Intuicja i definicja stycznej do wykresu funkcji
Co to właściwie jest styczna?
Słowo styczna przewija się w zadaniach z analizy matematycznej wyjątkowo często. Formalna definicja brzmi sucho, ale idea jest prosta: styczna do wykresu funkcji w punkcie to prosta, która „dotyka” wykresu w tym punkcie i ma ten sam kierunek co wykres.
Z perspektywy rachunku różniczkowego najważniejsza jest informacja, że współczynnik kierunkowy stycznej w punkcie x₀ jest równy pochodnej funkcji w tym punkcie:
m = f′(x₀)
Sama styczna nie jest jednak tylko pojęciem teoretycznym. W praktyce pojawia się jako:
- przybliżenie funkcji liniowej w otoczeniu punktu (tzw. aproksymacja liniowa),
- narzędzie do zadań geometrycznych – kąty między prostymi, odległości, punkty przecięcia,
- podstawa metod numerycznych (np. metoda Newtona przy rozwiązywaniu równań).
Definicja analityczna stycznej w punkcie
Rozważ funkcję y = f(x) oraz punkt na jej wykresie (x₀, f(x₀)). Równanie stycznej w punkcie x₀ ma postać:
y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀)
To jest absolutny fundament. Jeżeli zapamiętasz jeden wzór na równanie stycznej, niech to będzie właśnie ten. Po rozwinięciu można przejść do postaci ogólnej prostej:
y = ax + b, gdzie a = f′(x₀), a b wyliczasz podstawiając współrzędne punktu (x₀, f(x₀)).
Pochodna jako granica siecznych
W tle definicji stycznej stoi pojęcie siecznej. Sieczna to prosta przechodząca przez dwa punkty wykresu funkcji:
- Punkt (x₀, f(x₀)),
- Punkt (x₀ + h, f(x₀ + h)).
Jej współczynnik kierunkowy to:
msiecznej = [f(x₀ + h) − f(x₀)] / h
Jeżeli pozwolimy, by h dążyło do zera, punkt (x₀ + h, f(x₀ + h)) zbliża się do (x₀, f(x₀)), a sieczna „obraca się” i przechodzi w styczną. Z definicji pochodnej:
f′(x₀) = limh→0 [f(x₀ + h) − f(x₀)] / h
Oznacza to, że pochodna to graniczny współczynnik kierunkowy siecznych, a więc naturalny kandydat na współczynnik kierunkowy stycznej.
Warunki istnienia stycznej
Nie w każdym punkcie da się narysować „normalną” styczną w sensie funkcji y = ax + b. Kluczowe fakty:
- Jeżeli f ma w punkcie x₀ pochodną skończoną, to istnieje styczna o kierunku skończonym.
- Jeżeli f ma w punkcie x₀ pochodną nieskończoną (np. pionową), można mówić o stycznej pionowej, czyli prostej x = x₀.
- Jeżeli w punkcie jest ostry wierzchołek (np. |x| w x = 0), pochodna nie istnieje i klasycznej stycznej się nie wyznaczy.
W zadaniach maturalnych i typowych zadaniach studenckich zwykle działasz w komfortowym obszarze: funkcja jest różniczkowalna, a styczna istnieje i ma postać y = ax + b.
Ogólny schemat rozwiązywania zadań z równaniami stycznej
Najważniejszy wzór roboczy
Praktycznie każde zadanie o stycznej można „sprowadzić” do jednego szkieletu:
- Weź funkcję y = f(x).
- Wybierz punkt styczności x₀ (dany w treści lub do wyznaczenia).
- Policz pochodną f′(x).
- Wyznacz f′(x₀) i f(x₀).
- Napisz równanie stycznej:
- w postaci punkt–kierunek: y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀), lub
- w postaci kierunkowej: y = f′(x₀)x + b, po wyznaczeniu b.
Większość zadań różni się właściwie tylko etapem „wybierz x₀” oraz dodatkowymi warunkami (np. styczna równoległa, przechodząca przez punkt, tworząca kąt itp.).
Standardowa procedura krok po kroku
Dobrze jest mieć w głowie konkretny, uniwersalny schemat, który powielasz niemal automatycznie.
- Identyfikacja danych:
- sprawdź, czy podany jest punkt na wykresie (x₀, f(x₀)) czy tylko x₀,
- zwróć uwagę na dodatkowe warunki: „przechodząca przez punkt”, „równoległa”, „prostopadła”, „tworzy kąt α z osią OX” itd.
- Policzenie pochodnej f′(x) – użyj odpowiednich wzorów (moc, iloczyn, łańcuchowy, logarytmiczny itd.).
- Wyznaczenie x₀:
- jeśli x₀ jest dane wprost – podstawiasz,
- jeśli nie – zakładasz x₀ = t i korzystasz z warunków zadania (np. równoległość → równość współczynników kierunkowych).
- Podstawienie x₀ do f i f′ – obliczasz f(x₀) i f′(x₀).
- Napisanie równania stycznej w wybranej postaci.
- Uproszczenie i ewentualne przekształcenie do żądanej postaci (kierunkowa, ogólna, postać znormalizowana).
Typowe miejsca, gdzie uczniowie popełniają błędy
Wielu uczniów „gubi się” nie na pojęciu stycznej, ale na technikaliach. Kilka powtarzających się problemów:
- Zła pochodna (np. pomylenie wzoru na pochodną złożonej lub trygonometrycznej).
- Podstawienie złej liczby za x₀ (np. użycie współrzędnej y zamiast x).
- Zapomnienie, że styczna musi przechodzić przez punkt wykresu funkcji, więc y₀ = f(x₀).
- Mylenie warunków „równoległa” i „prostopadła” (równoległe: równe współczynniki, prostopadłe: iloczyn współczynników −1).
- Brak sprawdzenia, czy punkt leży na wykresie – zwłaszcza gdy punkt jest podany z treści.
Dobrą praktyką jest zostawienie sobie 20–30 sekund na końcową kontrolę: czy styczna rzeczywiście przechodzi przez wskazany punkt i czy ma właściwy kierunek.
Równanie stycznej w danym punkcie – podstawowy typ zadania
Modelowy przykład z funkcją wielomianową
Rozważ funkcję:
f(x) = x³ − 3x² + 2x
Zadanie: wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x₀ = 1.
Krok 1. Obliczamy pochodną:
f′(x) = 3x² − 6x + 2
Krok 2. Liczymy f(1) i f′(1):
- f(1) = 1³ − 3·1² + 2·1 = 1 − 3 + 2 = 0,
- f′(1) = 3·1² − 6·1 + 2 = 3 − 6 + 2 = −1.
Punkt styczności to (1, 0), a współczynnik kierunkowy stycznej to m = −1.
Krok 3. Równanie stycznej w postaci punkt–kierunek:
y − 0 = −1(x − 1) ⟹ y = −x + 1
Odpowiedź końcowa: y = −x + 1.
Funkcje wymierne i pierwiastkowe – ten sam schemat
Przykład z funkcją wymierną:
f(x) = 1 / (x + 1)
Zadanie: wyznacz równanie stycznej w punkcie x₀ = 1.
Krok 1. Pochodna:
f(x) = (x + 1)−1 ⟹ f′(x) = −1·(x + 1)−2 = −1 / (x + 1)²
Krok 2. Wartości w punkcie:
- f(1) = 1 / (1 + 1) = 1/2,
- f′(1) = −1 / (1 + 1)² = −1/4.
Punkt styczności: (1, 1/2), współczynnik kierunkowy: −1/4.
Krok 3. Równanie stycznej:
y − 1/2 = −1/4(x − 1)
Można zostawić w tej postaci lub sprowadzić do y = ax + b:
y − 1/2 = −1/4 x + 1/4 ⟹ y = −1/4 x + 1/4 + 1/2 = −1/4 x + 3/4
Przykład z funkcją trygonometryczną
f(x) = sin x
Zadanie: wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie x₀ = 0.
Krok 1. Pochodna:
f′(x) = cos x
Krok 2. Podstawienie:
- f(0) = sin 0 = 0,
- f′(0) = cos 0 = 1.
Punkt styczności: (0, 0), m = 1.
Krok 3. Równanie stycznej:
y − 0 = 1(x − 0) ⟹ y = x
To klasyczny przypadek, który pojawia się w kontekście przybliżeń sin x ≈ x dla małych x.
Uwagi o postaci odpowiedzi
W niektórych zadaniach oczekuje się konkretnej postaci równania prostej:
- Postać kierunkowa: y = ax + b,
- Postać ogólna: Ax + By + C = 0 (zwykle A, B, C całkowite),
- Postać punkt–kierunek: y − y₀ = m(x − x₀).
Jeżeli treść zadania nie wskazuje inaczej, najbezpieczniej jest podawać równanie w formie y = ax + b, upraszczając ułamki i porządkując współczynniki.
Styczna równoległa i prostopadła do danej prostej
Styczna równoległa – jak czytać warunek z treści?
Warunek „styczna równoległa do prostej l: y = a x + b” oznacza, że:
f′(x₀) = a
Ponieważ proste równoległe mają te same współczynniki kierunkowe. Zadanie zwykle polega na:
- Obliczeniu pochodnej f′(x).
- Rozwiązaniu równania f′(x) = a.
- Wyznaczeniu punktu styczności lub punktów (x₀, f(x₀)).
- Zapisaniu równań stycznych w wybranej postaci.
Przykład: funkcja wielomianowa i równoległość
f(x) = x³ − x
Zadanie: Znajdź równania stycznych do wykresu funkcji f, które są równoległe do prostej:
y = 3x + 1
Krok 1. Pochodna:
f′(x) = 3x² − 1
Krok 2. Warunek równoległości:
Prosta y = 3x + 1 ma współczynnik kierunkowy 3, więc szukamy x₀ takich, że:
f′(x₀) = 3 ⟹ 3x₀² − 1 = 3 ⟹ 3x₀² = 4 ⟹ x₀² = 4/3 ⟹ x₀ = ± 2/√3
Mamy dwa punkty styczności (bo funkcja jest „falująca”): x₁ = 2/√3, x₂ = −2/√3.
Krok 3. Wartości funkcji w punktach (najlepiej zapisać w prostej formie ułamkowej):
Kontynuacja przykładu z równoległością
Dla porządku dokończmy obliczenia z funkcją f(x) = x³ − x i prostą równoległą y = 3x + 1.
Krok 3. Wartości funkcji w punktach styczności:
Dla x₁ = 2/√3:
f(x₁) = (2/√3)³ − 2/√3 = 8/(3√3) − 2/√3 = (8 − 6)/(3√3) = 2/(3√3)
Dla x₂ = −2/√3:
f(x₂) = (−2/√3)³ − (−2/√3) = −8/(3√3) + 2/√3 = (−8 + 6)/(3√3) = −2/(3√3)
Punkty styczności to:
- P₁ = (2/√3, 2/(3√3)),
- P₂ = (−2/√3, −2/(3√3)).
Krok 4. Równania stycznych. Obie styczne mają współczynnik kierunkowy 3:
-
Dla P₁:
y − 2/(3√3) = 3(x − 2/√3)
-
Dla P₂:
y + 2/(3√3) = 3(x + 2/√3)
Można je oczywiście przekształcić do postaci y = 3x + b, wyznaczając odpowiednie wyrazy wolne.
Styczna prostopadła – typowy schemat
Warunek „styczna prostopadła do prostej l: y = a x + b” oznacza, że:
f′(x₀) · a = −1 czyli f′(x₀) = −1/a (jeżeli a ≠ 0).
Proste prostopadłe mają współczynniki kierunkowe m₁ i m₂ takie, że m₁ · m₂ = −1. Po założeniu, że szukana styczna ma współczynnik m = f′(x₀), dostajemy równanie na x₀.
Przykład: styczna prostopadła do danej prostej
f(x) = x² − 4x + 1
Zadanie: Znajdź równania stycznych do wykresu funkcji f, które są prostopadłe do prostej:
l: y = 1/2 x − 3
Krok 1. Pochodna funkcji:
f′(x) = 2x − 4
Krok 2. Warunek prostopadłości. Prosta l ma współczynnik kierunkowy a = 1/2, więc szukana styczna powinna mieć:
m = −1/a = −1 / (1/2) = −2
Warunek: f′(x₀) = −2 ⟹ 2x₀ − 4 = −2 ⟹ 2x₀ = 2 ⟹ x₀ = 1
Krok 3. Punkt styczności:
f(1) = 1² − 4·1 + 1 = 1 − 4 + 1 = −2
Punkt styczności: (1, −2).
Krok 4. Równanie stycznej:
y − (−2) = −2(x − 1) ⟹ y + 2 = −2x + 2 ⟹ y = −2x
Styczna prostopadła do l ma w tym przypadku równanie y = −2x.
Styczna przechodząca przez dany punkt
Jak wykorzystać informację o punkcie spoza wykresu?
Częsty typ zadania: podana jest funkcja f oraz punkt A = (xA, yA), przez który ma przechodzić styczna. Zwykle punkt A nie leży na wykresie funkcji, tylko „wisi” gdzieś obok. Warunek „styczna przechodzi przez A” łączy się z warunkiem „styczna przechodzi przez punkt styczności (x₀, f(x₀))”.
Dwa punkty jednoznacznie wyznaczają prostą, więc:
- współczynnik kierunkowy stycznej można zapisać jako:
m = f′(x₀) = (f(x₀) − yA)/(x₀ − xA) (o ile x₀ ≠ xA),
- zwykle prowadzi to do równania z niewiadomą x₀.
Przykład: styczna do paraboli przez dany punkt
f(x) = x²
Zadanie: Wyznacz równania stycznych do wykresu funkcji f przechodzących przez punkt:
A = (0, −1)
Krok 1. Pochodna:
f′(x) = 2x
Krok 2. Niech x₀ będzie współrzędną punktu styczności. Punkt styczności to (x₀, f(x₀)) = (x₀, x₀²), a współczynnik kierunkowy stycznej m = f′(x₀) = 2x₀.
Równanie stycznej przez (x₀, x₀²) w postaci kierunkowej:
y = 2x₀ x + b
Krok 3. Warunek przechodzenia przez punkt A:
Punkt A = (0, −1) należy do stycznej, więc:
−1 = 2x₀ · 0 + b ⟹ b = −1
Równanie stycznej ma postać:
y = 2x₀ x − 1
Krok 4. Warunek styczności. Styczna musi mieć taki współczynnik kierunkowy, jak pochodna w punkcie styczności:
m = 2x₀
Znana jest już postać prostej y = 2x₀ x − 1 oraz wiemy, że przechodzi ona przez (x₀, x₀²). Podstawiamy:
x₀² = 2x₀ · x₀ − 1 ⟹ x₀² = 2x₀² − 1 ⟹ x₀² = 1 ⟹ x₀ = ±1
Krok 5. Równania stycznych. Mamy dwa punkty styczności: x₁ = 1, x₂ = −1. Dla obu b = −1, ale współczynnik kierunkowy zależy od x₀:
- dla x₁ = 1: m = 2, styczna: y = 2x − 1,
- dla x₂ = −1: m = −2, styczna: y = −2x − 1.
Parabola x² ma dwie różne styczne przechodzące przez punkt (0, −1) – jedna „po lewej”, druga „po prawej” stronie osi OY.
Przykład z funkcją nieliniową i punktem poza wykresem
f(x) = √x, x > 0
Zadanie: Wyznacz styczną do wykresu funkcji f przechodzącą przez punkt:
A = (4, 0)
Krok 1. Pochodna (dla x > 0):
f(x) = x1/2 ⟹ f′(x) = 1/2 x−1/2 = 1/(2√x)
Krok 2. Oznaczamy punkt styczności przez (x₀, √x₀). Współczynnik kierunkowy stycznej:
m = f′(x₀) = 1/(2√x₀)
Równanie stycznej:
y − √x₀ = m(x − x₀) = 1/(2√x₀)(x − x₀)
Krok 3. Warunek przechodzenia przez A:
Punkt A = (4, 0) należy do stycznej, więc:
0 − √x₀ = 1/(2√x₀)(4 − x₀)
Mnożymy obustronnie przez 2√x₀ (x₀ > 0, więc √x₀ ≠ 0):
−2x₀ = 4 − x₀ ⟹ −2x₀ + x₀ = 4 ⟹ −x₀ = 4 ⟹ x₀ = −4
To sprzeczne z założeniem x₀ > 0, więc:
Nie istnieje styczna do wykresu y = √x przechodząca przez punkt (4, 0).
Taki przykład dobrze pokazuje, że czasem odpowiedzią jest brak stycznej spełniającej warunki – co w zadaniach jest jak najbardziej dopuszczalne, o ile wynik jest logicznie uzasadniony.
Styczna tworząca zadany kąt z osią OX
Jak połączyć kąt z pochodną?
Jeżeli styczna tworzy z osią OX kąt α (mierzymy go standardowo od osi OX w górę, przeciwnie do ruchu wskazówek zegara), to jej współczynnik kierunkowy wynosi:
m = f′(x₀) = tan α
Warunek z treści: „styczna w punkcie x₀ tworzy z osią OX kąt 45°” przekłada się na równanie:
f′(x₀) = tan 45° = 1
W zadaniach często trzeba:
- zapisać m = tan α (przy α ≠ 90° + k·180°),
- rozwiązać równanie f′(x) = tan α,
- wyprowadzić równania stycznych dla znalezionych x₀.
Przykład: kąt 45° z osią OX
f(x) = x³ − 3x
Zadanie: Wyznacz punkty na wykresie funkcji f, w których styczna tworzy z osią OX kąt 45°.
Krok 1. Pochodna:
f′(x) = 3x² − 3
Krok 2. Warunek na współczynnik kierunkowy:
tan 45° = 1, więc:
f′(x₀) = 1 ⟹ 3x₀² − 3 = 1 ⟹ 3x₀² = 4 ⟹ x₀² = 4/3 ⟹ x₀ = ±2/√3
Krok 3. Wyznaczenie punktów:
-
Dla x₁ = 2/√3:
f(2/√3) = (2/√3)³ − 3·2/√3 = 8/(3√3) − 6/√3 = (8 − 18)/(3√3) = −10/(3√3)
-
Dla x₂ = −2/√3:
f(−2/√3) = (−2/√3)³ − 3·(−2/√3) = −8/(3√3) + 6/√3 = (−8 + 18)/(3√3) = 10/(3√3)
Punkty, w których styczna ma nachylenie 45° względem osi OX, to:
- (2/√3, −10/(3√3)),
- (−2/√3, 10/(3√3)).
Przykład: kąt ujemny (styczna opadająca)
f(x) = ex
Zadanie: Wyznacz punkty styczności, w których styczna do wykresu f tworzy z osią OX kąt −45°.
Krok 1. Pochodna:
f′(x) = ex
Krok 2. Warunek na kąt:
tan(−45°) = −1, więc:
ex₀ = −1
Brak rozwiązania, bo ex > 0 dla każdego x. Wniosek:
Nie istnieje punkt na wykresie y = ex, w którym styczna opada (tworząc kąt −45° z osią OX).
Wykres funkcji wykładniczej jest wszędzie rosnący, co po prostu odzwierciedla dodatniość jej pochodnej.
Styczna w zadaniach optymalizacyjnych i geometrycznych
Punkt, w którym odległość od prostej jest najmniejsza
Styczne często pojawiają się „przy okazji” zadań geometrycznych. Typowy schemat: szukamy punktu na wykresie funkcji, który jest „najbliżej” zadanej prostej czy punktu. Warunek ekstremum odległości można zwykle sprowadzić do warunku na pochodną, a więc i na nachylenie stycznej.
Prosty przykład: szukamy punktu na paraboli najbliższego danej prostej. Gdy przebudować zadanie do postaci funkcji jednej zmiennej (np. odległości w funkcji x), w końcu pojawia się pochodna i warunek f′(x₀) = 0. W innym wariancie: punkt, w którym odcinek łączący wykres z osią OX ma jakąś szczególną długość – znów bardzo często kończy się na analizie kierunku stycznej.
Przykład: minimalna odległość od punktu a kierunek stycznej
f(x) = x², punkt A = (0, 1)
Zadanie: Znaleźć punkt na wykresie funkcji f najbliższy punktowi A oraz równanie stycznej w tym punkcie.
Rozwiązanie: najbliższy punkt i równanie stycznej
Szukamy punktu na wykresie:
f(x) = x²
który jest najbliżej punktu A = (0, 1).
Krok 1. Odległość w funkcji x. Punkt na paraboli ma postać P(x, x²). Odległość PA od punktu A:
d(x) = √[(x − 0)² + (x² − 1)²] = √[x² + (x² − 1)²]
Do wyznaczenia minimum wygodniej zminimalizować kwadrat odległości:
D(x) = d(x)² = x² + (x² − 1)²
Krok 2. Pochodna i warunek ekstremum:
D(x) = x² + (x² − 1)² = x² + x⁴ − 2x² + 1 = x⁴ − x² + 1
D′(x) = 4x³ − 2x
Warunek ekstremum:
4x³ − 2x = 0 ⟹ 2x(2x² − 1) = 0
Rozwiązania:
- x = 0,
- 2x² − 1 = 0 ⟹ x² = 1/2 ⟹ x = ±1/√2.
Krok 3. Sprawdzenie, gdzie odległość jest najmniejsza. Liczymy D(x) dla trzech punktów:
- D(0) = 0⁴ − 0² + 1 = 1,
- D(1/√2) = (1/√2)⁴ − (1/√2)² + 1 = 1/4 − 1/2 + 1 = 3/4,
- D(−1/√2) = takie samo jak dla 1/√2, więc D(−1/√2) = 3/4.
Najmniejsza wartość to 3/4, więc punkty najbliższe A to:
- P₁ = (1/√2, (1/√2)²) = (1/√2, 1/2),
- P₂ = (−1/√2, (−1/√2)²) = (−1/√2, 1/2).
Parabola ma dwa punkty jednakowo bliskie punktowi A po obu stronach osi OY.
Krok 4. Równania stycznych w tych punktach. Pochodna:
f′(x) = 2x
-
Dla P₁: x₁ = 1/√2, f′(x₁) = 2 · 1/√2 = √2.
Równanie stycznej w punkcie (1/√2, 1/2):
y − 1/2 = √2(x − 1/√2) ⟹ y − 1/2 = √2x − 2/2 ⟹ y = √2x − 1/2
-
Dla P₂: x₂ = −1/√2, f′(x₂) = −√2.
Równanie stycznej w punkcie (−1/√2, 1/2):
y − 1/2 = −√2(x + 1/√2) ⟹ y − 1/2 = −√2x − 2/2 ⟹ y = −√2x − 1/2
Dwie proste y = √2x − 1/2 oraz y = −√2x − 1/2 są styczne do paraboli i przechodzą przez punkty najbliższe A. Symetria wynika bezpośrednio z parzystości funkcji x².
Styczna jako granica cięciwy – punkt widzenia z definicji
Od cięciwy do stycznej
W wielu zadaniach pochodna jest podana „z góry” jako narzędzie, ale zdarza się, że treść nawiązuje do definicji:
f′(x₀) = limh→0 (f(x₀ + h) − f(x₀))/h
lub:
f′(x₀) = limx→x₀ (f(x) − f(x₀))/(x − x₀)
Iloraz (f(x) − f(x₀))/(x − x₀) to współczynnik kierunkowy cięciwy łączącej punkty (x₀, f(x₀)) i (x, f(x)). Granica tych cięciw (gdy x zbliża się do x₀) to właśnie współczynnik kierunkowy stycznej. W zadaniach można to wykorzystać na dwa sposoby:
- sprawdzić istnienie stycznej w „trudnych” punktach (np. końce przedziału, ostre wierzchołki),
- czasem policzyć pochodną „z definicji”, gdy nie wolno korzystać z gotowych wzorów.
Przykład: funkcja z wartością bezwzględną
f(x) = |x|
Zadanie: Zbadać istnienie stycznej w punkcie x₀ = 0.
Dla x > 0: f(x) = x, dla x < 0: f(x) = −x.
Iloraz różnicowy:
(f(x) − f(0))/(x − 0) = f(x)/x
- Dla x > 0: f(x)/x = x/x = 1,
- Dla x < 0: f(x)/x = (−x)/x = −1.
Granica jednostronna z prawej:
limx→0⁺ f(x)/x = 1
Granica jednostronna z lewej:
limx→0⁻ f(x)/x = −1
Granice się różnią, więc pochodna w 0 nie istnieje. Wniosek geometryczny:
W punkcie x = 0 wykres funkcji y = |x| nie ma stycznej – wierzchołek jest „ostry”.
To typowe zadanie pokazujące, że nie każda krzywa „gładko” przechodzi przez każdy punkt i nie zawsze da się narysować jednoznaczną styczną.
Przykład: styczna na końcu przedziału
f(x) = √x, x ≥ 0
Zadanie: Wyznaczyć styczną do wykresu f w punkcie x₀ = 0, korzystając z definicji pochodnej jednostronnej.
Pochodna z prawej w 0:
f′+(0) = limh→0⁺ (√h − √0)/h = limh→0⁺ √h/h = limh→0⁺ 1/√h = +∞
Pochodna „ucieka” do nieskończoności, co opisuje sytuację, w której wykres startuje pionowo z punktu (0, 0). Interpretacja geometryczna:
W punkcie x = 0 styczną do wykresu y = √x można utożsamiać z prostą pionową x = 0.
W wielu podręcznikach prostą pionową nie klasyfikuje się jako styczną w ścisłym sensie (bo nie ma ona postaci y = ax + b), ale w zadaniach z geometrii analitycznej to naturalna granica cięciw.
Typowe pułapki w zadaniach ze stycznymi
Mylony punkt styczności i punkt „dany w treści”
Częsty błąd: jeżeli w zadaniu pojawia się punkt A, przez który ma przechodzić styczna, uczniowie mimowolnie przyjmują ten punkt jako punkt styczności. Tymczasem:
- punkt styczności musi leżeć na wykresie funkcji f,
- punkt „dany” może być dowolny, również leżący poza wykresem.
Bezpieczną praktyką jest zawsze oznaczenie punktu styczności jako (x₀, f(x₀)), nawet jeśli jego współrzędne są już znane. To wymusza poprawne podstawienia do pochodnej i równania prostej.
Nieużywanie warunku, że punkt leży na wykresie
W zadaniach typu: „styczna przechodzi przez punkt A” część osób ustala tylko współczynnik kierunkowy prostej (np. z pochodnej w jednym punkcie) i „wymusza” przechodzenie przez A, zapominając o tym, że prosta musi też przechodzić przez punkt styczności.
Dobry schemat formalizuje oba warunki:
- P(x₀, f(x₀)) leży na stycznej,
- A(xA, yA) leży na stycznej.
Z tych dwóch warunków wynika najpierw współczynnik kierunkowy m, a dopiero później pełne równanie y = mx + b (lub postać punkt–kierunek).
Złe korzystanie z pochodnej przy prostopadłości/równoległości
Jeżeli treść zawiera słowa „styczna prostopadła do prostej l” albo „styczna równoległa do prostej k”, schemat jest zawsze taki sam:
- odczytaj współczynnik kierunkowy a prostej z treści,
-
ustaw odpowiedni warunek:
- równoległość: f′(x₀) = a,
- prostopadłość: f′(x₀) = −1/a (jeśli a ≠ 0).
- rozwiąż równanie względem x₀,
- dla każdego x₀ ułóż równanie stycznej.
Najczęstszy błąd polega na wstawieniu a zamiast −1/a w przypadku prostopadłości albo odwrotnie. Pomaga krótkie mentalne sprawdzenie na prostych przykładowych: prosta o nachyleniu 2 ma prostą prostopadłą o nachyleniu −1/2 – iloczyn współczynników daje −1.
Mylenie kąta z osią OX z kątem między prostymi
Jeśli w treści pojawia się kąt α, trzeba zwrócić uwagę, czy:
- α to kąt z osią OX (wtedy m = tan α),
- α to kąt między dwiema prostymi (wtedy używa się wzoru na tangens kąta między prostymi).
Kąt między prostymi o współczynnikach kierunkowych m₁, m₂:
tan φ = |(m₂ − m₁)/(1 + m₁m₂)| (przy 1 + m₁m₂ ≠ 0)
W zadaniach, gdzie styczna ma tworzyć określony kąt z daną prostą k, trzeba najpierw powiązać ich współczynniki m (przez powyższy wzór), a dopiero później łączyć m z pochodną f′(x₀).
Styczne w kontekście funkcji trygonometrycznych
Przykład: styczne do sinusoidy w punktach o zadanych wysokościach
f(x) = sin x
Zadanie: Znaleźć punkty na wykresie funkcji f, w których styczna ma nachylenie 0 (jest równoległa do osi OX), oraz równania tych stycznych.
Krok 1. Pochodna:
f′(x) = cos x
Warunek: styczna równoległa do osi OX ⟹ f′(x₀) = 0:
cos x₀ = 0 ⟹ x₀ = π/2 + kπ, k ∈ ℤ
Krok 2. Punkty styczności:
f(x₀) = sin(π/2 + kπ) = (−1)ᵏ
Dla parzystych k styczna jest w punkcie (π/2 + 2kπ, 1), a dla nieparzystych (π/2 + (2k + 1)π, −1).
Krok 3. Równania stycznych. Ponieważ m = 0, równania są postaci:
- y = 1 – w punktach, gdzie sin x osiąga maksimum,
- y = −1 – w punktach, gdzie sin x osiąga minimum.
W praktyce, gdy zadanie dotyczy tylko jednego okresu, podaje się np. x ∈ [0, 2π] i wtedy:
- maksimum przy x = π/2, styczna: y = 1,
- minimum przy x = 3π/2, styczna: y = −1.
Przykład: styczna do cos x o zadanym współczynniku
f(x) = cos x
Zadanie: Wyznaczyć wszystkie punkty x₀, w których styczna do wykresu funkcji f ma współczynnik kierunkowy m = 1/2.
Krok 1. Pochodna:
f′(x) = −sin x
Warunek na współczynnik:
−sin x₀ = 1/2 ⟹ sin x₀ = −1/2
Rozwiązania ogólne:
x₀ = −π/6 + 2kπ lub x₀ = 7π/6 + 2kπ, k ∈ ℤ
Krok 2. Punkty styczności:
-
Dla x₀ = −π/6 + 2kπ:
f(x₀) = cos(−π/6 + 2kπ) = cos(−π/6) = cos(π/6) = √3/2
- Policz pochodną funkcji: wyznacz f′(x).
- Ustal punkt styczności x₀ (dany lub do znalezienia z warunków zadania).
- Oblicz f(x₀) oraz f′(x₀).
- Podstaw do wzoru na styczną: y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀).
- pochodna skończona – istnieje „zwykła” styczna ukośna: y = ax + b,
- pochodna nieskończona – styczna pionowa: x = x₀,
- pochodna nie istnieje (np. ostry wierzchołek) – nie ma dobrze zdefiniowanej stycznej.
- niepoprawne obliczenie pochodnej (zwłaszcza funkcji złożonych, trygonometrycznych, wymiernych),
- podstawienie złej liczby za x₀ (pomylenie współrzędnej x z y),
- pominięcie faktu, że styczna musi przechodzić przez punkt wykresu: (x₀, f(x₀)),
- mylenie warunków „równoległa” (równe współczynniki kierunkowe) i „prostopadła” (iloczyn współczynników równy −1),
- brak sprawdzenia, czy podany w treści punkt naprawdę leży na wykresie funkcji.
- liniowe przybliżenie funkcji w otoczeniu danego punktu (aproksymacja liniowa),
- narzędzie do rozwiązywania zadań geometrycznych: kąty, odległości, punkty przecięcia,
- podstawa metod numerycznych, np. metody Newtona do rozwiązywania równań nieliniowych.
- Styczna do wykresu funkcji w punkcie to prosta mająca ten sam kierunek co wykres w tym punkcie, a jej współczynnik kierunkowy jest równy pochodnej f′(x₀).
- Fundamentalny wzór na styczną w punkcie x₀ ma postać: y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀); po rozwinięciu można przejść do postaci y = ax + b.
- Pochodna f′(x₀) jest granicznym współczynnikiem kierunkowym siecznych, więc naturalnie opisuje kierunek stycznej.
- Styczna istnieje w „klasycznej” postaci y = ax + b, gdy pochodna w punkcie jest skończona; pochodna nieskończona daje styczną pionową x = x₀, a brak pochodnej (ostry wierzchołek) oznacza brak zwykłej stycznej.
- Uniwersalny schemat zadań: wyznaczyć pochodną f′(x), znaleźć x₀ (dane lub z warunków), obliczyć f(x₀) i f′(x₀), a następnie zapisać równanie stycznej i sprowadzić je do żądanej postaci.
- Najczęstsze błędy dotyczą nie samego pojęcia stycznej, ale technikaliów: zła pochodna, pomyłka w x₀, nieuwzględnienie warunku przechodzenia przez punkt i mylenie prostych równoległych z prostopadłymi.
- Systematyczne stosowanie jednego schematu i końcowa kontrola (czy prosta przechodzi przez dany punkt i ma odpowiedni kierunek) pozwalają unikać większości pomyłek w zadaniach o stycznej.
Najczęściej zadawane pytania (FAQ)
Jakie jest ogólne równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie x₀?
Ogólne równanie stycznej do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie x₀ ma postać:
y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀).
To tzw. postać punkt–kierunek: współczynnik kierunkowy stycznej to f′(x₀), a styczna przechodzi przez punkt (x₀, f(x₀)). Po przekształceniu można ją zapisać w postaci kierunkowej y = ax + b, gdzie a = f′(x₀), a b wyznacza się, podstawiając współrzędne punktu.
Jak krok po kroku wyznaczyć równanie stycznej do funkcji?
Uniwersalny schemat wygląda tak:
Następnie możesz sprowadzić równanie do postaci y = ax + b albo Ax + By + C = 0, jeśli tego wymaga treść zadania.
Kiedy styczna do wykresu funkcji w punkcie nie istnieje?
Klasyczna styczna w postaci y = ax + b nie istnieje wtedy, gdy funkcja nie ma w danym punkcie skończonej pochodnej. Dzieje się tak np. przy ostrych wierzchołkach, jak w funkcji f(x) = |x| w punkcie x = 0.
Możliwe przypadki:
Jak znaleźć styczną równoległą do danej prostej?
Jeśli w zadaniu jest warunek „styczna równoległa do prostej l: y = ax + b”, to masz równanie na współczynnik kierunkowy: f′(x₀) = a. Proste równoległe mają te same współczynniki kierunkowe.
Procedura jest następująca: liczysz f′(x), rozwiązujesz równanie f′(x₀) = a (stąd dostajesz możliwe x₀), potem dla każdego x₀ wyznaczasz f(x₀) i zapisujesz równanie stycznej w standardowej postaci.
Jak wyznaczyć styczną do funkcji przechodzącą przez dany punkt A(x₁, y₁)?
Zakładasz, że punkt A leży na stycznej, ale niekoniecznie na wykresie funkcji. Szukasz takiego x₀, że styczna w punkcie (x₀, f(x₀)) przechodzi przez A.
Podstawiasz współrzędne A do równania stycznej:
y₁ = f′(x₀)(x₁ − x₀) + f(x₀)
i rozwiązujesz to równanie (lub układ) względem x₀. Gdy znajdziesz x₀, obliczasz f(x₀) i f′(x₀), a następnie zapisujesz równanie stycznej w wybranej postaci.
Jakie są najczęstsze błędy przy wyznaczaniu równań stycznych?
Do typowych błędów należą:
Warto na końcu zawsze sprawdzić, czy otrzymana prosta przechodzi przez właściwy punkt i ma odpowiedni kierunek.
Po co w ogóle liczy się styczne w analizie matematycznej?
Styczne nie są wyłącznie abstrakcyjnym pojęciem. W praktyce służą jako:
Dzięki równaniu stycznej możemy zastąpić skomplikowaną funkcję prostą liniową „najlepiej dopasowaną” lokalnie, co bardzo upraszcza obliczenia i analizę.
