeśli x ∈ B₁ ∩ B₂ dla B₁, B₂ ∈ ℬ, to istnieje B₃ ∈ ℬ z x ∈ B₃ ⊆ B₁ ∩ B₂.

W przestrzeni metrycznej naturalną bazą jest:

ℬ = { B(x, r) : x ∈ X, r > 0 }.

Spełnienie warunków (1) i (2) wynika z samej definicji kul i z nierówności trójkąta. Własność (2) mówi w skrócie: przecięcie dwóch „kulek” zawierających punkt x zawiera jeszcze „mniejszą kulkę” wokół x.

Na poziomie rachunków bazę często się upraszcza. W ℝ przy metryce standardowej wystarczy wziąć tylko przedziały z końcami wymiernymi, albo tylko kule o promieniu 1/n. Otrzymuje się w ten sposób bazę przeliczalną, co przekłada się m.in. na „dobrą” własność separacji punktów przez zbiory otwarte i niski poziom komplikacji topologicznych.

Podbaza i zbiory otwarte jako skończone przekroje sum

Czasem wygodniej jest konstruować topologię nie od razu z bazy, lecz z jeszcze prostszego obiektu – podbazy. Rodzina ℬ₀ ⊆ P(X) jest podbazą topologii τ, jeśli przecięcia skończone elementów ℬ₀ tworzą bazę τ.

Każdy zbiór otwarty może zostać zapisany jako suma (niekoniecznie skończona) takich przekrojów. W przestrzeni metrycznej prostą podbazą w ℝ są zbiory postaci:

• (−∞, a) i (b, +∞) dla a, b ∈ ℝ.

Przecięcia skończone takich rayów to przedziały otwarte (a, b), przedziały półnieograniczone oraz cała prosta. Ich sumy dają wszystkie zbiory otwarte w standardowej topologii na ℝ.

W praktyce podbaza jest użyteczna wtedy, gdy topologia danego problemu jest opisana systemem prostych warunków (nierówności, ograniczeń), z których składa się bardziej skomplikowana struktura.

Równoważność metryk a ta sama topologia

Równoważne metryki – inne odległości, te same zbiory otwarte

Dwie metryki d₁, d₂ na X generują tę samą topologię, jeśli mają identyczne zbiory otwarte. Wtedy mówi się, że są równoważne topologicznie. W języku kul można to sformułować tak:

Topologie τ_d₁ i τ_d₂ są takie same ⇔ dla każdego x ∈ X każda kula d₁-wska wokół x zawiera jakąś kulę d₂-ską wokół x i odwrotnie.

Innymi słowy – kule jednego typu można „przykryć” kulami drugiego typu w sposób lokalny. To dokładnie dzieje się na ℝⁿ dla metryki euklidesowej, metryki maksimum, metryki taksówkowej (ℓ₁). Kształty kul są różne (okręgi, romby, kwadraty), ale jeśli spojrzeć wystarczająco blisko na każdy punkt, topologiczny obraz jest ten sam.

Typowe kryterium równoważności w przestrzeni metrycznej korzysta z relacji dominacji metryk:

• jeśli istnieją stałe C₁, C₂ > 0 takie, że dla wszystkich x, y ∈ X zachodzi

  C₁ d₁(x, y) ≤ d₂(x, y) ≤ C₂ d₁(x, y),

  to d₁ i d₂ generują tę samą topologię.

Wtedy kule jednej metryki są „ściśniętymi” i „rozciągniętymi” kulami drugiej metryki, ale żadna nowa struktura otwartości się nie pojawia.

Przykłady metryk generujących inną topologię

Kontrast dla metryk równoważnych dają sytuacje, gdy topologia rzeczywiście się zmienia. Dobrym źródłem przykładów są metryki modyfikujące „koniec” prostej rzeczywistej.

Przykład na ℝ:

• standardowa metryka d(x, y) = |x − y|,
• metryka d′(x, y) = |arctan x − arctan y|.

Funkcja arctan ściska całą prostą do przedziału (−π/2, π/2). Metryka d′ generuje jednak tę samą topologię co d. Wynika to z ciągłości i ściśle monotonicznego charakteru funkcji arctan: lokanie wygląda ona jak przeskalowanie, nie identyfikując żadnych odległych punktów.

Inaczej jest, jeśli przekształcenie „skleja” odległe fragmenty przestrzeni. Gdyby np. zdefiniować metrykę na [0, 1] poprzez d″(x, y) = 0 dla wszystkich x, y, otrzymałoby się topologię trywialną: tylko ∅ i X są otwarte. Nie jest to poprawna metryka (narusza warunek d(x, y) = 0 ⇒ x = y), ale dobrze ilustruje, jak drastyczne zmiany w strukturze odległości mogłyby „zniszczyć” lokalną rozróżnialność punktów i zubożyć topologię.

Podprzestrzenie metryczne i zbiory otwarte „w środku”

Topologia podprzestrzeni – otwartość względna

Jeśli (X, d) jest przestrzenią metryczną, a A ⊆ X, to można ograniczyć metrykę d do A:

d_A(x, y) = d(x, y) dla x, y ∈ A.

Otrzymujemy przestrzeń metryczną (A, d_A). Kule otwarte w tej przestrzeni mają postać

B_A(x, r) = B(x, r) ∩ A,

czyli „stare” kule przycięte do A. Zbiory otwarte w topologii podprzestrzeni to dokładnie przecięcia zbiorów otwartych w X z A:

U ⊆ A jest otwarty w (A, d_A) ⇔ istnieje V otwarty w (X, d) takie, że U = V ∩ A.

Otwartość staje się więc pojęciem względnym. W ℝ przy metryce standardowej zbiór (0, 1) nie jest otwarty w ℝ, ale jest otwarty w [0, 1], bo (0, 1) = (−1, 2) ∩ [0, 1], a (−1, 2) jest otwarty w ℝ.

Przykłady otwartości względnej

Kilka prostych konfiguracji pomaga uniknąć typowych nieporozumień:

• Weź X = ℝ² z metryką euklidesową i A = okrąg jednostkowy wraz z brzegiem: A = { (x, y) : x² + y² ≤ 1 }. Zbiór

  U = { (x, y) ∈ A : x² + y² < 1 }

  jest otwarty w X oraz otwarty w A.

• Weź X = ℝ², A = oś x, czyli A = ℝ × {0}. Zbiór

  U = (0, 1) × {0}

  nie ma „pasa” nad i pod osią – jest zbiorem jednowymiarowym zawartym w ℝ². Nie jest otwarty w X (ma pustą wnętrzność w ℝ²), ale jest otwarty w A z metryką odziedziczoną z ℝ².

Ten typ rozróżnienia często pojawia się np. w geometrii obiektów „zanurzonych” w większej przestrzeni: fragment krzywej może być otwarty w topologii krzywej, lecz bardzo „cienki” z punktu widzenia przestrzeni otaczającej.

Produkty przestrzeni metrycznych i otwartość prostokątów

Metryki na produktach i kule w iloczynach

Jeśli (X, d_X) i (Y, d_Y) są przestrzeniami metrycznymi, na iloczynie X × Y da się w naturalny sposób zdefiniować metryki, które odzwierciedlają topologię produktów. Przykłady:

• metryka euklidesowa: d((x₁, y₁), (x₂, y₂)) = √[d_X(x₁, x₂)² + d_Y(y₁, y₂)²],
• metryka maksimum: d∞((x₁, y₁), (x₂, y₂)) = max{ d_X(x₁, x₂), d_Y(y₁, y₂) }.

W obydwu przypadkach otrzymuje się tę samą topologię produktową. Baza tej topologii składa się z prostokątów U × V, gdzie U ⊆ X jest otwarty w (X, d_X), a V ⊆ Y jest otwarty w (Y, d_Y).

W metryce maksimum kula ma prostą postać:

B∞((x₀, y₀), r) = B_X(x₀, r) × B_Y(y₀, r),

Otwartość prostokątów a kule produktowe

Kształt kul w metryce produktowej zależy od konkretnego wzoru na odległość, ale struktura zbiorów otwartych pozostaje ta sama. Dla metryki euklidesowej na X × Y kula

B_euk((x₀, y₀), r) = { (x, y) : √[d_X(x, x₀)² + d_Y(y, y₀)²] < r }

nie ma postaci prostego prostokąta, lecz „zaokrąglonej chmury” punktów wokół (x₀, y₀). Mimo to każdą taką kulę można przykryć prostokątem U × V z odpowiednio dobranymi kulami w X i Y, oraz – w drugą stronę – każdy prostokąt U × V zawierający (x₀, y₀) zawiera pewną mniejszą kulę produktową wokół tego punktu. To zapewnia równoważność metryk produktowych pod względem generowanej topologii.

W praktyce korzysta się z prostokątów jako wygodniejszego opisu bazy, a kul używa wtedy, gdy potrzebne jest rachunkowe odwołanie do metryki (np. przy dowodzeniu ciągłości lub zbieżności).

Ciągłość funkcji a topologia metryczna

Definicja ciągłości przez kule i przez zbiory otwarte

W przestrzeniach metrycznych standardową definicją ciągłości jest warunek z ε i δ:

Funkcja f : (X, d_X) → (Y, d_Y) jest ciągła w punkcie x₀ ∈ X, jeśli dla każdego ε > 0 istnieje δ > 0 takie, że

d_X(x, x₀) < δ ⇒ d_Y(f(x), f(x₀)) < ε.

W języku topologicznym ten sam warunek można zapisać znacznie prościej:

f jest ciągła ⇔ dla każdego zbioru otwartego V ⊆ Y przeciwobraz f⁻¹[V] jest otwarty w X.

Równoważność tych definicji wynika właśnie z faktu, że zbiory otwarte są sumami kul otwartych. Dla pojedynczej kuli B_Y(f(x₀), ε) warunek ciągłości w punkcie x₀ mówi, że istnieje kula B_X(x₀, δ) odwzorowywana przez f do B_Y(f(x₀), ε). Potem używa się lokalności i sum, aby przejść do dowolnych zbiorów otwartych.

Lokalny obraz kuli a ciągłość praktyczna

Z warunku topologicznego łatwo odczytać intuicję: funkcja jest ciągła, jeśli nie „skacze” – obraz małych okolic punktu pozostaje w małej okolicy jego obrazu. Kule opisują tę lokalność precyzyjnie:

• dla dowolnego x₀ i dla każdej kuli B_Y(f(x₀), r) w przestrzeni wartości istnieje kula B_X(x₀, s) taka, że

  f[B_X(x₀, s)] ⊆ B_Y(f(x₀), r).

W zastosowaniach numerycznych lub geometrycznych takie twierdzenia przekładają się np. na stabilność obliczeń: jeśli punkty wejściowe są zaburzone o δ, to wyniki zmieniają się o co najwyżej ε.

Ciągłość a równoważne metryki

Jeśli dwie metryki d₁ i d₂ na X są równoważne topologicznie, to ciągłość f : (X, d₁) → (Y, ρ) i f : (X, d₂) → (Y, ρ) jest tym samym pojęciem. Wynika to bezpośrednio z definicji przez zbiory otwarte: topologia dziedziczona z d₁ i z d₂ jest identyczna, więc te same przeciwobrazy zbiorów otwartych są otwarte.

Ta obserwacja umożliwia swobodny dobór „wygodniejszej” metryki przy pracy z daną topologią: jeśli metryki są równoważne, wybiera się tę, która upraszcza rachunki, bez ryzyka zmiany klasy funkcji ciągłych.

Zwarte i domknięte zbiory w przestrzeniach metrycznych

Domknięcie przez dopełnienie otwarte

Z definicji topologicznej zbiór F ⊆ X jest domknięty, jeśli jego dopełnienie X F jest otwarte. W przestrzeni metrycznej ten opis można przełożyć na język kul:

F jest domknięty ⇔ zawiera wszystkie swoje punkty graniczne, tzn. jeśli każdy promień r > 0 kuli B(x, r) zawiera punkt z F {x}, to x ∈ F.

Zbiory domknięte są więc „zamknięte na granicy” w tym sensie, że nie można dodać do nich punktu, który byłby granicą elementów zbioru, i pozostać w dopełnieniu zbiorów otwartych.

Zwartość przez pokrycia otwarte i ciągi

Zbiór K ⊆ X jest zwarty, jeśli każde jego pokrycie zbiorami otwartymi ma skończone podpokrycie. W przestrzeniach metrycznych istnieje równoważna, praktyczna charakteryzacja przez ciągi:

K jest zwarty ⇔ z każdego ciągu (xₙ) ⊆ K można wybrać podciąg zbieżny w K.

Obie definicje w gruncie rzeczy korzystają z metrycznej struktury poprzez zbiory otwarte: w pierwszej używa się pokryć kulami, w drugiej – pojęcia zbieżności zdefiniowanej przez kule o malejących promieniach.

Klasyczny przykład: w ℝⁿ z metryką euklidesową zbiór jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony. Uzasadnienie wykorzystuje Heinego–Borela i fakt, że ograniczoność oznacza zawieranie się w „wielkiej” kuli, a domknięcie – zachowanie wszystkich punktów granicznych ciągów.

Zbieżność ciągów i punktów skupienia

Zbieżność przez kule

Ciąg (xₙ) w przestrzeni metrycznej (X, d) zbiega do x ∈ X, jeśli:

dla każdego ε > 0 istnieje N takie, że dla wszystkich n ≥ N zachodzi d(xₙ, x) < ε.

Język kul daje prostą wizualizację: punkty xₙ od pewnego momentu leżą w dowolnie małej kuli wokół punktu granicznego x. W ujęciu topologicznym ten warunek jest równoważny:

xₙ → x ⇔ dla każdego zbioru otwartego U zawierającego x istnieje N takie, że dla n ≥ N mamy xₙ ∈ U.

Znów kluczowa jest baza z kul: wystarczy sprawdzić zachowanie ciągu dla kul otwartych, aby uzyskać wniosek dla wszystkich zbiorów otwartych.

Punkty skupienia i zbiory domknięte

Punkt x ∈ X jest punktem skupienia zbioru A ⊆ X, jeśli każda kula B(x, r) zawiera nieskończenie wiele punktów A {x}. Zbiory domknięte można scharakteryzować przez punkty skupienia:

• F jest domknięty ⇔ jeśli x jest punktem skupienia F, to x ∈ F.

W praktyce bada się często zbiory definowane wzorami (np. przebieg trajektorii układu dynamicznego) i sprawdza, czy wszystkie punkty skupienia takich trajektorii leżą w zadanym zbiorze kontrolnym. Kryteria oparte na kulach otwartych i punktach skupienia są wtedy naturalnym narzędziem.

Gęstość, wnętrze i brzeg w języku kul

Wnętrze zbioru i zbiory nasycone kulami

Wnętrzem zbioru A ⊆ X nazywa się największy zbiór otwarty zawarty w A, oznaczany int(A). W przestrzeni metrycznej:

int(A) = { x ∈ A : istnieje r > 0 takie, że B(x, r) ⊆ A }.

Punkty wewnętrzne to te, wokół których można „obrócić się w kółko” małą kulą, nie wychodząc poza A. Jeżeli A nie zawiera żadnego niepustego zbioru otwartego, jego wnętrze jest puste (typowy przykład: prosta w ℝ², sfera w ℝ³).

Domknięcie i punkty, których nie da się „ominąć”

Domknięciem zbioru A, oznaczanym cl(A), jest najmniejszy zbiór domknięty zawierający A. W metryce:

cl(A) = { x ∈ X : dla każdego r > 0 kula B(x, r) przecina A }.

Punkt należy do domknięcia A, jeśli nie można znaleźć kuli, która go otacza i jednocześnie całkowicie omija A. To kryterium jest wygodne w dowodach, że pewne granice istnieją lub że rozwiązania równań leżą w określonych zbiorach.

Brzeg zbioru – gdzie otwartość się załamuje

Brzegiem zbioru A nazywa się ∂A = cl(A) int(A). Metrycznie można go scharakteryzować następująco:

x ∈ ∂A ⇔ dla każdego r > 0 kula B(x, r) przecina zarówno A, jak i jego dopełnienie X A.

Brzeg to więc miejsca, gdzie nie da się już znaleźć kuli w całości zawartej w A ani w całości leżącej poza A. W analizie często bada się zachowanie funkcji „na brzegu” pewnego obszaru – opis przez kule od razu przekłada się na warunki brzegowe w równaniach różniczkowych.

Rozdzielanie punktów: przestrzenie Hausdorffa i separacja

Własność Hausdorffa w przestrzeniach metrycznych

Przestrzeń topologiczną (X, τ) nazywa się Hausdorffowską, jeśli dla każdych dwóch różnych punktów x ≠ y istnieją zbiory otwarte U, V ⊆ X takie, że x ∈ U, y ∈ V oraz U ∩ V = ∅. W przestrzeniach metrycznych ten warunek jest automatycznie spełniony:

jeśli d(x, y) > 0, to wystarczy wziąć np. r = d(x, y)/3 i kule B(x, r), B(y, r), które są rozłączne.

Konstrukcja opiera się bezpośrednio na nierówności trójkąta – gdyby kula wokół x o promieniu d(x, y)/3 przecinała kulę wokół y o tym samym promieniu, naruszałoby to minimalny dystans między x i y.

Z punktu widzenia zastosowań własność Hausdorffa gwarantuje jednoznaczność granic ciągów: w przestrzeni metrycznej każdy zbieżny ciąg ma dokładnie jedną granicę. Kryterium z kulami pozwala to łatwo wykazać.

Metryzowalność: kiedy topologia pochodzi od metryki

Topologia metryczna a ogólna topologia

Nie każda topologia na zbiorze X jest generowana przez jakąś metrykę. Gdy tak jest, mówi się, że (X, τ) jest przestrzenią metryzowalną. Wiele klasycznych struktur (ℝⁿ, przestrzenie funkcji z normą, przestrzenie sekwencji z metryką ℓ_p) jest metryzowalnych, ale pojawiają się też topologie zbyt „grube” lub zbyt „cieńkie”, aby wynikały z odległości.

Kryteria metryzowalności w praktyce

Proste kryterium, które często sprawdza się w przykładach: jeśli topologia τ na X ma bazę przeliczalną (jest drugiego przeliczalnego) i spełnia własność Hausdorffa, to bardzo często – choć nie zawsze bez dodatkowych założeń – można ją zmetryzować. Klasyczne twierdzenie Urysohna daje ogólną charakterystykę, ale jej pełna formuła wykracza poza ramy krótkiej prezentacji.

Z praktycznego punktu widzenia najczęściej postępuje się odwrotnie: najpierw definiuje się metrykę, a topologia pojawia się jako struktura wtórna. Jednak w bardziej abstrakcyjnych sytuacjach (np. w analizie funkcjonalnej lub topologii ogólnej) zaczyna się od zadanej topologii, a pytanie „czy to pochodzi od metryki?” staje się kluczowe.

Inne przykłady metryk generujących znane topologie

Metryka dyskretna – każdy punkt izolowany

Na dowolnym zbiorze X można zdefiniować metrykę dyskretną:

d(x, y) =
begin{cases}
0, & x = y,
1, & x ≠ y.
end{cases}

Kule o promieniu r < 1 mają postać {x} – są to zbiory jednoelementowe. W efekcie każdy podzbiór A ⊆ X jest sumą takich kul, czyli zbiorem otwartym. Topologia generowana przez metrykę dyskretną to topologia dyskretna: wszystkie podzbiory są otwarte i zarazem domknięte.

Ten przykład ilustruje sytuację skrajną: topologia jest maksymalnie „drobna”, bo system kul pozwala wydzielić każdy punkt osobno.

Metryka splotowa na przestrzeniach funkcji

Na przestrzeni wszystkich funkcji z ℕ do ℝ (ciągów rzeczywistych) można zdefiniować jedną z typowych metryk:

d(x, y) = ∑_n=1^∞ 2⁻ⁿ min{1, |xₙ − yₙ|}.

Suma jest zawsze zbieżna dzięki wagom 2⁻ⁿ. Topologia generowana przez tę metrykę to topologia zbieżności punktowej: ciąg funkcji f^k zbiega do f, jeśli i tylko jeśli dla każdego n zbiory wartości f^k(n) zbliżają się do f(n). Kule otwarte opisują więc jednocześnie „końcową liczbę współrzędnych” (przez wagę) i dokładność zbliżenia (przez min{1, |·|}).

Najczęściej zadawane pytania (FAQ)

Co to znaczy, że metryka generuje topologię?

Metryka generuje topologię znaczy tyle, że z danej funkcji odległościowej d: X × X → [0, ∞) da się jednoznacznie wyznaczyć, które podzbiory X uznajemy za otwarte. Ta rodzina zbiorów otwartych nazywa się topologią generowaną przez metrykę i oznacza się ją zwykle τd.

W praktyce: znając metrykę, potrafisz opisać wszystkie kule otwarte, a z nich – przez branie dowolnych sum i skończonych przekrojów – otrzymujesz całą topologię. Nie ma osobnej „dodatkowej” struktury: topologia jest w pełni określona przez metrykę.

Jak sprawdzić, czy dany zbiór jest otwarty w przestrzeni metrycznej?

Aby sprawdzić, czy zbiór U ⊆ X jest otwarty w przestrzeni metrycznej (X, d), używa się definicji kul otwartych. Zbiór U jest otwarty, jeśli dla każdego punktu x ∈ U istnieje promień r > 0 taki, że kula B(x, r) jest w całości zawarta w U, czyli B(x, r) ⊆ U.

Procedura praktyczna: dla dowolnego punktu z U „dopasuj” małą kulę otwartą wokół niego, która nie wychodzi poza U. Jeśli dla każdego punktu się to uda – zbiór jest otwarty. Jeśli choć w jednym punkcie każda kula „wystaje” na zewnątrz – zbiór nie jest otwarty.

Czym dokładnie różni się kula otwarta od kuli domkniętej?

Kula otwarta o środku x i promieniu r to zbiór punktów w odległości ściśle mniejszej niż r: B(x, r) = {y : d(x, y) < r}. Kula domknięta (jeśli ją definiujemy) to zbiór punktów w odległości nie większej niż r: {y : d(x, y) ≤ r}.

Różnica „< r” kontra „≤ r” jest kluczowa: kule otwarte są (typowo) zbiorami otwartymi, a kule domknięte zazwyczaj są zbiorami domkniętymi. W szczególności w ℝ z metryką standardową kula otwarta to przedział (x − r, x + r), a kula domknięta to [x − r, x + r].

Jak wyglądają zbiory otwarte w ℝ z metryką standardową?

W przestrzeni rzeczywistej z metryką d(x, y) = |x − y| kula otwarta B(x, r) jest po prostu przedziałem otwartym (x − r, x + r). Zbiory otwarte w tej przestrzeni to wszystkie możliwe sumy (skończone lub nieskończone) takich przedziałów.

Przykłady zbiorów otwartych: (0, 1), (−3, −1) ∪ (0, 2), a także cała prosta ℝ. Natomiast [0, 1] czy [0, 1) nie są otwarte, bo w punkcie 0 nie da się wcisnąć żadnej kuli otwartej w całości pozostającej w tym zbiorze.

Czym różnią się zbiory otwarte dla różnych metryk na tym samym zbiorze?

Dla różnych metryk na tym samym zbiorze X kule otwarte mogą mieć zupełnie inny kształt, co wpływa na to, które zbiory są otwarte. Na przykład w ℝ² z metryką euklidesową kule są „okrągłe” (dyski), a z metryką maksimum – „kwadratowe” (prostokąty bez brzegu).

Zdarza się jednak, że mimo innego kształtu kul zbiory otwarte są dokładnie te same – wtedy mówimy, że metryki są równoważne topologicznie. Tak jest na przykład dla metryki euklidesowej i metryki maksimum na ℝ²: kule różnią się kształtem, ale generują tę samą topologię.

Co to jest metryka dyskretna i jaką topologię generuje?

Metryka dyskretna na zbiorze X jest zdefiniowana przez warunek: d(x, y) = 0, gdy x = y, oraz d(x, y) = 1, gdy x ≠ y. W takiej metryce kula otwarta o promieniu 0 < r ≤ 1 ma postać B(x, r) = {x}, a dla r > 1 mamy B(x, r) = X.

W rezultacie każdy jednoelementowy zbiór {x} jest zbiorem otwartym, a dowolny podzbiór X jest sumą jednoelementowych zbiorów. To oznacza, że topologia generowana przez metrykę dyskretną to topologia dyskretna – wszystkie podzbiory X są otwarte.

Jak formalnie zdefiniować topologię generowaną przez metrykę?

Dla przestrzeni metrycznej (X, d) topologia generowana przez metrykę d to rodzina wszystkich podzbiorów U ⊆ X spełniających warunek: dla każdego punktu x ∈ U istnieje promień r > 0 taki, że B(x, r) ⊆ U. Tę rodzinę oznacza się najczęściej przez τd.

Równoważnie można powiedzieć, że τd jest najmniejszą topologią na X zawierającą wszystkie kule otwarte B(x, r). „Najmniejsza” znaczy: każda inna topologia, która zawiera wszystkie kule otwarte tej metryki, musi zawierać także wszystkie zbiory z τd.

Najważniejsze punkty

• Metryka d na zbiorze X (spełniająca symetrię, tożsamość nierozróżnialnych i nierówność trójkąta) generuje topologię, czyli określa, które podzbiory X są otwarte.
• Podstawowymi „klockami” topologii metrycznej są kule otwarte B(x, r) = { y ∈ X : d(x, y) < r }; każdy zbiór otwarty jest sumą (nawet nieskończoną) takich kul.
• Zbiór U ⊆ X jest otwarty w przestrzeni metrycznej (X, d) wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu x ∈ U istnieje promień r > 0 taki, że B(x, r) ⊆ U.
• Topologia τ_d generowana przez metrykę to zbiór wszystkich U spełniających warunek kulowy; jest to najmniejsza topologia zawierająca wszystkie kule otwarte B(x, r).
• W praktyce otwartość zbioru A sprawdza się, szukając dla każdego x ∈ A kuli B(x, r) zawartej w A; jeśli dla jakiegoś punktu się to nie udaje, zbiór nie jest otwarty.
• W standardowej metryce na ℝ kule otwarte to przedziały (x − r, x + r), więc zbiory otwarte to dowolne sumy przedziałów otwartych, natomiast przedziały zawierające brzegi, jak [0, 1] czy [0, 1), nie są otwarte.
• Kształt kul otwartych zależy od metryki (np. dyski w ℝ² z metryką euklidesową, inne dla metryki maksimum lub dyskretnej), co bezpośrednio wpływa na to, jak wyglądają zbiory otwarte w danej przestrzeni.