Projekt regulatora metodą miejsca pierwiastkowego: zadania krok po kroku z rozwiązaniami

Wprowadzenie do projektowania regulatora metodą miejsca pierwiastkowego

Metoda miejsca pierwiastkowego jest jednym z najbardziej praktycznych narzędzi w klasycznej teorii sterowania. Umożliwia projekt regulatora sprzężenia zwrotnego bezpośrednio na płaszczyźnie zespolonej, śledząc, jak zmieniają się bieguny układu zamkniętego w zależności od wzmocnienia lub innego parametru. Daje to bardzo intuicyjny wgląd w stabilność, szybkość odpowiedzi, przeregulowanie i tłumienie oscylacji.

Projekt regulatora metodą miejsca pierwiastkowego zwykle przebiega w kilku powtarzalnych etapach: zapis transmitancji obiektu, wyznaczenie miejsca pierwiastkowego, sformułowanie wymagań dynamicznych (czas regulacji, przeregulowanie, uchyb statyczny), wybór struktury regulatora (P, PD, PI, PID lub z członem korekcyjnym), a następnie dobór parametrów regulatora tak, aby bieguny zamkniętego układu znalazły się w odpowiednich punktach na płaszczyźnie s.

W zastosowaniach praktycznych sama teoria nie wystarcza. Potrzebne są zadania liczbowo-analityczne, w których krok po kroku przechodzi się od wymagań do konkretnych wartości parametrów regulatora. Kolejne sekcje prowadzą przez typowe zadania projektowe metodą miejsca pierwiastkowego: od prostych układów z regulatorem P, przez projekt reglatora PD i PI, aż po korekcję fazy i kaskadowe modyfikacje transmitancji.

Podstawy metody miejsca pierwiastkowego w projektowaniu regulatorów

Transmitancja otwarta, zamknięta i równanie charakterystyczne

Punktem wyjścia jest zwykle transmitancja obiektu w dziedzinie Laplace’a, oznaczana jako G(s). Projekt regulatora metodą miejsca pierwiastkowego opiera się na transmitancji otwartej pętli, czyli iloczynie transmitancji obiektu i regulatora: L(s) = G(s) · R(s). Dla typowego układu z ujemnym sprzężeniem zwrotnym transmitancja zamknięta ma postać:

Transmitancja zamknięta:

W(s)/U(s) = L(s) / (1 + L(s)) = G(s) R(s) / (1 + G(s) R(s))

Z punktu widzenia stabilności i dynamiki najważniejsze jest równanie charakterystyczne:

1 + G(s) R(s) = 0

To właśnie jego pierwiastki są biegunami układu zamkniętego. Zmieniając parametry regulatora, zmieniamy położenie tych pierwiastków. Metoda miejsca pierwiastkowego śledzi, jak te pierwiastki przesuwają się po płaszczyźnie zespolonej, gdy jeden wybrany parametr (najczęściej wzmocnienie K) zmienia się od 0 do ∞.

Definicja i zasady miejsca pierwiastkowego

Miejsce pierwiastkowe to zbiór wszystkich możliwych położeń biegunów układu zamkniętego w funkcji zmiennego parametru (np. wzmocnienia K), przy założeniu, że struktura transmitancji G(s) R(s) jest niezmienna. Dla klasycznego przypadku:

L(s) = K · G(s)

równanie charakterystyczne ma postać:

1 + K G(s) = 0  ➔ K G(s) = -1

Warunek ten można rozbić na dwa kryteria: modułu i argumentu. W praktyce do ręcznej konstrukcji miejsca pierwiastkowego używa się kilku reguł:

• miejsca pierwiastkowego są to tory ruchu biegunów zamkniętego układu w funkcji K ≥ 0,
• liczba gałęzi miejsca pierwiastkowego jest równa liczbie biegunów transmitancji otwartej L(s),
• gałęzie rozpoczynają się w biegunach L(s) dla K = 0 i kończą w jej zerach (w tym w tzw. zerach w ∞),
• część rzeczywista biegunów wpływa na szybkość odpowiedzi (im bardziej na lewo, tym szybciej), a część urojona na oscylacyjność.

Przy projektowaniu regulatora nie chodzi tylko o stabilność (bieguny w lewej półpłaszczyźnie), ale także o jakość przebiegu przejściowego: czas narastania, przeregulowanie, czas ustalania, brak oscylacji lub ich akceptowalny poziom. Dlatego dla zadanych wymagań rysuje się na płaszczyźnie s linie wyznaczające dopuszczalne pozycje biegunów, a następnie tak dobiera się parametry regulatora, aby miejsce pierwiastkowe przechodziło przez te obszary.

Podstawowe związki: bieguny, stabilność i parametry czasowe

Dla układów drugiego rzędu i dominujących biegunów można upraszczać analizę. Jeśli bieguny dominujące mają postać:

s_1,2 = -ζ ω_n ± j ω_n √(1 – ζ²)

to zachodzą typowe zależności:

• czas regulacji (do 2%): T_s ≈ 4 / (ζ ω_n) lub orientacyjnie ≈ 4 / |Re(s_d)|,
• czas narastania: T_r w przybliżeniu odwrotnie proporcjonalny do ω_n,
• maksymalne przeregulowanie M_p zależy głównie od tłumienia ζ,
• stabilność: wszystkie bieguny muszą leżeć w lewej półpłaszczyźnie (Re(s) < 0).

Parametry ζ i ω_n można dobrać z wymagań czasowych, a następnie wyznaczyć docelowe położenie biegunów. Projekt regulatora metodą miejsca pierwiastkowego sprowadza się wtedy do takiej modyfikacji transmitancji otwartej, aby gałęzie miejsca pierwiastkowego przechodziły przez te bieguny docelowe.

Ogólny schemat projektowania regulatora metodą miejsca pierwiastkowego

Typowy algorytm projektowy krok po kroku

Dla przejrzystości przydatny jest powtarzalny schemat. Dla projektów wykonywanych ręcznie lub półanalitycznie można przyjąć następującą procedurę:

1. Zapisz transmitancję obiektu G(s) i uprość ją do postaci ilorazu wielomianów.
2. Przyjmij początkową strukturę regulatora R(s) (np. K, K(1 + T_ds), K(1 + 1/(T_is)), człon korekcji fazy itd.).
3. Wyznacz transmitancję otwartą L(s) = G(s) R(s) i wypisz bieguny oraz zera L(s).
4. Narysuj (chociaż szkicowo) miejsce pierwiastkowe układu dla parametru K i aktualnej struktury R(s):
• zaznacz bieguny i zera,
• określ asymptoty, odcinki rzeczywiste, punkty przegięcia (przynajmniej jakościowo).
5. Przepisz wymagania dynamiczne na dopuszczalne położenia biegunów (np. kreska pionowa Re(s) = -σ_min, półproste o stałym ζ).
6. Sprawdź, czy miejsce pierwiastkowe przecina obszar dopuszczalny; jeśli tak, znajdź punkt przecięcia i odpowiadające mu wzmocnienie K.
7. Jeśli nie da się spełnić wymagań samym K, zmodyfikuj strukturę regulatora: dodaj człon korekcyjny powodujący wprowadzenie dodatkowego zera lub bieguna.
8. Po dobraniu regulatora oblicz parametry czasowe: czas regulacji, przeregulowanie, uchyb ustalony. Jeśli trzeba – iteruj projekt.

W kolejnych sekcjach ta procedura zostanie przećwiczona na rozbudowanych zadaniach z pełnymi rozwiązaniami, aby projekt regulatora metodą miejsca pierwiastkowego był zrozumiały zarówno koncepcyjnie, jak i rachunkowo.

Przeliczanie wymagań na postać geometryczną

Do wygodnego korzystania z miejsca pierwiastkowego trzeba umieć przeliczać wymagania na położenie biegunów. W praktyce używa się trzech typów warunków geometrycznych:

• Wymóg czasu regulacji: Re(s) ≤ -4 / T_s,max. Przykład: T_s,max = 2 s → Re(s) ≤ -2.
• Wymóg tłumienia (przeregulowania): stałe ζ odpowiada linii wychodzącej z początku układu pod kątem θ = arccos(ζ) do lewej półpłaszczyzny. Bieguny muszą leżeć na lewo od tej linii.
• Wymóg maksymalnej częstości drgań: ograniczenie na Im(s) = ω_d lub na moduł |s| = ω_n.

Projektant często rysuje na wykresie s prostą pionową, kilka linii stałego tłumienia i ewentualnie okręgi stałej częstości. Następnie analizuje przebieg miejsca pierwiastkowego i szuka punktu przecięcia spełniającego wszystkie warunki jednocześnie.

Struktury regulatorów a kształt miejsca pierwiastkowego

Dobór typu regulatora ma duży wpływ na miejsce pierwiastkowe:

• Regulator P (R(s) = K) nie dodaje żadnych biegunów ani zer; skaluje jedynie istniejące miejsce pierwiastkowe. Ograniczony w możliwościach korekcji, ale prosty.
• Regulator PD (R(s) = K(1 + T_ds)) dodaje zero w punkcie s = -1/T_d. To zero może „przyciągać” gałęzie miejsca pierwiastkowego i poprawiać tłumienie bez zwiększania rzędu układu.
• Regulator PI (R(s) = K(1 + 1/(T_is))) wprowadza biegun w s = 0 i zero w s = -1/T_i. Usuwa uchyb ustalony na skok, ale podnosi rząd układu.
• Regulator PID łączy cechy PI i PD, wprowadzając dwa zera i biegun w 0, co daje dużą swobodę kształtowania miejsca pierwiastkowego, kosztem większej złożoności.
• Korektory fazy (lead/lag) realizowane jako człony inercyjne (s+z)/(s+p), umieszczone w odpowiednich miejscach, służą do „przegięcia” gałęzi miejsca pierwiastkowego tak, by osiągnąć zadany kompromis między szybkością, przeregulowaniem i dokładnością ustaloną.

Kolejne zadania pokażą, jak w praktyce stosuje się te elementy, aby projekt regulatora metodą miejsca pierwiastkowego prowadził do konkretnych nastaw z uzasadnieniem ich wpływu na odpowiedź układu.

Zadanie 1: projekt regulatora P na podstawie miejsca pierwiastkowego

Treść zadania i model obiektu

Rozważany jest obiekt o transmitancji:

G(s) = frac{1}{s (s + 2)}

W układzie zastosowano regulator proporcjonalny:

R(s) = K

Wymagania dynamiki układu zamkniętego dla skokowego wymuszenia jednostkowego są następujące:

• czas regulacji (do 2%) T_s ≤ 4 s,
• maksymalne przeregulowanie M_p ≤ 20%,
• uchyb ustalony statyczny na wymuszenie skokowe nie większy niż 10%.

Zadaniem jest tak dobrać wzmocnienie K, aby układ spełniał powyższe wymagania, wykorzystując metodę miejsca pierwiastkowego.

Krok 1: transmitancja otwarta, równanie charakterystyczne i miejsce pierwiastkowe

Transmitancja otwarta pętli:

L(s) = G(s) R(s) = frac{K}{s (s + 2)}

Bieguny L(s): s = 0, s = -2. Brak zer (pomijając ewentualne zera w nieskończoności). Równanie charakterystyczne układu zamkniętego ma postać:

1 + L(s) = 1 + frac{K}{s (s + 2)} = 0

Przekształcając:

s (s + 2) + K = 0  ➔ s² + 2s + K = 0

Pierwiastki równania:

s_1,2 = [-2 ± √(4 – 4K)] / 2 = -1 ± √(1 – K)

W zależności od wartości K otrzymujemy różne położenia biegunów:

• dla K < 1: dwa rzeczywiste bieguny (układ bezoscylacyjny),
• dla K = 1: biegun podwójny w s = -1,
• dla K > 1: sprzężone zespolone bieguny s = -1 ± j√(K – 1).

Miejsce pierwiastkowe składa się więc z dwóch gałęzi startujących z s = 0 i s = -2 i przemieszczających się po osi rzeczywistej do punktu podwójnego s = -1 (dla K = 1), a następnie odchodzących w górę i w dół do płaszczyzny zespolonej (dla K > 1).

Krok 2: przeliczenie wymagań na położenie biegunów

Układ jest rzędu drugiego, więc można traktować jego odpowiedź jak „czysty” układ drugiego rzędu. Najpierw wymaganie na czas regulacji:

Orientacyjny związek: T_s ≈ 4 / (ζ ω_n) oraz T_s ≈ 4 / |Re(s_d)|. Przyjmując drugą, prostszą zależność:

Re(s_d) ≤ -4 / T_s,max = -4 / 4 = -1

Krok 3: warunek na tłumienie i przeregulowanie

Przeregulowanie M_p wiąże się z tłumieniem ζ przybliżonym wzorem:

M_p ≈ e^{-frac{π ζ}{sqrt{1 – ζ²}}}

Dla M_p,max = 0,2:

0,2 ≈ e^{-frac{π ζ}{sqrt{1 – ζ²}}}

Logarytmując:

ln(0,2) = -frac{π ζ}{sqrt{1 – ζ²}}

Numerycznie daje to ζ ≈ 0,456. Geometria płaszczyzny s: linia stałego ζ przechodzi przez początek układu pod kątem:

θ = arccos(ζ) ≈ arccos(0,456) ≈ 62,8°

Wymóg M_p ≤ 20% oznacza, że sprzężone bieguny dominujące muszą leżeć w rejonie o tłumieniu nie mniejszym niż 0,456 – czyli „bliżej” osi rzeczywistej niż linia o kącie około 62,8° (licząc od osi ujemnej Re w stronę osi Im).

Dla układu drugiego rzędu z biegunami:

s_1,2 = -ζ ω_n ± j ω_n √(1 – ζ²)

część rzeczywista wynosi Re(s) = -ζ ω_n. Z wymagania na czas regulacji:

Re(s) ≤ -1

a z definicji Re(s) = -ζ ω_n wynika:

ζ ω_n ≥ 1

oraz z warunku na przeregulowanie:

ζ ≥ 0,456

co daje orientacyjnie ω_n ≥ 1 / ζ ≈ 2,19 rad/s. Dla danego K sprawdzimy, czy odpowiadające bieguny spełniają oba warunki.

Krok 4: wyrażenie biegunów w parametrach ζ i ω_n

Dla rozważanego układu charakterystyczny wielomian ma postać:

s² + 2s + K = 0

Standardowa postać układu drugiego rzędu to:

s² + 2ζ ω_n s + ω_n² = 0

Porównując współczynniki:

2ζ ω_n = 2  ➔  ζ ω_n = 1

ω_n² = K  ➔  ω_n = √K

Stąd natychmiast:

ζ = frac{1}{ω_n} = frac{1}{sqrt{K}}

Ta prosta zależność pozwala bezpośrednio przeliczać K na tłumienie, częstość naturalną i czas regulacji.

Krok 5: sprawdzenie warunku czasu regulacji

Z zależności ζ ω_n = 1 otrzymujemy bezpośrednio:

T_s ≈ frac{4}{ζ ω_n} = frac{4}{1} = 4 text{ s}

Niezależnie od wartości K (dla K > 0) iloczyn ζ ω_n jest stały i równy 1, więc orientacyjny czas regulacji pozostaje na poziomie 4 s. Wymóg T_s ≤ 4 s jest więc granicznie spełniony – każde wzmocnienie dodatnie daje w przybliżeniu taki sam czas regulacji. W tej konkretnej konfiguracji regulacja P nie pozwala już skrócić T_s poniżej 4 s bez zmiany struktury obiektu lub regulatora.

Z punktu widzenia wymogu czasowego dopuszczalne jest dowolne K > 0 (przy interpretacji „≤ 4 s” jako dopuszczającej wartość równą 4 s).

Krok 6: warunek na przeregulowanie a dobór K

Wymaganie M_p ≤ 20% zostało wcześniej przeliczone na ζ ≥ 0,456. Ponieważ:

ζ = frac{1}{sqrt{K}}

warunek na tłumienie przyjmuje postać:

frac{1}{sqrt{K}} ≥ 0,456  ➔  sqrt{K} ≤ frac{1}{0,456} ≈ 2,193

K ≤ (2,193)² ≈ 4,81

Dodatkowo bieguny mają być zespolone sprzężone (aby faktycznie mówić o przeregulowaniu charakterystycznym dla układu drgającego). Z równania pierwiastków:

s_1,2 = -1 ± j√(K – 1)

bieguny są zespolone, gdy:

K > 1

Zakres K wynikający z kryterium przeregulowania:

1 < K ≤ 4,81

Dla K w tym przedziale układ ma bieguny sprzężone zespolone, tłumienie ζ nie mniejsze niż około 0,456, a więc przeregulowanie nieprzekraczające 20%.

Krok 7: uchyb statyczny na skok – klasa układu i K

Transmitancja otwarta:

L(s) = frac{K}{s (s + 2)}

zawiera biegun w s = 0, więc mamy układ typu 1 (jeden biegun w 0 w pętli otwartej). Dla wymuszenia skokowego jednostkowego uchyb ustalony wyznacza się ze wzoru:

e_ss = frac{1}{1 + K_p}, quad K_p = lim_{s → 0} L(s)

Tutaj:

K_p = lim_{s → 0} frac{K}{s (s + 2)} = infty

co oznacza:

e_ss = 0

Uchyb ustalony na skok jest równy zeru dla dowolnego dodatniego K, więc wymóg ≤ 10% jest automatycznie spełniony – i to z dużym zapasem. Jest to typowa sytuacja dla układów typu 1 i wyżej (z co najmniej jednym biegunem w 0 w pętli otwartej).

Krok 8: wybór konkretnej wartości K i położenie biegunów

Podsumowując ograniczenia:

• T_s ≈ 4 s – spełnione dla każdego K > 0,
• M_p ≤ 20% – wymaga 1 < K ≤ 4,81 (dla sensownego, oscylacyjnego przebiegu),
• e<sub{ss} ≤ 10% – spełnione zawsze (e_ss = 0).

Można więc dobrać K z przedziału (1, 4,81]. Dla precyzyjnego spełnienia granicznego przeregulowania 20% można przyjąć K ≈ 4,8; dla większego zapasu względem przeregulowania – mniejsze K, np. K = 2.

Dla ilustracji:

• Dla K = 2:
  • ω_n = √2 ≈ 1,414,
  • ζ = 1 / √2 ≈ 0,707,
  • M_p ≈ 4,3% (znacznie poniżej 20%),
  • bieguny: s = -1 ± j√(2 – 1) = -1 ± j.
• Dla K ≈ 4,8:
  • ω_n ≈ 2,19,
  • ζ ≈ 0,456,
  • M_p ≈ 20%,
  • bieguny: s ≈ -1 ± j√(3,8) ≈ -1 ± j1,95.

W praktycznym projekcie często wybiera się wartość pośrednią, która zapewnia umiarkowane przeregulowanie i akceptowalne amplitudy sygnałów sterujących, np. K = 3 (ζ ≈ 0,577, M_p około 10–12%). Z punktu widzenia metody miejsca pierwiastkowego dobór ten oznacza wskazanie punktu na gałęzi miejsca pierwiastkowego (między s = -1 ± j0 a s ≈ -1 ± j2) spełniającego wymóg przeregulowania.

Krok 9: ujęcie graficzne na miejscu pierwiastkowym

W zapisie geometrycznym postępowanie wygląda następująco:

1. Na osi rzeczywistej zaznacza się bieguny obiektu: s = 0 i s = -2.
2. Szkicuje się dwie gałęzie miejsca pierwiastkowego:
   • łączą się one na odcinku od 0 do -2,
   • dla K = 1 spotykają się w s = -1,
   • dla K > 1 odchodzą w górę i w dół do płaszczyzny zespolonej.
3. Rysuje się pionową prostą Re(s) = -1 (z czasowego wymogu). Miejsce pierwiastkowe jest względem niej symetryczne – wszystkie bieguny leżą dokładnie na tej prostej dla dowolnego K (Re(s) = -1).
4. Dodaje się linie stałego tłumienia, np. ζ = 0,456, 0,6, 0,7. Linia ζ ≈ 0,456 stanowi granicę dopuszczalnego przeregulowania.
5. Dopuszczalny obszar to część prostej Re(s) = -1 pomiędzy przecięciem z linią ζ = 0,456 (około Im(s) ≈ ±1,95) a punktem K = 1 (s = -1, bezoscylacyjny przypadek z M_p = 0).

Wybierając punkt przecięcia miejsca pierwiastkowego z linią np. ζ = 0,6, można z wykresu odczytać odpowiadający moduł wektora od początku do bieguna (czyli ω_n) i dalej policzyć K = ω_n². W praktyce często wykonuje się to w środowisku typu MATLAB/Octave przy pomocy funkcji rlocus oraz interaktywnych kursorów.

Zadanie 2: regulator PD dla poprawy tłumienia przy zachowaniu czasu regulacji

Opis obiektu i wymagania

Rozważany jest ten sam obiekt:

G(s) = frac{1}{s (s + 2)}

Jednak regulator ma teraz postać proporcjonalno-różniczkującą:

R(s) = K (1 + T_d s)

Wymagania dla odpowiedzi na skok jednostkowy:

• czas regulacji (do 2%) T_s ≤ 4 s,
• przeregulowanie M_p ≤ 10%,
• uchyb ustalony statyczny na skok nadal zerowy (jak w Zadaniu 1),
• maksymalna wartość sygnału sterującego nie powinna rosnąć nadmiernie w stosunku do przypadku regulatora P.

Celem jest dobranie K oraz T_d tak, aby miejsce pierwiastkowe z zerem regulatora „przyciągnęło” bieguny w rejon lepszego tłumienia, przy jednoczesnym zachowaniu porównywalnej szybkości reakcji.

Krok 1: transmitancja otwarta i bieguny/zera

Transmitancja otwarta pętli:

L(s) = G(s) R(s) = frac{K (1 + T_d s)}{s (s + 2)} = frac{K (T_d s + 1)}{s (s + 2)}

Bieguny L(s): s = 0, s = -2. Zero regulatora: s = -1 / T_d. Zmiana położenia tego zera będzie kluczowa dla kształtu miejsca pierwiastkowego.

Równanie charakterystyczne układu zamkniętego:

1 + L(s) = 0  ➔  s (s + 2) + K (T_d s + 1) = 0

Po uporządkowaniu:

s² + 2s + K T_d s + K = 0

s² + (2 + K T_d) s + K = 0

Układ nadal ma rząd 2 (po wprowadzeniu PD nie przybywa biegunów, jedynie zero). To korzystna własność, bo pozwala w pełni korzystać z prostych zależności ζ–ω_n bez pojawienia się złożonych dynamik wyższego rzędu.

Krok 2: porównanie ze standardową postacią i dobór położenia biegunów docelowych

Dla ogólnej postaci drugiego rzędu:

s² + 2ζ ω_n s + ω_n² = 0

porównując z:

s² + (2 + K T_d) s + K = 0

otrzymujemy:

2ζ ω_n = 2 + K T_d

ω_n² = K

Wymaganie na przeregulowanie M_p ≤ 10% daje (z wcześniejszego wzoru):

0,1 ≈ e^{-frac{π ζ}{sqrt{1 – ζ²}}}  ➔  ζ ≈ 0,59–0,6

Przykładowo przyjmiemy ζ_d = 0,6 jako wartość projektową. Dodatkowo chcemy utrzymać czas regulacji w pobliżu 4 s. Relacja:

T_s ≈ frac{4}{ζ ω_n}

prowadzi do:

Dobór częstotliwości naturalnej z ograniczenia czasu regulacji

Podstawiając wymagane T_s = 4 s oraz ζ_d = 0,6 do wzoru:

T_s ≈ frac{4}{ζ ω_n}

otrzymujemy zależność na częstotliwość naturalną docelowych biegunów:

4 ≈ frac{4}{0,6 ω_n}  ➔  0,6 ω_n ≈ 1  ➔  ω_n ≈ frac{1}{0,6} ≈ 1,67 text{ rad/s}

Z relacji:

ω<sub{n}² = K

wynika przybliżone wzmocnienie:

K ≈ (1,67)² ≈ 2,8

Dla tak dobranego ω_n czas regulacji pozostaje w pobliżu 4 s, a zwiększone tłumienie (ζ ≈ 0,6) ogranicza przeregulowanie do poziomu około 10%.

Wyznaczenie stałej różniczkowania T_d

Mając K ≈ 2,8 i ζ_d = 0,6, można obliczyć T_d z porównania współczynników:

2ζ ω_n = 2 + K T_d

Lewą stronę liczymy z wybranych parametrów docelowych:

2ζ ω_n = 2 · 0,6 · 1,67 ≈ 2,004 ≈ 2

po podstawieniu do równania:

2 ≈ 2 + K T_d

dostajemy:

K T_d ≈ 0  ➔  T_d ≈ 0

Taki wynik oznacza, że przy ω_n dobranym dokładnie z wymogu T_s = 4 s i ζ = 0,6 regulator PD redukuje się praktycznie do regulatora P z poprzedniego zadania. Aby wykorzystać wpływ członu różniczkującego na tłumienie, trzeba „odsunąć się” od dokładnego dopasowania T_s = 4 s i przyjąć nieco większą częstotliwość naturalną – wtedy część zadania przejmie różniczkowanie, a sam czas regulacji pozostanie w dopuszczalnym zakresie.

Modyfikacja założeń: szybszy układ i wykorzystanie PD do zwiększenia tłumienia

Typowe podejście projektowe dla PD polega na zwiększeniu ω_n, a następnie podbiciu tłumienia przez odpowiednio dobrane T_d. Przyjmijmy więc:

• docelowe tłumienie: ζ_d = 0,6 (jak poprzednio),
• częstotliwość naturalną nieco większą: np. ω_n = 2 rad/s.

Dla takich wartości dla samego drugorzędowego modelu orientacyjny czas regulacji:

T_s ≈ frac{4}{ζ ω_n} = frac{4}{0,6 · 2} = frac{4}{1,2} ≈ 3,33 text{ s}

Czas regulacji poprawia się względem 4 s, ale nadal pozostaje zbliżony do wymaganego poziomu – układ reaguje szybciej, lecz nie jest przesadnie „agresywny”. Ze wzoru:

ω_n² = K

otrzymujemy:

K = 2² = 4

Z relacji:

2ζ ω_n = 2 + K T_d

wyliczamy T_d:

2ζ ω_n = 2 · 0,6 · 2 = 2,4

2,4 = 2 + 4 T_d  ➔  4 T_d = 0,4  ➔  T_d = 0,1 text{ s}

Mamy więc jeden z możliwych zestawów parametrów:

• K = 4,
• T_d = 0,1 s,
• ω_n = 2 rad/s,
• ζ ≈ 0,6.

Dla takich wartości oczekuje się przeregulowania rzędu 10% (zgodnie z przyjętym ζ) i czasu regulacji około 3,3 s (szybciej niż wymagane 4 s). Jednocześnie trwały wpływ członu różniczkującego na położenie biegunów jest wyraźny – bez niego trudno byłoby uzyskać podobne tłumienie przy takim samym wzmocnieniu.

Położenie zera regulatora i kształt miejsca pierwiastkowego

Zero regulatora PD ma postać:

s = -frac{1}{T_d}

Dla T_d = 0,1 s:

s = -frac{1}{0,1} = -10

Zero znajduje się więc stosunkowo daleko na lewo od biegunów obiektu (s = 0 i s = -2). W takim ustawieniu:

• dla niewielkich wartości K wpływ zera jest umiarkowany – bieguny początkowo zachowują się podobnie jak w przypadku regulatora P,
• wraz ze wzrostem K gałęzie miejsca pierwiastkowego są „przyciągane” w stronę zera, co zwiększa tłumienie (kąt między wektorem do bieguna a osią urojona rośnie),
• większe tłumienie oznacza mniejsze przeregulowanie przy jednoczesnym wzroście szybkości reakcji (większa |s| biegunów).

W praktycznych narzędziach (MATLAB/Octave) wybiera się T_d i obserwuje, jak zmienia się kształt miejsca pierwiastkowego. Docelowe bieguny można wybrać graficznie, a następnie odczytać odpowiadające im parametry regulatora (np. używając komendy rlocfind lub interakcyjnego kliknięcia na wykresie).

Sprawdzenie wymagań czasowo-jakościowych dla wybranych parametrów PD

Dla K = 4 i T_d = 0,1 s równanie charakterystyczne:

s² + (2 + K T_d) s + K = 0

ma postać:

s² + (2 + 4 · 0,1) s + 4 = 0  ➔  s² + 2,4 s + 4 = 0

Dla tej postaci:

• ω_n = √4 = 2 rad/s,
• 2ζ ω_n = 2,4  ➔  ζ = frac{2,4}{2 · 2} = 0,6.

Przeregulowanie z przybliżonego wzoru:

M_p ≈ 100% · e^{-frac{π ζ}{sqrt{1 – ζ²}}}

dla ζ = 0,6 wynosi:

sqrt{1 – ζ²} = sqrt{1 – 0,36} = sqrt{0,64} = 0,8

frac{π ζ}{sqrt{1 – ζ²}} = frac{π · 0,6}{0,8} = frac{0,6}{0,8} π = 0,75 π ≈ 2,356

M_p ≈ 100% · e^{-2,356} ≈ 100% · 0,094 ≈ 9,4%

Przeregulowanie spełnia więc wymaganie M_p ≤ 10%. Czas regulacji:

T_s ≈ frac{4}{ζ ω_n} = frac{4}{0,6 · 2} ≈ 3,33 text{ s} ≤ 4 text{ s}

również zostaje dotrzymany. Otrzymane parametry regulatora PD można uznać za zgodne z założeniami projektowymi.

Uchyb statyczny przy regulatorze PD

Transmitancja otwarta z regulatorem PD:

L(s) = frac{K (T_d s + 1)}{s (s + 2)}

ma wciąż jeden biegun w s = 0, więc układ pozostaje typu 1. Wzmocnienie statyczne dla wymuszenia skokowego:

K_p = lim_{s → 0} L(s) = lim_{s → 0} frac{K (T_d s + 1)}{s (s + 2)}

Po podstawieniu s → 0:

T_d s + 1 → 1

stąd:

K_p = lim_{s → 0} frac{K}{s (s + 2)} = ∞

Uchyb ustalony:

e_ss = frac{1}{1 + K_p} = 0

warunek zerowego uchybu na skok jest więc zachowany dokładnie tak jak w przypadku regulatora P – dodanie członu różniczkującego nie zmienia klasy układu względem wymuszeń skokowych.

Porównanie regulatora P i PD pod względem sygnału sterującego

Dla regulatora P z poprzedniego zadania zwiększanie K powyżej wartości około 3–4 prowadzi do znacznego powiększania amplitudy sygnału sterującego przy niewielkiej poprawie tłumienia. Regulator PD rozkłada tę „pracę” inaczej:

• część efektu polepszenia dynamiki uzyskuje się dzięki położeniu zera (T_d),
• wzmocnienie K można utrzymać na poziomie zbliżonym do wartości z regulatora P (np. 3–4),
• przeregulowanie redukuje się dzięki zwiększonemu tłumieniu, a nie wyłącznie przez zmianę wartości K.

W praktyce oznacza to mniejsze ryzyko nasycenia elementów wykonawczych i spokojniejszy przebieg sterowania, przy podobnej lub nieco lepszej szybkości reakcji niż w przypadku „agresywnie” dobranego regulatora P.

Dla zilustrowania różnicy można zestawić dwa przypadki:

• Regulator P: K = 4, bez członu D.
  • bieguny: s = -1 ± j√(3) ≈ -1 ± j1,732,
  • ζ = 1 / √4 = 0,5 – przeregulowanie około 16–20%,
  • czas regulacji T_s ≈ 4 s.
• Regulator PD: K = 4, T_d = 0,1 s.
  • bieguny: rozwiązanie s² + 2,4s + 4 = 0  ➔  s = -1,2 ± j√(4 – 1,44) ≈ -1,2 ± j1,664,
  • tłumienie ζ ≈ 0,6 – przeregulowanie około 9–10%,
  • czas regulacji T_s ≈ 3,33 s.

Zmiana położenia biegunów o niewielką wartość w części rzeczywistej (z -1 do ok. -1,2) przy zachowaniu podobnej części urojonej przekłada się na zauważalnie lepszą jakość odpowiedzi. W symulacjach zwykle widać wyraźnie, że sterowanie z PD osiąga maksimum niższe lub porównywalne do P przy mniejszym przeregulowaniu i szybszym zaniku oscylacji.

Konstrukcja miejsca pierwiastkowego dla PD krok po kroku

Przy ręcznym szkicowaniu miejsca pierwiastkowego dla L(s) = K (T_d s + 1) / (s (s + 2)) można posłużyć się prostą procedurą:

1. Zaznaczyć bieguny obiektu: s = 0 i s = -2.
2. Zaznaczyć zero regulatora: s = -1 / T_d (np. dla T_d = 0,1 s: s = -10).
3. Wyznaczyć asymptoty:
   • liczba biegunów n = 2, liczba zer m = 1,
   • n – m = 1 asymptota, przechodząca przez środek ciężkości:

σ_a = frac{sum p_i – sum z_i}{n – m}

Dla rozważanego przykładu:

sum p_i = 0 + (-2) = -2, quad sum z_i = -10

σ_a = frac{-2 – (-10)}{1} = 8

Oznacza to, że asymptota wychodząca z biegunu wędrującego w nieskończoność będzie zaczynała się w s = 8 na osi rzeczywistej i kierowała poziomo w lewo (bo mamy jedną asymptotę, kąt 180°). W praktyce dla dodatnich K interesujący fragment miejsca pierwiastkowego znajduje się w lewej półpłaszczyźnie, a środek ciężkości asymptot jest poza głównym obszarem pracy układu.

Dalej analizuje się:

• podział osi rzeczywistej na przedziały (od -∞ do zera najbardziej na lewo, między zerami/biegunami itd.) i zaznacza odcinki, na których leży miejsce pierwiastkowe,
• wpływ zera: gałęzie mają tendencję do „zakręcania” w jego stronę, co zwiększa tłumienie,
• przecięcia z liniami stałego tłumienia (np. ζ = 0,6) – właśnie tam szuka się docelowych biegunów, a następnie oblicza odpowiadającą wartość K.

Najczęściej zadawane pytania (FAQ)

Na czym polega metoda miejsca pierwiastkowego w teorii sterowania?

Metoda miejsca pierwiastkowego polega na śledzeniu, jak zmieniają się położenia biegunów układu zamkniętego na płaszczyźnie zespolonej w funkcji wybranego parametru (najczęściej wzmocnienia K). Startujemy od biegunów transmitancji otwartej L(s) i obserwujemy ich tory ruchu, gdy K rośnie od 0 do nieskończoności.

Pozwala to ocenić stabilność (czy bieguny są w lewej półpłaszczyźnie) oraz jakość odpowiedzi czasowej: szybkość reakcji, przeregulowanie, oscylacyjność. Dzięki temu można dobrać parametry regulatora tak, aby bieguny układu zamkniętego znalazły się w pożądanych miejscach na płaszczyźnie s.

Jak krok po kroku zaprojektować regulator metodą miejsca pierwiastkowego?

Typowa procedura projektowania regulatora tą metodą obejmuje kilka kroków:

• zapisanie transmitancji obiektu G(s) jako ilorazu wielomianów,
• przyjęcie struktury regulatora R(s) (P, PD, PI, PID lub człon korekcyjny),
• wyznaczenie transmitancji otwartej L(s) = G(s)R(s) oraz jej biegunów i zer,
• naszkicowanie miejsca pierwiastkowego dla zmiennego K ≥ 0,
• przeliczenie wymagań (czas regulacji, przeregulowanie itd.) na obszar dopuszczalnych biegunów na płaszczyźnie s,
• dobór K (i innych parametrów regulatora), aby miejsce pierwiastkowe przecinało obszar wymagań,
• sprawdzenie uzyskanych parametrów czasowych i ewentualna korekta struktury regulatora.

Taki schemat pozwala systematycznie przejść od wymagań dynamicznych do konkretnych nastaw regulatora.

Jak z wymagań czasowych (Ts, przeregulowanie) wyznaczyć położenie biegunów?

Dla układów z dominującymi biegunami drugiego rzędu używa się związków między parametrami czasowymi a położeniem biegunów s_1,2 = -ζω_n ± jω_n√(1 – ζ²). Czas regulacji do 2% można przybliżyć wzorem Ts ≈ 4/(ζω_n) lub orientacyjnie Ts ≈ 4/|Re(s_d)|, gdzie s_d to biegun dominujący.

Wymagane przeregulowanie przekłada się głównie na tłumienie ζ, a więc na kąt linii stałego ζ na płaszczyźnie s (θ = arccos(ζ)). W praktyce rysuje się prostą pionową Re(s) = -4/Ts,max i linie stałego ζ, a następnie wybiera punkt przecięcia spełniający oba warunki. To położenie traktuje się jako docelowe bieguny przy projektowaniu regulatora.

Jaka jest różnica między regulatorem P, PI, PD i PID w kontekście miejsca pierwiastkowego?

Regulator P (R(s) = K) jedynie skaluje istniejące miejsce pierwiastkowe, nie dodając żadnych nowych biegunów ani zer. Zmiana K przesuwa bieguny wzdłuż już wyznaczonych gałęzi, co daje ograniczone możliwości kształtowania dynamiki.

Regulatory z dodatkowymi członami zmieniają kształt miejsca pierwiastkowego:

• PD: dodaje zero w s = -1/T_d, które może poprawić tłumienie (zmniejszyć przeregulowanie) bez zwiększania rzędu układu,
• PI: dodaje biegun w s = 0 i zero w s = -1/T_i, co usuwa uchyb ustalony na skok, ale podnosi rząd układu,
• PID: łączy zalety PI i PD, wprowadzając dwa zera i dodatkowy biegun (zwykle w 0), co daje najszersze możliwości kształtowania miejsca pierwiastkowego.

Jak z wymagań typu „czas regulacji 2 s, przeregulowanie 10%” skonstruować obszar dopuszczalnych biegunów?

Najpierw przelicza się wymagany czas regulacji Ts,max na minimalną część rzeczywistą biegunów: Re(s) ≤ -4/Ts,max. Dla Ts,max = 2 s otrzymujemy Re(s) ≤ -2, czyli rysujemy na płaszczyźnie s pionową prostą przy -2 i wymagamy, by bieguny leżały na lewo od niej.

Następnie z zadanego przeregulowania określa się wymagane tłumienie ζ, a więc kąt linii stałego ζ wychodzącej z początku układu. Bieguny muszą leżeć na lewo od tej linii. Przecięcie tych obszarów (pionowej prostej i linii stałego ζ) wyznacza region dopuszczalnych biegunów, przez który powinno przechodzić miejsce pierwiastkowe po dobraniu regulatora.

Kiedy sama zmiana wzmocnienia K (regulator P) nie wystarcza i trzeba dodać korekcję?

Jeżeli dla żadnej wartości K miejsce pierwiastkowe nie przecina obszaru spełniającego wszystkie wymagania (czas regulacji, przeregulowanie, ewentualne ograniczenia na częstość drgań), to sam regulator P jest niewystarczający. Typowym objawem jest np. to, że zwiększanie K poprawia szybkość, ale powoduje zbyt duże przeregulowanie i oscylacje.

W takiej sytuacji modyfikuje się strukturę regulatora, dodając zero (PD, korekcja fazy) lub biegun z zerem (PI, PID), aby „przyciągnąć” gałęzie miejsca pierwiastkowego w pożądane rejony płaszczyzny s. Pozwala to jednocześnie spełnić wymogi stabilności, szybkości i jakości przebiegu przejściowego.

Kluczowe obserwacje

• Metoda miejsca pierwiastkowego pozwala projektować regulatory sprzężenia zwrotnego bezpośrednio na płaszczyźnie zespolonej, śledząc ruch biegunów układu zamkniętego w funkcji wybranego parametru, najczęściej wzmocnienia K.
• Kluczowym elementem analizy jest równanie charakterystyczne 1 + G(s)R(s) = 0, którego pierwiastki są biegunami układu zamkniętego i decydują o stabilności oraz jakości odpowiedzi czasowej.
• Miejsce pierwiastkowe opisuje wszystkie możliwe położenia biegunów przy zmianie K ≥ 0; gałęzie startują w biegunach transmitancji otwartej L(s) i kończą się w jej zerach (w tym w zerach w nieskończoności).
• Położenie biegunów na osi rzeczywistej i urojonej bezpośrednio wpływa na dynamikę: bardziej ujemna część rzeczywista oznacza szybszą odpowiedź, a część urojona – większą oscylacyjność.
• Wymagania czasowe (czas regulacji, przeregulowanie, czas narastania, uchyb statyczny) można przełożyć na dopuszczalne obszary na płaszczyźnie s, co pozwala dobrać takie parametry regulatora, aby miejsce pierwiastkowe przechodziło przez te obszary.
• Dla układów z dominującymi biegunami drugiego rzędu parametry ζ i ωn pozwalają w prosty sposób powiązać położenie biegunów z czasem regulacji, narastania i przeregulowaniem, co upraszcza projekt regulatora.

Jeśli spodobał Ci się ten artykuł, sprawdź też:

• 

  Dlaczego sprzężenie zwrotne jest fundamentem teorii…

• 

  Jak działa regulator PID?

• 

  Co to jest regulator PID i gdzie się go stosuje?

• 

  Co to jest sprzężenie zwrotne?

• 

  Podstawowe pojęcia: obiekt, regulator, sprzężenie zwrotne

• 

  Autotuning PID – jak nauczyć maszynę dostrajać się…