Procent składany: zadania z lokat i rabatów z rozpisanym rozwiązaniem

Procent składany – zasada działania na lokatach i rabatach

Czym jest procent składany w praktyce

Procent składany to sposób naliczania odsetek, w którym odsetki z jednego okresu powiększają kapitał na kolejny okres. Dzięki temu w następnym kroku odsetki liczone są już nie tylko od początkowej kwoty, ale także od wcześniej naliczonych odsetek.

W zadaniach z lokat i rabatów procent składany pojawia się bardzo często, tylko czasem jest ukryty w treści. Wystarczy, że:

• odsetki są dopisywane do kapitału co miesiąc, kwartał lub rok,
• rabat naliczany jest kilkukrotnie, np. 20% rabatu, a potem jeszcze 10% rabatu,
• cena lub kwota zmienia się cyklicznie o stały procent.

W każdym z tych przypadków działa dokładnie ta sama zasada: mnożymy przez odpowiedni współczynnik (np. 1,04 dla wzrostu o 4%, 0,9 dla spadku o 10%) tyle razy, ile mamy okresów kapitalizacji lub rabatów.

Podstawowy wzór na procent składany

Najważniejszy wzór, który pojawia się niemal we wszystkich zadaniach o procencie składanym, to:

K_n = K₀ · (1 + r)ⁿ

gdzie:

• K₀ – kapitał początkowy (kwota startowa),
• K_n – kapitał końcowy po n okresach,
• r – stopa procentowa za jeden okres (w postaci ułamka, np. 5% = 0,05),
• n – liczba okresów kapitalizacji.

Jeśli zamiast wzrostu mamy spadek (rabat, obniżkę, inflację zmniejszającą realną wartość), używamy analogicznie:

C_n = C₀ · (1 − p)ⁿ

gdzie p to stopa obniżki (np. 10% = 0,10).

Dlaczego procent składany jest tak „silny”

Przy prostym oprocentowaniu odsetki nalicza się zawsze od tej samej, początkowej kwoty. W procencie składanym każde kolejne naliczenie „widzi” już większy kapitał. To powoduje efekt „kuli śnieżnej”: im dłużej trwa kapitalizacja, tym różnica między procentem prostym a składanym robi się większa.

Ten sam mechanizm działa przy rabatach. Kilka mniejszych rabatów naliczanych po kolei nie jest równoważne jednej dużej obniżce. Składają się one multiplikatywnie, a nie addytywnie. W efekcie 20% + 10% rabatu to nie 30% zniżki, lecz 28% względem ceny wyjściowej.

Kapitalizacja odsetek na lokatach – zadania krok po kroku

Lokata z roczną kapitalizacją – podstawowe zadanie

Łatwy punkt startu to lokata, na której odsetki dopisywane są raz w roku. Wtedy liczba okresów kapitalizacji równa się liczbie lat.

Zadanie 1: Lokata na 3 lata z roczną kapitalizacją

Treść zadania:

Osoba wpłaciła 10 000 zł na lokatę oprocentowaną w skali roku na 5% z roczną kapitalizacją odsetek. Oblicz wartość lokaty po 3 latach.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Odczytanie danych z treści zadania:

   • K₀ = 10 000 zł (kapitał początkowy),
   • r = 5% = 0,05 (oprocentowanie w skali roku),
   • n = 3 (lata = okresy kapitalizacji).

2. Dobór wzoru:

   Odsetki dopisywane są raz w roku, więc stosujemy wzór na procent składany:

   K_n = K₀ · (1 + r)ⁿ

3. Podstawienie danych:

   K₃ = 10 000 · (1 + 0,05)³

   K₃ = 10 000 · 1,05³

4. Obliczenia potęgi:

   1,05² = 1,1025

   1,05³ = 1,1025 · 1,05 = 1,157625

5. Obliczenie wartości lokaty:

   K₃ = 10 000 · 1,157625 = 11 576,25 zł

Odpowiedź: Po 3 latach wartość lokaty wyniesie 11 576,25 zł.

W tego typu zadaniach najczęstszy błąd to policzenie odsetek tylko raz i pomnożenie przez liczbę lat, czyli traktowanie problemu jak procent prosty. Przy oprocentowaniu 5% i 3 latach wyglądałoby to tak:

10 000 · 0,05 = 500 zł odsetek na rok, 500 · 3 = 1500 zł, a więc 11 500 zł. Wynik zbyt mały, bo ignoruje procent składany.

Kilka lat oszczędzania – jak rośnie kapitał

W wielu zadaniach dobrze jest zobaczyć, jak rośnie kapitał rok po roku. To pomaga kontrolować obliczenia i unikać drobnych błędów w potęgowaniu. Tabelka pozwala szybko zauważyć, czy kolejne kwoty rosną w sposób logiczny.

Zadanie 2: Rozpisanie wzrostu rok po roku

Treść zadania:

Na lokatę wpłacono 5 000 zł, oprocentowanie wynosi 4% w skali roku, kapitalizacja roczna. Oblicz wartość lokaty po 5 latach, rozpisując zmiany rok po roku.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Dane:

   • K₀ = 5 000 zł,
   • r = 4% = 0,04,
   • n = 5.

2. Obliczamy kwotę po każdym roku:

Po 5 latach lokata osiągnie wartość około 6 083,26 zł. Wzór skrócony daje identyczny wynik:

K₅ = 5 000 · 1,04⁵ ≈ 6 083,26 zł

Częstsza kapitalizacja odsetek – miesiące, kwartały, dni

Lokata z kapitalizacją miesięczną

Banki często oferują lokaty z kapitalizacją miesięczną. Treść zadania podaje wtedy oprocentowanie w skali roku, ale odsetki dopisywane są co miesiąc. Trzeba więc przeliczyć stopę roczną na miesięczną oraz lata na miesiące.

Jeśli oprocentowanie wynosi R w skali roku, a kapitalizacja jest miesięczna, to stopa miesięczna jest równa:

r_m = R / 12

Liczba okresów kapitalizacji to liczba miesięcy: n = liczba lat · 12.

Zadanie 3: Lokata 2-letnia z kapitalizacją miesięczną

Treść zadania:

Wpłacono 12 000 zł na lokatę oprocentowaną na 6% w skali roku, z kapitalizacją miesięczną. Oblicz wartość lokaty po 2 latach.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Odczytanie danych:

   • K₀ = 12 000 zł,
   • R = 6% = 0,06 (oprocentowanie w skali roku),
   • kapitalizacja miesięczna,
   • czas trwania: 2 lata.

2. Przeliczenie na okresy kapitalizacji:

   • r_m = 0,06 / 12 = 0,005 (0,5% miesięcznie),
   • n = 2 lata · 12 miesięcy = 24 okresy.

3. Wzór na procent składany z kapitalizacją miesięczną:

   K_n = K₀ · (1 + r_m)ⁿ

4. Podstawienie danych:

   K₂₄ = 12 000 · (1 + 0,005)²⁴

   K₂₄ = 12 000 · 1,005²⁴

5. Obliczenie potęgi 1,005²⁴ (np. na kalkulatorze):

   1,005²⁴ ≈ 1,12716

6. Końcowy wynik:

   K₂₄ ≈ 12 000 · 1,12716 ≈ 13 525,92 zł

Odpowiedź: Po 2 latach wartość lokaty wyniesie około 13 525,92 zł.

Widać, że częstsza kapitalizacja (miesięczna) zwiększa zysk względem rocznej, mimo że oprocentowanie w skali roku jest takie samo.

Porównanie kapitalizacji rocznej i miesięcznej

Dla tych samych danych (kapitał początkowy i oprocentowanie roczne) lokata z kapitalizacją miesięczną przynosi nieco wyższy zysk niż z kapitalizacją roczną. Dobrze ilustruje to porównanie liczbowej różnicy.

Zadanie 4: Ten sam procent, różna kapitalizacja

Treść zadania:

Porównaj wartość lokaty 10 000 zł po 3 latach przy oprocentowaniu 6% w skali roku w dwóch wariantach:

• kapitalizacja roczna,
• kapitalizacja miesięczna.

Rozwiązanie:

Wariant A – kapitalizacja roczna

K₀ = 10 000 zł, r = 0,06, n = 3.

K₃ = 10 000 · 1,06³

1,06² = 1,1236, 1,06³ = 1,1236 · 1,06 = 1,191016

K₃ ≈ 10 000 · 1,191016 ≈ 11 910,16 zł

Wariant B – kapitalizacja miesięczna

R = 0,06, r_m = 0,06 / 12 = 0,005, n = 3 lata · 12 = 36.

K₃₆ = 10 000 · 1,005³⁶

1,005³⁶ ≈ 1,23144

K₃₆ ≈ 10 000 · 1,23144 ≈ 12 314,40 zł

Efektywna roczna stopa procentowa (RRSO uproszczone dla lokat)

Im częściej dopisywane są odsetki, tym wyższy faktyczny zysk z lokaty. Do porównywania ofert używa się efektywnej rocznej stopy procentowej, która pokazuje, ile w praktyce „rocznie” zarabia kapitał przy danej kapitalizacji.

Jeżeli nominalna stopa roczna wynosi R, a odsetki są kapitalizowane m razy w roku (np. 12 – miesięcznie, 4 – kwartalnie), to:

r_ef = (1 + R / m)^m − 1

r_ef to efektywna stopa roczna – można ją porównać z innymi lokatami niezależnie od kapitalizacji.

Zadanie 5: Przeliczenie stopy nominalnej na efektywną

Treść zadania:

Lokata ma oprocentowanie nominalne 6% w skali roku. Porównaj efektywną stopę roczną przy kapitalizacji:

• rocznej,
• kwartalnej,
• miesięcznej.

Rozwiązanie:

1. Kapitalizacja roczna (m = 1):

   r_ef = (1 + 0,06 / 1)¹ − 1 = 1,06 − 1 = 0,06 = 6%

   Efektywna stopa roczna przy dopisywaniu raz w roku równa się po prostu nominalnej.

2. Kapitalizacja kwartalna (m = 4):

   r_ef = (1 + 0,06 / 4)⁴ − 1 = (1 + 0,015)⁴ − 1

   (1,015)² ≈ 1,030225

   (1,015)⁴ = (1,015)² · (1,015)² ≈ 1,030225 · 1,030225 ≈ 1,06136

   r_ef ≈ 1,06136 − 1 = 0,06136 = 6,136%

3. Kapitalizacja miesięczna (m = 12):

   r_ef = (1 + 0,06 / 12)¹² − 1 = (1 + 0,005)¹² − 1

   1,005¹² ≈ 1,06168

   r_ef ≈ 1,06168 − 1 = 0,06168 = 6,168%

Różnice w procentach wydają się niewielkie, ale przy dużych kwotach i dłuższym czasie potrafią dać zauważalnie wyższy zysk.

Procent składany przy rabatach – dlaczego dwa razy 10% to nie 20%

Mechanizm procentu składanego pojawia się nie tylko w lokatach. Tak samo działa kilka kolejnych rabatów, a także naprzemienne obniżki i podwyżki ceny.

Jeśli cena najpierw jest obniżana o pewien procent, a potem jeszcze raz o inny procent, to nie można tych procentów po prostu dodać. Każdy kolejny procent liczony jest od nowej, już obniżonej kwoty.

Zadanie 6: Dwa kolejne rabaty na ten sam towar

Treść zadania:

Cena kurtki wynosi 400 zł. Sklep ogłasza promocję: najpierw rabat 15%, a następnie dodatkowe 10% zniżki na już obniżoną cenę. Oblicz:

• cenę po pierwszym rabacie,
• cenę po drugim rabacie,
• łączny procent obniżki względem ceny początkowej.

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Cena początkowa:

   C₀ = 400 zł

2. Pierwszy rabat 15%:

   Cena po rabacie = C₀ · (1 − 0,15) = 400 · 0,85 = 340 zł

3. Drugi rabat 10% na nową cenę:

   Cena po drugim rabacie = 340 · (1 − 0,10) = 340 · 0,90 = 306 zł

4. Łączny procent obniżki:

   Spadek ceny = 400 − 306 = 94 zł

   Udział procentowy spadku:

   94 / 400 = 0,235 = 23,5%

Dwa kolejne rabaty: 15% i 10% dają łącznie tylko 23,5%, a nie 25%. Drugi rabat liczony jest od niższej podstawy, stąd różnica.

Wspólny wzór na kilka rabatów

Jeśli cena początkowa wynosi C₀, a kolejne rabaty mają wielkości:

• p₁ – pierwszy rabat,
• p₂ – drugi rabat,
• …
• p_k – k-ty rabat,

to cenę końcową można zapisać jako:

C_k = C₀ · (1 − p₁) · (1 − p₂) · … · (1 − p_k)

Łączny efekt rabatów jest więc równy mnożeniu kolejnych „mnożników rabatowych”, a nie dodawaniu samych procentów.

Zadanie 7: Trzy różne rabaty na laptop

Treść zadania:

Laptop kosztuje 3 000 zł. Sklep oferuje serię promocji:

1. rabat 10%,
2. dodatkowe 5% rabatu dla stałych klientów,
3. ostatni rabat 3% na produkty przecenione.

Oblicz cenę końcową laptopa, stosując jeden wspólny wzór z mnożnikami.

Rozwiązanie:

1. Dane:

   • C₀ = 3 000 zł,
   • p₁ = 10% = 0,10,
   • p₂ = 5% = 0,05,
   • p₃ = 3% = 0,03.

2. Przekształcamy rabaty na mnożniki:

   • 1 − p₁ = 0,90,
   • 1 − p₂ = 0,95,
   • 1 − p₃ = 0,97.

3. Stosujemy wzór:

   C₃ = 3 000 · 0,90 · 0,95 · 0,97

4. Kolejne obliczenia:

   3 000 · 0,90 = 2 700

   2 700 · 0,95 = 2 565

   2 565 · 0,97 ≈ 2 488,05 zł

Odpowiedź: Cena końcowa laptopa wynosi około 2 488,05 zł.

Łączny efekt wszystkich zniżek można obliczyć także procentowo:

Mnożnik łączny = 0,90 · 0,95 · 0,97 ≈ 0,82935

Oznacza to, że cena została obniżona do około 82,935% ceny początkowej, więc łączna obniżka to:

1 − 0,82935 ≈ 0,17065 = 17,065%

Podwyżka i obniżka – pułapka „wracamy do punktu wyjścia”

Częsty błąd to założenie, że podwyżka o x% i późniejsza obniżka o x% przywraca cenę do stanu wyjściowego. Tak nie jest, bo znów działa procent składany – drugi procent liczony jest od innej podstawy.

Zadanie 8: Najpierw +20%, potem −20%

Treść zadania:

Cena roweru wynosi 2 000 zł. Najpierw została podwyższona o 20%, a po pewnym czasie obniżona o 20%. Oblicz cenę końcową i sprawdź, o ile procent różni się ona od ceny początkowej.

Rozwiązanie:

1. Cena początkowa:

   C₀ = 2 000 zł

2. Podwyżka o 20%:

   C₁ = C₀ · (1 + 0,20) = 2 000 · 1,20 = 2 400 zł

3. Obniżka o 20%:

   C₂ = C₁ · (1 − 0,20) = 2 400 · 0,80 = 1 920 zł

4. Porównanie z ceną początkową:

   Różnica = 2 000 − 1 920 = 80 zł

   Udział procentowy różnicy:

   80 / 2 000 = 0,04 = 4%

Cena końcowa jest o 4% niższa niż początkowa. Z tej samej wartości procentu (20%) raz użytego jako podwyżka, a raz jako obniżka, nie robi się „zero” – efekt nie znosi się.

Zadanie 9: Ile procent podwyżki zrównoważy wcześniejszą obniżkę?

Treść zadania:

Sklep najpierw obniżył cenę telewizora o 15%, a później chce ją podnieść tak, aby wrócić do ceny początkowej. O ile procent trzeba podnieść nową (obniżoną) cenę, aby uzyskać starą cenę?

Rozwiązanie krok po kroku (z równaniem):

1. Oznaczenia:

   • C₀ – cena początkowa,
   • C₁ – cena po obniżce,
   • x – szukana stopa podwyżki (w postaci ułamka dziesiętnego).

2. Obniżka o 15%:

   C₁ = C₀ · (1 − 0,15) = C₀ · 0,85

3. Podwyżka o x:

   Cena po podwyżce = C₁ · (1 + x)

   Ma być równa C₀:

   C₁ · (1 + x) = C₀

4. Podstawiamy C₁ = C₀ · 0,85:

   C₀ · 0,85 · (1 + x) = C₀

   Dzielimy obie strony równania przez C₀ (zakładamy, że C₀ > 0):

   0,85 · (1 + x) = 1

5. Rozwiązujemy równanie:

   1 + x = 1 / 0,85 ≈ 1,17647

   x ≈ 1,17647 − 1 = 0,17647

   x ≈ 17,647% (w zaokrągleniu ≈ 17,65%)

Odpowiedź: Cena po obniżce o 15% musi zostać podwyższona o około 17,65%, aby wrócić do wartości początkowej.

Rabat zamiast odsetek – procent składany „na odwrót”

Zadanie 10: Jaki rabat „zjada” roczne odsetki?

Treść zadania:

Masz 5 000 zł na lokacie rocznej oprocentowanej na 6% w skali roku (procent prosty – odsetki liczone raz na koniec roku). W tym samym czasie planujesz zakup sprzętu RTV za 5 000 zł, ale liczysz na promocję. Sklep po roku proponuje rabat, który procentowo ma dokładnie odpowiadać zysku z lokaty. Jaki rabat powinien zaproponować sklep, żeby cena spadła o tyle, ile zarobiłeś na odsetkach?

Rozwiązanie:

1. Odsetki z lokaty:

   Kapitał początkowy: K₀ = 5 000 zł

   Oprocentowanie: 6% = 0,06 (procent prosty – raz na rok)

   Odsetki po roku:

   I = K₀ · 0,06 = 5 000 · 0,06 = 300 zł

2. O ile procent musi spaść cena 5 000 zł, żeby obniżka wyniosła 300 zł?

   Niech p – szukany rabat w postaci ułamka dziesiętnego.

   Obniżka kwotowa = 5 000 · p = 300

   Rozwiązujemy równanie:

   p = 300 / 5 000 = 0,06 = 6%

Odpowiedź: Rabat 6% na towar za 5 000 zł daje taką samą korzyść (300 zł), jak odsetki 6% od 5 000 zł po roku przy procencie prostym.

Przy jednokrotnym naliczeniu odsetek w roku i pojedynczym rabacie procenty zachowują się symetrycznie: 6% zysku z lokaty odpowiada 6% obniżki ceny.

Zadanie 11: Lokata z procentem składanym a seria rabatów

Treść zadania:

Masz do wyboru:

• trzymać 4 000 zł przez 3 lata na lokacie z rocznym oprocentowaniem 5% z roczną kapitalizacją,
• albo kupić teraz produkt za 4 000 zł, który ma być objęty trzema kolejnymi rabatami: 5%, 5% i 5% (każdy liczony od aktualnej, już obniżonej ceny).

Porównaj procentowy efekt obu opcji.

Rozwiązanie (lokata):

1. Dane lokaty:

   • K₀ = 4 000 zł,
   • r = 5% = 0,05,
   • n = 3 lata, kapitalizacja roczna.

2. Stosujemy wzór na procent składany:

   K_n = K₀ · (1 + r)ⁿ

   K₃ = 4 000 · (1,05)³

3. Obliczenia:

   (1,05)² = 1,1025

   (1,05)³ = 1,1025 · 1,05 ≈ 1,157625

   K₃ ≈ 4 000 · 1,157625 ≈ 4 630,50 zł

4. Łączny wzrost procentowy:

   Mnożnik = 1,157625 → zysk ≈ 15,7625%

Rozwiązanie (rabat):

1. Dane:

   • C₀ = 4 000 zł,
   • trzy razy po 5% rabatu (0,05).

2. Wspólny wzór na kilka rabatów:

   C₃ = C₀ · (1 − 0,05)³ = 4 000 · (0,95)³

3. Obliczenia mnożnika:

   (0,95)² = 0,9025

   (0,95)³ = 0,9025 · 0,95 ≈ 0,857375

   C₃ ≈ 4 000 · 0,857375 ≈ 3 429,50 zł

4. Łączny spadek procentowy:

   Mnożnik = 0,857375 → łączna obniżka ≈ 1 − 0,857375 = 0,142625 ≈ 14,2625%

Wniosek: Trzykrotne „+5%” w lokacie odpowiada ok. 15,76% zysku, natomiast trzykrotne „−5%” w rabatach to ok. 14,26% obniżki. Nominalnie te same „5%” używane wiele razy nie daje symetrycznego efektu – działa procent składany, ale w jednym przypadku wobec wzrostu, a w drugim wobec spadku.

Zadanie 12: Rabat równoważny lokacie z kapitalizacją miesięczną

Treść zadania:

Sklep proponuje dwie opcje zakupu telewizora:

• kupujesz dziś bez rabatu za 4 500 zł i zamiast tego możesz trzymać tę kwotę na koncie oszczędnościowym przez rok, oprocentowanym 4,8% w skali roku z kapitalizacją miesięczną;
• kupujesz za rok, ale z jednym rabatem p% naliczonym raz przy kasie.

Jaki rabat p% da ten sam efekt co roczne oszczędzanie przy 4,8% z kapitalizacją miesięczną?

Rozwiązanie krok po kroku:

1. Dane rachunku oszczędnościowego:

   • K₀ = 4 500 zł,
   • oprocentowanie nominalne roczne R = 4,8% = 0,048,
   • kapitalizacja miesięczna → 12 kapitalizacji w roku.

2. Stopa procentowa na jeden miesiąc:

   r_m = 0,048 / 12 = 0,004 = 0,4%

3. Wartość kapitału po roku (12 miesiącach):

   K₁₂ = K₀ · (1 + r_m)¹² = 4 500 · (1,004)¹²

4. Obliczamy przybliżony mnożnik (1,004)¹²:

   (1,004)² ≈ 1,008016

   (1,004)⁴ ≈ (1,008016)² ≈ 1,0161

   (1,004)⁸ ≈ (1,0161)² ≈ 1,0325

   (1,004)¹² = (1,004)⁸ · (1,004)⁴ ≈ 1,0325 · 1,0161 ≈ 1,0487

   K₁₂ ≈ 4 500 · 1,0487 ≈ 4 719,15 zł

5. Efektywna roczna stopa zwrotu:

   Mnożnik ≈ 1,0487 → efektywne oprocentowanie E ≈ 4,87%

6. Jakim rabatem trzeba obniżyć cenę 4 500 zł, aby „zaoszczędzić” podobną kwotę?

   Chcemy, żeby:

   Rabat procentowy p (w ułamku) ≈ 0,0487 → 4,87%

   Sprawdźmy kwotę obniżki:

   Obniżka = 4 500 · 0,0487 ≈ 219,15 zł

   To zbliżona kwota do zysku z konta oszczędnościowego.

Odpowiedź: Rabat około 4,9% na telewizor za 4 500 zł daje podobny efekt finansowy, jak roczne trzymanie 4 500 zł na koncie z oprocentowaniem 4,8% i kapitalizacją miesięczną.

Przeliczanie rabatu na „oprocentowanie” i odwrotnie

Często wygodnie jest myśleć o rabacie tak, jak o stopie procentowej – z tą różnicą, że działa on w dół. Jeden prosty wzór pozwala swobodnie przechodzić między nimi.

Załóżmy, że:

• C – cena początkowa,
• p – rabat w postaci ułamka dziesiętnego,
• C’ – cena po rabacie.

Mamy wtedy:

C’ = C · (1 − p)

Jeśli chcemy patrzeć na rabat jak na „ujemne oprocentowanie” z procentem składanym, to mnożnik (1 − p) odgrywa taką samą rolę, jak (1 + r) przy lokacie.

Dla k kolejnych rabatów p₁, p₂, …, p_k łączny „mnożnik rabatowy” jest równy:

M_rabat = (1 − p₁) · (1 − p₂) · … · (1 − p_k)

Analogicznie, dla k okresów kapitalizacji przy stałej stopie r:

M_odsetki = (1 + r)^k

Jeżeli chcesz, aby rabaty dawały taki sam efekt jak oprocentowanie z kapitalizacją, wystarczy przyrównać mnożniki:

(1 − p₁) · (1 − p₂) · … · (1 − p_k) = (1 + r)^k

Zadanie 13: Jednorazowy rabat równoważny dwóm latom oszczędzania

Treść zadania:

Planujesz zakup roweru za 3 000 zł. Zastanawiasz się, czy kupić go teraz za gotówkę, czy odłożyć decyzję o 2 lata i w tym czasie trzymać 3 000 zł na lokacie z rocznym oprocentowaniem 7% (kapitalizacja roczna). Po 2 latach sklep deklaruje jednorazowy rabat p%, który ma dać taki sam efekt, jak zysk z lokaty. Oblicz p.

Rozwiązanie:

1. Liczmy mnożnik lokaty:

   r = 7% = 0,07, n = 2

   M_lokata = (1 + 0,07)² = 1,07²

   1,07² = 1,1449

   Po 2 latach:

   3 000 · 1,1449 = 3 434,70 zł

2. Zysk z lokaty:

   Zysk = 3 434,70 − 3 000 = 434,70 zł

   Efektywna stopa za 2 lata:

   1,1449 − 1 = 0,1449 = 14,49%

3. Rabat równoważny tej stopie:

   Chcemy, aby:

   3 000 · p = 434,70

   p = 434,70 / 3 000 ≈ 0,1449 = 14,49%

Odpowiedź: Jednorazowy rabat około 14,5% na rower za 3 000 zł daje podobny efekt jak trzymanie 3 000 zł przez 2 lata na lokacie 7% z roczną kapitalizacją.

Zadanie 14: Dwa różne rabaty zamiast dwuletniej lokaty

Treść zadania:

Telewizor kosztuje 4 000 zł. Sklep planuje dwie akcje promocyjne:

• po roku rabat 8% od ceny aktualnej,
• po dwóch latach kolejny rabat 5% od już obniżonej ceny.

Osoba, która poczeka 2 lata, może też zamiast tego trzymać 4 000 zł na lokacie 6% rocznie z roczną kapitalizacją. Porównaj:

• łączną obniżkę procentową wynikającą z rabatów,
• łączny zysk procentowy z lokaty,
• wskaż, która opcja daje większą korzyść procentowo.

Rozwiązanie (rabat):

Najczęściej zadawane pytania (FAQ)

Na czym polega procent składany w lokatach bankowych?

Procent składany polega na tym, że odsetki dopisywane są do kapitału po każdym okresie kapitalizacji (np. roku, miesiącu, kwartale), a w kolejnym okresie odsetki liczone są już od powiększonej kwoty. Dzięki temu „odsetki pracują na odsetki”, a kapitał rośnie szybciej niż przy procencie prostym.

Wzór ogólny na wartość lokaty przy procencie składanym to:
Kn = K0 · (1 + r)ⁿ, gdzie K0 to kapitał początkowy, r – stopa procentowa za jeden okres, a n – liczba okresów kapitalizacji.

Jaki jest wzór na procent składany i co oznaczają jego parametry?

Podstawowy wzór na procent składany to:
Kn = K0 · (1 + r)ⁿ.

• K0 – kapitał początkowy (kwota startowa, którą wpłacasz),
• Kn – kapitał końcowy po n okresach (np. po n latach),
• r – stopa procentowa za jeden okres kapitalizacji zapisana w postaci ułamka (np. 5% = 0,05),
• n – liczba okresów kapitalizacji (np. lata przy kapitalizacji rocznej lub miesiące przy miesięcznej).

Jak obliczyć procent składany przy kapitalizacji miesięcznej?

Jeśli bank podaje oprocentowanie w skali roku R, a kapitalizacja jest miesięczna, to najpierw przeliczamy stopę roczną na miesięczną: r_m = R / 12. Następnie lata zamieniamy na miesiące: n = liczba lat · 12.

Potem stosujemy ten sam wzór na procent składany: Kn = K0 · (1 + r_m)ⁿ. W praktyce większość obliczeń potęg (np. (1,005)²⁴) wykonuje się na kalkulatorze.

Czym różni się procent prosty od składanego w zadaniach z lokat?

Przy procencie prostym odsetki w każdym okresie liczone są zawsze od tej samej, początkowej kwoty. W efekcie odsetki „narastają liniowo” – co roku tyle samo.

Przy procencie składanym odsetki dopisuje się do kapitału i w następnym okresie są już liczone od większej kwoty. Powoduje to „efekt kuli śnieżnej” – im dłużej trwa lokata, tym większa różnica między procentem prostym a składanym na korzyść procentu składanego.

Jak liczyć kilka rabatów po kolei (np. 20% i potem 10%)?

Kilka rabatów naliczanych kolejno liczymy jak procent składany, używając odpowiednich mnożników. Dla rabatu p za każdy etap stosujemy czynnik (1 − p). Przykład: rabat 20% oznacza mnożnik 0,8, a 10% – 0,9.

Jeśli najpierw jest 20% zniżki, a potem 10%, to całkowity mnożnik wynosi 0,8 · 0,9 = 0,72. To oznacza, że płacimy 72% ceny wyjściowej, czyli całkowita zniżka to 28%, a nie 30%.

Czy 20% + 10% rabatu to zawsze 30% zniżki?

Nie. Kolejne rabaty nigdy nie sumują się wprost procentowo, tylko działają jeden po drugim na coraz niższą cenę. Dlatego 20% + 10% rabatu daje w efekcie 28% zniżki względem ceny początkowej, bo cena jest mnożona przez 0,8, a potem przez 0,9.

Ta sama zasada dotyczy także innych kombinacji rabatów – zawsze przeliczamy każdy rabat osobno, mnożąc przez odpowiedni współczynnik (1 − p), a nie dodając procenty.

Jak rozpoznać w zadaniu, że chodzi o procent składany?

O procencie składanym mówimy zawsze wtedy, gdy:

• odsetki lub zmiana procentowa są naliczane wielokrotnie (co miesiąc, kwartał, rok),
• w treści jest kilka następujących po sobie rabatów lub podwyżek (np. „najpierw cena wzrosła o 4%, potem spadła o 10%”),
• kwota lub cena zmienia się cyklicznie o ten sam procent.

W takich sytuacjach używamy mnożników typu (1 + r) lub (1 − p) podniesionych do odpowiedniej potęgi, zamiast liczyć procent „raz od początku”.

Najważniejsze punkty

• Procent składany polega na tym, że odsetki z każdego okresu są dopisywane do kapitału, więc w kolejnych okresach odsetki liczy się od coraz większej kwoty.
• W zadaniach z lokat i rabatów procent składany pojawia się zawsze, gdy coś zmienia się cyklicznie o stały procent (kapitalizacja miesięczna/roczna, kilka kolejnych rabatów, powtarzalne podwyżki lub obniżki cen).
• Podstawowy wzór na wzrost kapitału przy procencie składanym to: Kn = K0 · (1 + r)ⁿ, gdzie r jest stopą procentową za jeden okres, a n liczbą okresów kapitalizacji.
• Przy spadku wartości (rabat, obniżka) stosuje się analogiczny wzór: Cn = C0 · (1 − p)ⁿ, co pokazuje, że kolejne rabaty mnożą się, a nie dodają – np. 20% i 10% rabatu razem dają 28%, a nie 30%.
• Procent składany daje efekt „kuli śnieżnej”: im więcej okresów kapitalizacji, tym szybciej rośnie różnica między nim a procentem prostym, bo odsetki zaczynają „pracować na siebie”.
• W zadaniach z lokat najczęstszy błąd to liczenie odsetek tylko od początkowego kapitału (procent prosty), zamiast wielokrotnego mnożenia przez odpowiedni współczynnik (1 + r) dla każdego okresu.
• Rozpisywanie kapitału rok po roku (np. w tabeli) pomaga kontrolować obliczenia przy procencie składanym i sprawdzać, czy kolejne kwoty rosną w sposób logiczny.