Nierówności kwadratowe: metoda przedziałów na czytelnych rysunkach

Czym są nierówności kwadratowe i po co metoda przedziałów?

Definicja nierówności kwadratowej krok po kroku

Nierówność kwadratowa to wyrażenie, w którym występuje wielomian kwadratowy (zwykle w postaci ogólnej ax² + bx + c) oraz znak nierówności. Najczęściej spotyka się cztery typy:

• większe niż zero: ax² + bx + c > 0,
• większe lub równe zero: ax² + bx + c ≥ 0,
• mniejsze niż zero: ax² + bx + c < 0,
• mniejsze lub równe zero: ax² + bx + c ≤ 0.

Ważne, aby współczynnik przy x² był różny od zera (a ≠ 0). W przeciwnym razie nie jest to nierówność kwadratowa, tylko liniowa. Cała zabawa z metodą przedziałów polega na tym, żeby zrozumieć, dla jakich x wartości tego wielomianu są dodatnie, ujemne lub równe zero.

Parabola jako obraz nierówności kwadratowej

Wyrażenie y = ax² + bx + c opisuje parabolę. Z punktu widzenia nierówności kwadratowych interesuje:

• kierunek ramion paraboli:
  • a > 0 – ramiona do góry,
  • a < 0 – ramiona w dół;
• miejsca zerowe (jeśli istnieją) – punkty przecięcia z osią OX;
• obszary, gdzie wykres jest nad lub pod osią OX.

Rozwiązując nierówność kwadratową, odpowiadasz na pytanie: w których miejscach parabola leży nad osią OX (wartości dodatnie), a w których pod osią OX (wartości ujemne)? Metoda przedziałów sprowadza to do analizowania znaku funkcji na odpowiednich fragmentach osi liczbowej.

Dlaczego metoda przedziałów jest tak wygodna?

Metoda przedziałów do nierówności kwadratowych ma kilka ważnych zalet:

• opiera się na prostym rysunku na osi liczbowej (nie trzeba dokładnego wykresu funkcji);
• pozwala szybko wyznaczyć przedziały rozwiązań na podstawie miejsc zerowych;
• łatwo ją rozszerzyć na bardziej skomplikowane nierówności, np. z ułamkami czy iloczynem trzech czynników;
• uczy intuicji znaków – widać, kiedy iloczyn jest dodatni, a kiedy ujemny.

Przy dobrze narysowanej osi z zaznaczonymi miejscami zerowymi wystarczy kilka prostych kroków, żeby rozwiązać nawet pozornie trudną nierówność kwadratową.

Metoda przedziałów – idea i schemat działania

Rozbijanie osi liczbowej na przedziały

Metoda przedziałów polega na tym, że:

1. znajdujesz punkty, w których wyrażenie przyjmuje wartość zero,
2. dzielisz oś liczbową na przedziały wyznaczone przez te punkty,
3. dla każdego przedziału ustalasz, czy wartości wyrażenia są dodatnie czy ujemne,
4. na tej podstawie odczytujesz rozwiązania nierówności.

W przypadku nierówności kwadratowej typu ax² + bx + c > 0 punktami dzielącymi oś są miejsca zerowe trójmianu. Jeśli są dwa różne: x₁ i x₂, to oś dzieli się na trzy przedziały:

• (-∞, x₁),
• (x₁, x₂),
• (x₂, +∞).

Znaki na przedziałach bez liczenia – logika zamiast kalkulatora

Dla trójmianu kwadratowego nie trzeba sprawdzać znaku na każdym przedziale osobno. Wystarczą trzy informacje:

• czy parabola ma dwa, jedno czy zero miejsc zerowych (czyli jaki jest znak Δ),
• jaki jest znak współczynnika a,
• czy interesują cię wartości większe czy mniejsze od zera (rodzaj nierówności).

Jeżeli a > 0 i parabola ma dwa różne miejsca zerowe, to:

• na zewnętrznych przedziałach (-∞, x₁) oraz (x₂, +∞) trójmian jest dodatni,
• między miejscami zerowymi (x₁, x₂) trójmian jest ujemny.

Jeśli a < 0, role się odwracają: na zewnątrz wartości są ujemne, między miejscami zerowymi dodatnie. Ten prosty schemat jest podstawą metody przedziałów i bardzo łatwo go przenieść na czytelny rysunek na osi liczbowej.

Dlaczego rysunek jest ważniejszy niż suche rachunki?

Przy nierównościach kwadratowych uczniowie często popełniają błędy w zapisie odpowiedzi, nawet gdy dobrze policzą Δ i miejsca zerowe. Graficzna metoda przedziałów na osi liczbowej pomaga:

• zobaczyć, gdzie iloczyn ma znak plus, a gdzie minus,
• prawidłowo zaznaczyć nawiasy otwarte lub domknięte,
• unikać pomieszania, dla których fragmentów osi obowiązuje warunek > 0, a dla których < 0.

Zamiast próbować wszystko utrzymać w głowie, wystarczy uporządkowany rysunek: oś pozioma, zaznaczone punkty, a nad nimi znaki plus/minus. Taki schemat można szybko odtworzyć na sprawdzianie czy egzaminie i z łatwością sprawdzić, czy odpowiedź ma sens.

Przygotowanie do metody przedziałów: trójmian kwadratowy i delta

Postać ogólna i oznaczenia

Trójmian kwadratowy ma postać:

f(x) = ax² + bx + c, gdzie a, b, c są liczbami rzeczywistymi i a ≠ 0.

Takiej funkcji odpowiada parabola. Nierówność kwadratowa to po prostu warunek typu:

• f(x) > 0,
• f(x) ≥ 0,
• f(x) < 0,
• f(x) ≤ 0.

Do metody przedziałów potrzebne są przede wszystkim miejsca zerowe funkcji f, czyli rozwiązania równania f(x) = 0.

Obliczanie delty i klasyfikacja przypadków

Aby znaleźć miejsca zerowe, korzysta się z delty:

Δ = b² − 4ac.

W zależności od znaku delty mogą pojawić się trzy sytuacje:

• Δ > 0 – dwa różne miejsca zerowe x₁, x₂,
• Δ = 0 – jedno podwójne miejsce zerowe x₀,
• Δ < 0 – brak miejsc zerowych (parabola nie przecina osi OX).

Miejsca zerowe przy Δ ≥ 0 liczymy ze wzorów:

• x₁ = (-b − √Δ) / (2a),
• x₂ = (-b + √Δ) / (2a).

Dla Δ = 0 oba wzory dają tę samą liczbę x₀ = -b/(2a). To ważny przypadek przy rysunku: parabola tylko dotyka osi OX w jednym punkcie, co ma bezpośredni wpływ na rozwiązania nierówności.

Tabela przypadków: znak a, delta i kształt wykresu

Zestawienie informacji o znaku a i delcie pomaga szybko zorientować się, jakie ogólnie będzie rozwiązanie nierówności kwadratowej. Warto mieć w głowie taki skrócony „spis sytuacji”:

Ta tabela jest fundamentem, na którym metoda przedziałów „rysuje” rozkład znaków na osi liczbowej.

Podstawowy algorytm: metoda przedziałów krok po kroku

Standardowy schemat rozwiązywania nierówności kwadratowej

Rozważ nierówność kwadratową w najprostszej postaci:

ax² + bx + c > 0, gdzie a ≠ 0.

Kroki metody przedziałów:

1. Przeniesienie wszystkiego na jedną stronę – tak, by po jednej stronie było 0, a po drugiej trójmian kwadratowy. Jeśli nierówność już jest w postaci ax² + bx + c > 0, ten krok jest spełniony.
2. Obliczenie delty Δ oraz miejsc zerowych x₁, x₂ (o ile istnieją).
3. Zaznaczenie miejsc zerowych na osi liczbowej – uporządkowanie ich rosnąco.
4. Wyznaczenie znaków na przedziałach – na podstawie znaku a i położenia ramion paraboli.
5. Odczytanie rozwiązań – wybór tych przedziałów, na których trójmian jest > 0, < 0, ≥ 0 lub ≤ 0.

Całość można wykonać bez dokładnego szkicowania paraboli. Wystarczy „oś znaków” – pozioma linia z punktami zerowymi i symbolami „+” lub „−” nad odpowiednimi przedziałami.

Jak zaznaczać punkty na osi: nawiasy otwarte i domknięte

Przy metodzie przedziałów ważny jest sposób zaznaczania miejsc zerowych na osi liczbowej. W praktyce przydaje się proste rozróżnienie:

• nierówności ostre (> 0 lub < 0) – miejsca zerowe nie należą do rozwiązania, czyli w zapisie przedziałów używa się nawiasów okrągłych, a na rysunku punkty najczęściej oznacza się jako „puste kółka”,
• nierówności nieostre (≥ 0 lub ≤ 0) – miejsca zerowe należą do rozwiązania, a więc stosuje się nawiasy kwadratowe oraz „pełne kółka” na osi.

Przykład: jeśli rozwiązaniem jest x ∈ (-∞, 2) ∪ (5, +∞), to oznacza, że same liczby 2 i 5 nie spełniają nierówności. Jeśli natomiast pojawi się x ∈ (-∞, 2] ∪ [5, +∞), liczby 2 i 5 już należą do zbioru rozwiązań.

Czy trzeba sprawdzać punkt testowy na każdym przedziale?

W ogólnych nierównościach wielomianowych często sprawdza się po jednym punkcie z każdego przedziału, aby ustalić znak. Przy nierównościach kwadratowych można to uprościć:

• dla dodatniego a i dwóch różnych miejsc zerowych:
  • „na zewnątrz” jest plus,
  • „w środku” jest minus;

Rozpisywanie znaków bez liczenia punktów testowych

Zasada „zewnątrz – w środku” działa symetrycznie dla obu znaków a. Wystarczy ją raz dobrze zrozumieć i potem mechanicznie stosować na osi liczbowej.

• dla a > 0 i dwóch miejsc zerowych x₁ < x₂:
  • (-∞, x₁) – znak +,
  • (x₁, x₂) – znak −,
  • (x₂, +∞) – znak +;
• dla a < 0 i dwóch miejsc zerowych x₁ < x₂:
  • (-∞, x₁) – znak −,
  • (x₁, x₂) – znak +,
  • (x₂, +∞) – znak −.

Jeden rysunek na osi liczbowej wystarcza, żeby od razu odczytać rozwiązania wszystkich czterech nierówności: > 0, ≥ 0, < 0 oraz ≤ 0. Zmieniasz tylko to, które fragmenty osi i które punkty biorą udział w odpowiedzi.



Rysunkowa metoda przedziałów – pełny przykładowy schemat

Przykład 1: dodatni współczynnik a i dwa miejsca zerowe

Rozwiąż nierówność:

x² − 5x + 6 ≥ 0.

1. Trójmian po jednej stronie – już jest: x² − 5x + 6 ≥ 0.
2. Obliczenie delty:

   a = 1, b = −5, c = 6,

   Δ = (−5)² − 4·1·6 = 25 − 24 = 1, więc Δ > 0.

3. Miejsca zerowe:

   x₁ = (5 − √1)/2 = 4/2 = 2,

   x₂ = (5 + √1)/2 = 6/2 = 3.

   Uporządkowanie: x₁ = 2, x₂ = 3.

4. Oś liczbowa i znaki:

   Współczynnik a = 1 > 0, ramiona paraboli są skierowane w górę, więc:

   • na zewnątrz (na lewo od 2 i na prawo od 3) funkcja ma wartości dodatnie,
   • pomiędzy 2 a 3 – ujemne.

   Na osi oznacz:

   • dwa punkty: 2, 3,
   • nad przedziałem (-∞, 2) wpisz „+”, nad (2, 3) „−”, nad (3, +∞) „+”.
5. Rodzaj nierówności i nawiasy:

   Nierówność jest nieostra: ≥ 0, czyli:

   • interesują cię przedziały z plusem (bo ≥ 0),
   • miejsca zerowe też wchodzą do rozwiązania (nawiasy kwadratowe, pełne kółka).

   Ostatecznie:

   x ∈ (-∞, 2] ∪ [3, +∞).

Na jednym rysunku możesz dopisać także rozwiązania dla tej samej funkcji, ale z innym znakiem nierówności:

• x² − 5x + 6 > 0 – te same przedziały, ale nawiasy okrągłe: x ∈ (-∞, 2) ∪ (3, +∞),
• x² − 5x + 6 < 0 – środkowy przedział z minusem, bez końców: x ∈ (2, 3),
• x² − 5x + 6 ≤ 0 – środkowy przedział z plusem, ale razem z miejscami zerowymi: x ∈ [2, 3].

Przykład 2: ujemny współczynnik a i dwa miejsca zerowe

Rozwiąż nierówność:

−2x² + 4x + 6 < 0.

1. Trójmian po jednej stronie – forma jest prawidłowa, po lewej stronie tylko trójmian, po prawej 0.
2. Delta:

   a = −2, b = 4, c = 6,

   Δ = 4² − 4·(−2)·6 = 16 + 48 = 64.

3. Miejsca zerowe:

   x₁ = (−4 − √64)/(2·(−2)) = (−4 − 8)/(−4) = (−12)/(−4) = 3,

   x₂ = (−4 + √64)/(2·(−2)) = (−4 + 8)/(−4) = 4/(−4) = −1.

   Uporządkuj: x₁ = −1, x₂ = 3.

4. Znaki na osi:

   a = −2 < 0 – ramiona paraboli skierowane w dół. Zatem:

   • na zewnątrz (−∞, −1) oraz (3, +∞) – znak „−”,
   • między miejscami zerowymi (−1, 3) – znak „+”.
5. Rodzaj nierówności:

   Nierówność ostra: < 0. Szukasz wartości ujemnych, bez miejsc zerowych.

   Rozwiązanie:

   x ∈ (−∞, −1) ∪ (3, +∞).

Jak rysować oś liczbową, żeby nie gubić się w przedziałach

Minimalistyczny „pasek znaków” krok po kroku

Do zadań egzaminacyjnych nie potrzeba pięknej osi z równą podziałką. Wystarczy prosty „pasek znaków”:

1. Narysuj krótką linię poziomą.
2. Zaznacz na niej pionowe kreski w miejscach zerowych (kolejność rosnąca).
3. Pod każdym punktem zapisz jego wartość (np. −1, 3).
4. Nad każdym przedziałem narysuj znak + lub − według reguły zależnej od a.
5. Podkreśl lub zakreśl te fragmenty, które odpowiadają twojej nierówności (> 0, < 0 itd.).

W praktyce taki schemat jest czytelny nawet wtedy, gdy liczby są brzydkie (np. ułamki z pierwiastkami). Nie trzeba ich rysować „w skali” – istotna jest tylko ich kolejność.

Co gdy miejsca zerowe są „nieładne”?

Przy delcie, która nie daje ładnego pierwiastka, pojawiają się liczby typu (5 − √13)/4. Metoda przedziałów nadal działa tak samo. Na osi wystarczy zaznaczyć:

• dwa punkty w dobrej kolejności (wiadomo, który jest mniejszy po sprawdzeniu),
• same liczby możesz zapisać skróconym symbolem, np. x₁, x₂, obok – obliczone dokładne wartości.

Uczniowie często marnują czas na próbę „odmierzania” takich liczb na osi. Nie ma takiej potrzeby – kluczowe są znaki i kolejność, nie odległości.



Przypadki szczególne w metodzie przedziałów

Jedno miejsce zerowe: delta równa zero

Jeżeli Δ = 0, trójmian ma jedno podwójne miejsce zerowe x₀. Wykres dotyka osi OX, ale jej nie przecina. Na osi liczbowej wygląda to inaczej niż przy dwóch różnych korzeniach.

Schemat znaków:

• dla a > 0:
  • na całej osi funkcja jest dodatnia, oprócz punktu x₀, gdzie przyjmuje wartość 0,
• dla a < 0:
  • na całej osi funkcja jest ujemna, oprócz punktu x₀, gdzie przyjmuje wartość 0.

Na „pasku znaków” rysujesz tylko jeden punkt i po obu jego stronach znak jest taki sam (plus przy a > 0, minus przy a < 0).

Przykład 3: delta równa zero, nierówność nieostra

Rozwiąż nierówność:

4x² − 12x + 9 ≥ 0.

1. Delta:

   a = 4, b = −12, c = 9,

   Δ = (−12)² − 4·4·9 = 144 − 144 = 0.

2. Miejsce zerowe:

   x₀ = −b/(2a) = 12/8 = 3/2.

3. Znaki:

   a = 4 > 0, więc parabola jest otwarta do góry. Tylko w punkcie x₀ wartość wynosi 0, wszędzie indziej jest dodatnia.

4. Nierówność ≥ 0:

   Szukamy miejsc, gdzie wartości są dodatnie lub równe 0. To cała oś:

   x ∈ ℝ.

Przykład 4: delta równa zero, nierówność ostra

Ta sama funkcja, inny znak:

4x² − 12x + 9 < 0.

Delta i miejsce zerowe pozostają takie same: x₀ = 3/2, a = 4 > 0. Funkcja jest dodatnia wszędzie poza jednym punktem, w którym ma wartość 0. Nie ma fragmentu, na którym byłaby ujemna.

Rozwiązanie:

brak rozwiązań (zbiór pusty).

Na osi widać to bardzo wyraźnie: wszędzie stoi plus, tylko w jednym miejscu „0”. Dla warunku „< 0” nie ma czego zaznaczać.

Brak miejsc zerowych: delta ujemna

Gdy Δ < 0, parabola nie przecina osi OX. Znak trójmianu jest wtedy stały na całej osi liczbowej:

• dla a > 0 – wartości f(x) są wszędzie dodatnie,
• dla a < 0 – wszędzie ujemne.

Na „pasku znaków” nie ma żadnych punktów dzielących – tylko jeden nieskończony przedział z jednym znakiem.

Przykład 5: delta ujemna i zawsze dodatni trójmian

Rozwiąż nierówność:

x² + 2x + 5 > 0.

1. Delta:

   a = 1, b = 2, c = 5,

   Δ = 2² − 4·1·5 = 4 − 20 = −16 < 0.

2. Znaki:

   a = 1 > 0, więc parabola cała leży nad osią OX. Wszędzie jest plus.

3. Nierówność > 0:

   Warunek „większe od zera” jest spełniony dla wszystkich x:

   x ∈ ℝ.

Przykład 6: delta ujemna i nierówność w „złą stronę”

Rozważ:

x² + 2x + 5 ≤ 0.

Delta i znak a są takie same jak wcześniej. Funkcja jest wszędzie dodatnia, nie przyjmuje nawet wartości 0. Nierówność „≤ 0” nie ma więc żadnego rozwiązania.

Nierówności kwadratowe z nawiasem: wyciąganie wspólnego czynnika

W wielu zadaniach trójmian kwadratowy występuje pomnożony przez dodatkowy czynnik, np. x lub (x − 1). Zamiast mnożyć wszystko na siłę, wygodniej jest wyciągnąć wspólny czynnik przed nawias i potraktować każdy nawias osobno w metodzie przedziałów.

Przykład 7: dodatkowy czynnik liniowy

Rozwiąż nierówność:

x(x² − 5x + 6) ≥ 0.

1. Rozkład na czynniki:

   Trójmian w nawiasie był już wcześniej analizowany:

   x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).

   Cały wyraz po lewej stronie można więc zapisać jako:

   x(x − 2)(x − 3) ≥ 0.

2. Miejsca zerowe:

   Każdy czynnik daje jedno miejsce zerowe:

   • z x = 0,
   • z x − 2 = 0 mamy x = 2,
   • z x − 3 = 0 mamy x = 3.

   Kolejność na osi: 0 < 2 < 3.

3. Tablica znaków (pasek znaków) dla trzech czynników:

   Każdy czynnik zmienia znak po przejściu przez swoje miejsce zerowe. Można rozpisać to w tabeli lub bezpośrednio na osi:

   • x: ujemny dla x < 0, dodatni dla x > 0,
   • x − 2: zmienia znak w 2, dla x < 2 ujemny, dla x > 2 dodatni,
   • x − 3: zmienia znak w 3, dla x < 3 ujemny, dla x > 3 dodatni.

   Teraz łączysz te informacje i patrzysz na znak iloczynu na poszczególnych przedziałach:

   • (−∞, 0):
     • x – „−”,
     • x − 2 – „−”,
     • x − 3 – „−”,
     • iloczyn trzech minusów – „−”.
   • (0, 2):
     • x – „+”,
     • x − 2 – „−”,
     • x − 3 – „−”,
     • dwa minusy dają plus, razem: „+”.
   • (2, 3):
     • x – „+”,
     • x − 2 – „+”,
     • x − 3 – „−”,
     • jeden minus – całość „−”.
   • (3, +∞):
     • wszystkie trzy czynniki dodatnie – iloczyn „+”.
4. Uwzględnienie znaku „≥ 0”:

   Nierówność jest nieostra (z równością). Szukasz przedziałów, na których iloczyn jest dodatni lub równy 0.

   • „+” na przedziałach (0, 2) i (3, +∞),
   • „0” w punktach: x = 0, x = 2, x = 3.

   Zatem:

   x ∈ [0, 2] ∪ [3, +∞).

Taki typ zadania dobrze ćwiczy świadome przechodzenie przez kolejne punkty na osi i pilnowanie nawiasów. W praktyce wystarczy krótki pasek, trzy kreski (0, 2, 3), znaki przy każdym czynniku i końcowe zaznaczenie plusów.

Przykład 8: wspólny czynnik po obu stronach

Nierówność:

x²(x − 4) > x(x − 4).

Na pierwszy rzut oka po obu stronach widać te same elementy, co aż się prosi o uproszczenie. Trzeba tylko zrobić je poprawnie.

1. Przeniesienie na jedną stronę:

   Od obu stron odejmij x(x − 4):

   x²(x − 4) − x(x − 4) > 0.

2. Wyciągnięcie wspólnego czynnika:

   Po lewej stronie każdy składnik ma czynnik x(x − 4):

   x(x − 4)(x − 1) > 0.

3. Miejsca zerowe:

   Z poszczególnych czynników:

   • x = 0,
   • x − 4 = 0 → x = 4,
   • x − 1 = 0 → x = 1.

   Na osi w kolejności: 0 < 1 < 4.

4. Pasek znaków:

   Rozpisz znaki w czterech przedziałach: (−∞, 0), (0, 1), (1, 4), (4, +∞).

   • (−∞, 0): x < 0 – „−”, x − 4 < 0 – „−”, x − 1 < 0 – „−”, iloczyn trzech minusów – „−”.
   • (0, 1): „+”, „−”, „−” → dwa minusy – wynik „+”.
   • (1, 4): „+”, „−”, „+” → jeden minus – wynik „−”.
   • (4, +∞): wszystkie czynniki dodatnie – „+”.
5. Zastosowanie warunku „> 0”:

   Szukasz tylko plusów, bez punktów zerowych (0, 1, 4 wypadają).

   x ∈ (0, 1) ∪ (4, +∞).

Jeżeli zadanie opisuje jakiś sensowny kontekst (np. liczba sztuk produktu, czas), można na końcu ograniczyć rozwiązanie, np. do x ≥ 0. Wtedy w powyższym przykładzie zostaje tylko (0, 1) ∪ (4, +∞) przecięte z [0, +∞), czyli to samo, bo nic z lewej strony nie było ujemne.

Nierówności kwadratowe w mianowniku: praca z dziedziną

Gdy trójmian pojawia się w mianowniku ułamka, dochodzi dodatkowy warunek: mianownik nie może być równy zero. Oś liczbową rysuje się podobnie, ale punkty, w których mianownik znika, są zawsze wykluczone z dziedziny – tam będzie przerwa (puste kółko, nawias okrągły).

Przykład 9: trójmian w mianowniku i licznik stały

Rozwiązanie nierówności:

1/(x² − 5x + 6) > 0.

1. Dziedzina:

   Mianownik nie może być zerem:

   x² − 5x + 6 ≠ 0.

   Z wcześniejszego przykładu:

   x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), więc x ≠ 2, x ≠ 3.

2. Znaki mianownika:

   Z rozkładu na czynniki widać trzy przedziały: (−∞, 2), (2, 3), (3, +∞). Dla a = 1 > 0:

   • (−∞, 2) – „+”,
   • (2, 3) – „−”,
   • (3, +∞) – „+”.
3. Znak ułamka:

   Licznik to 1, zawsze dodatni. Znak całego wyrażenia zależy więc tylko od mianownika:

   • gdzie mianownik dodatni – ułamek dodatni,
   • gdzie mianownik ujemny – ułamek ujemny.
4. Uwzględnienie dziedziny i nierówności „> 0”:

   Szukamy miejsc, gdzie ułamek jest dodatni:

   • plus na (−∞, 2) i (3, +∞),
   • punkty 2, 3 są wykluczone z dziedziny, nie można ich dołączyć.

   Ostatecznie:

   x ∈ (−∞, 2) ∪ (3, +∞).

Na rysunku warto wyraźnie zaznaczyć, że w 2 i 3 są puste kółka (nawet gdyby znak nierówności na to „pozwalał”), bo dziedzina zawsze ma pierwszeństwo przed resztą warunków.

Przykład 10: trójmian kwadratowy w liczniku i mianowniku

Nierówność:

(x² − 1)/(x² − 5x + 6) ≤ 0.

Przy dwóch trójmianach najlepiej osobno rozwiązać równania licznik = 0 i mianownik = 0, a potem złożyć całość na jednym pasku znaków.

1. Rozkład na czynniki:

   Licznik:

   x² − 1 = (x − 1)(x + 1).

   Mianownik (jak wcześniej):

   x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).

2. Punkty na osi:

   Z licznika: x = −1, x = 1 (tutaj ułamek przyjmuje wartość 0, jeśli mianownik ≠ 0).

   Z mianownika: x = 2, x = 3 (punkty wykluczone z dziedziny).

   Kolejność: −1 < 1 < 2 < 3.

3. Znaki czynników:

   Dla przejrzystości można ułożyć krótką tabelkę w myślach lub w zeszycie; tu rozpisane przedziałami:

   • (−∞, −1):
     • x − 1 – „−”,
     • x + 1 – „−”,
     • x − 2 – „−”,
     • x − 3 – „−”.

     Licznik: „+” (iloczyn dwóch minusów), mianownik: „+” (też dwa minusy), ułamek: „+ / + = +”.

   • (−1, 1):
     • x − 1 – „−”,
     • x + 1 – „+”,
     • x − 2 – „−”,
     • x − 3 – „−”.

     Licznik: „−”, mianownik: „+”, ułamek: „− / + = −”.

   • (1, 2):
     • x − 1 – „+”,
     • x + 1 – „+”,
     • x − 2 – „−”,
     • x − 3 – „−”.

     Licznik: „+”, mianownik: „+”, ułamek: „+”.

   • (2, 3):
     • x − 1 – „+”,

     Najczęściej zadawane pytania (FAQ)

     Co to jest nierówność kwadratowa i czym różni się od równania kwadratowego?

     Nierówność kwadratowa to wyrażenie z trójmianem kwadratowym (np. ax² + bx + c) oraz znakiem nierówności: >, ≥, < lub ≤. Przykład: 2x² − 3x − 5 > 0. Zamiast szukać konkretnych wartości x (jak w równaniu), szukasz całych przedziałów, dla których wyrażenie jest dodatnie, ujemne lub równe zero.

     Równanie kwadratowe ma znak równości, np. ax² + bx + c = 0, i zazwyczaj prowadzi do 0, 1 lub 2 rozwiązań. Nierówność kwadratowa najczęściej ma nieskończenie wiele rozwiązań, opisanych za pomocą przedziałów na osi liczbowej.

     Na czym polega metoda przedziałów w nierównościach kwadratowych?

     Metoda przedziałów polega na podzieleniu osi liczbowej na fragmenty (przedziały) przy pomocy miejsc zerowych funkcji kwadratowej, a następnie określeniu, jaki znak (plus czy minus) ma wyrażenie w każdym z tych przedziałów. Dzięki temu możesz łatwo wskazać, gdzie spełniona jest dana nierówność.

     W praktyce:

     • liczysz miejsca zerowe trójmianu (jeśli istnieją),
     • zaznaczasz je na osi liczbowej,
     • na podstawie znaku współczynnika a określasz znaki na poszczególnych przedziałach,
     • z tych przedziałów wybierasz te, które spełniają warunek > 0, ≥ 0, < 0 lub ≤ 0.

     To wszystko można zrobić na prostym rysunku bez dokładnego rysowania paraboli.

     Jak rozwiązać nierówność kwadratową krok po kroku metodą przedziałów?

     Typowy schemat wygląda tak:

     • Przenieś wszystkie wyrażenia na jedną stronę nierówności, aby z drugiej zostało 0 (np. wszystko do lewej strony).
     • Otrzymany trójmian kwadratowy zapisz w postaci ax² + bx + c i oblicz deltę: Δ = b² − 4ac.
     • Wyznacz miejsca zerowe z równania ax² + bx + c = 0 (gdy Δ ≥ 0).
     • Zaznacz te miejsca zerowe na osi liczbowej i podziel oś na przedziały.
     • Na podstawie znaku a i liczby miejsc zerowych (znaku delty) zdecyduj, na których przedziałach wyrażenie jest dodatnie, a na których ujemne.
     • Wybierz te przedziały (z nawiasami otwartymi lub domkniętymi), które spełniają daną nierówność (>, ≥, <, ≤).

     Taki schemat pozwala sprawnie rozwiązać większość zadań z nierówności kwadratowych.

     Jak użyć delty przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowych?

     Delta (Δ = b² − 4ac) mówi, ile jest miejsc zerowych trójmianu, a więc jak oś zostanie podzielona na przedziały:

     • Δ > 0 – dwa różne miejsca zerowe x₁, x₂: oś dzieli się na trzy przedziały,
     • Δ = 0 – jedno podwójne miejsce zerowe x₀: oś jest „podzielona” tylko w jednym punkcie styczności,
     • Δ < 0 – brak miejsc zerowych: brak punktów podziału, znak trójmianu jest taki sam dla wszystkich x.

     Znając znak Δ i znak a (czy ramiona paraboli są w górę czy w dół), możesz szybko stwierdzić, gdzie funkcja jest dodatnia, a gdzie ujemna, bez testowania każdego przedziału osobno.

     Jak dobrać nawiasy (otwarte czy domknięte) w odpowiedzi na nierówność kwadratową?

     Rodzaj nawiasu zależy od znaku nierówności:

     • > 0 lub < 0 – nawiasy przy miejscach zerowych są otwarte: ( ) – bo punkt, w którym wartość jest równa zero, nie spełnia nierówności ścisłej,
     • ≥ 0 lub ≤ 0 – nawiasy przy miejscach zerowych są domknięte: [ ] – bo punkt, w którym wartość jest równa zero, należy do zbioru rozwiązań.

     Rysunek na osi liczbowej pomaga pamiętać, które punkty „włączasz” (zamalowane kropki) a które „wyłączasz” (puste kropki) z rozwiązania.

     Czy da się rozwiązać nierówność kwadratową bez rysowania wykresu paraboli?

     Tak. W metodzie przedziałów nie rysujesz dokładnego wykresu paraboli, a jedynie prosty schemat na osi liczbowej: zaznaczasz miejsca zerowe, kierunek ramion (na podstawie znaku a) i zapisujesz znaki plus / minus nad przedziałami. To znacznie szybsze niż rysowanie pełnego wykresu.

     Taki „półgraficzny” sposób jest wystarczający, żeby się nie pomylić przy zapisie odpowiedzi, a jednocześnie nie wymaga dokładnego szkicowania krzywej. Dlatego metoda przedziałów jest tak popularna na sprawdzianach i egzaminach.

     Co zrobić, gdy nierówność kwadratowa ma Δ < 0?

     Gdy Δ < 0, trójmian kwadratowy nie ma miejsc zerowych, więc nie przecina osi OX. Wtedy wystarczy sprawdzić znak współczynnika a:

     • jeśli a > 0 – cała parabola jest nad osią OX, czyli ax² + bx + c > 0 dla wszystkich x,
     • jeśli a < 0 – cała parabola jest pod osią OX, czyli ax² + bx + c < 0 dla wszystkich x.

     Dalej porównujesz to z typem nierówności. Na przykład dla a > 0 i Δ < 0:

     • ax² + bx + c > 0 – rozwiązaniem jest R (wszystkie liczby rzeczywiste),
     • ax² + bx + c ≥ 0 – również R,
     • ax² + bx + c < 0 lub ≤ 0 – brak rozwiązań, bo wartości nigdy nie są ujemne.

     Taką analizę da się zrobić wyłącznie „na znaku a i delcie”, bez obliczania konkretnych miejsc zerowych.

     Esencja tematu

     • Nierówność kwadratowa dotyczy trójmianu ax² + bx + c z a ≠ 0 i polega na wyznaczeniu, dla jakich x wyrażenie jest dodatnie, ujemne lub równe zero.
     • Parabola y = ax² + bx + c pozwala wizualnie zobaczyć rozwiązania: interesuje nas kierunek ramion, miejsca zerowe i to, czy wykres leży nad czy pod osią OX.
     • Metoda przedziałów polega na znalezieniu miejsc zerowych, podzieleniu osi liczbowej na przedziały i określeniu znaku trójmianu na każdym z nich, a potem odczytaniu rozwiązania nierówności.
     • Przy dwóch różnych miejscach zerowych i a > 0 trójmian jest dodatni na zewnątrz przedziału między miejscami zerowymi, a ujemny wewnątrz; dla a < 0 znaki się odwracają.
     • Do zastosowania metody przedziałów kluczowa jest delta Δ = b² − 4ac, która informuje, czy parabola ma dwa, jedno czy zero miejsc zerowych, co zmienia liczbę i rodzaj rozważanych przedziałów.
     • Rysunek na osi liczbowej z zaznaczonymi miejscami zerowymi i znakami plus/minus ułatwia poprawne zapisanie rozwiązań, dobranie nawiasów (otwartych/domkniętych) i unikanie typowych błędów.
     • Metoda przedziałów jest uniwersalna: opiera się na prostej analizie znaków i może być rozszerzana na trudniejsze nierówności, np. z iloczynem kilku czynników czy ułamkami.

     Jeśli spodobał Ci się ten artykuł, sprawdź też:

     • 

       Funkcja kwadratowa – jak rozpoznać jej postać i wykres

     • 

       Matura z funkcji kwadratowej – co musisz umieć?

     • 

       Nierówności – najczęstsze pułapki na maturze

     • 

       Jak działa faktoryzacja wielomianów?

     • 

       Jak ogarnąć nierówności z wartością bezwzględną na…

     • 

       Nierówności z wartością bezwzględną – praktyczne przykłady