Odpowiedź impulsowa i skokowa: różnice, zastosowania i typowe pułapki na lekcjach

Wprowadzenie do odpowiedzi impulsowej i skokowej

Odpowiedź impulsowa i odpowiedź skokowa to dwa podstawowe sposoby opisu zachowania układów dynamicznych. Pojawiają się na pierwszych zajęciach z teorii sterowania, sygnałów i systemów oraz automatyki. Od ich poprawnego zrozumienia zależy, czy dalsza nauka transmitancji, stabilności czy regulatorów PID będzie intuicyjna, czy męcząca i pełna nieporozumień.

W praktyce inżynierskiej odpowiedź impulsowa i skokowa są fundamentem:

• modelowania układów (np. silnik DC, piec, serwomechanizm),
• projektowania filtrów i regulatorów,
• analizy stabilności i jakości regulacji,
• symulacji komputerowych w MATLAB/Simulink, Scilab, Python/NumPy itp.

Jednocześnie na zajęciach akademickich i w technikach pojęcia te często są źródłem typowych pułapek: mylenia definicji, niewłaściwego rysowania wykresów, gubienia związków między odpowiedzią impulsową a skokową, czy niezrozumienia, co oznacza „delta Diraca”. Dobrze uporządkowana wiedza w tym obszarze bardzo szybko procentuje – zarówno na kolokwiach, jak i przy pracy nad realnymi układami.

Podstawowe definicje: odpowiedź impulsowa i odpowiedź skokowa

Co to jest odpowiedź impulsowa układu?

Odpowiedź impulsowa to odpowiedź układu liniowego na pobudzenie w postaci impulsu jednostkowego. W zapisie matematycznym sygnał wejściowy to delta Diraca δ(t) dla układów ciągłych lub impuls Kroneckera δ[k] w układach dyskretnych. Odpowiedź na taki sygnał oznacza się zwykle jako h(t) (ciągły czas) lub h[k] (czas dyskretny).

W języku teorii sterowania:

• układ ciągły: wejście u(t) = δ(t), wyjście y(t) = h(t),
• układ dyskretny: wejście u[k] = δ[k], wyjście y[k] = h[k].

Odpowiedź impulsowa ma kluczową właściwość: w pełni opisuje liniowy, niezmienny w czasie układ (LTI). Znając h(t), można obliczyć odpowiedź układu na dowolny sygnał wejściowy poprzez całkowanie splotowe. Z tego powodu h(t) nazywa się czasem „odciskiem palca” układu.

Co to jest odpowiedź skokowa układu?

Odpowiedź skokowa to odpowiedź układu na skok jednostkowy. Wejście ma postać funkcji skokowej Heaviside’a:

• w czasie ciągłym: u(t) = 1(t) (często oznaczana σ(t) lub u₀(t)),
• w czasie dyskretnym: u[k] = 1 dla k ≥ 0, u[k] = 0 dla k < 0.

Wyjście układu na taki sygnał pobudzający oznacza się zwykle jako:

• y(t) = g(t) – odpowiedź skokowa w czasie ciągłym,
• y[k] = g[k] – odpowiedź skokowa w czasie dyskretnym.

W praktyce sterowania technicznego to właśnie odpowiedź skokowa jest najczęściej mierzona na laboratoriach: nagle zmieniasz wartość zadania regulatora, podnosisz napięcie zasilania silnika z 0 do stałej wartości, włączasz nagle dopływ ciepła do pieca – i obserwujesz, co dzieje się z wyjściem układu w czasie.

Różne notacje – jedna treść

W literaturze i na zajęciach występuje wiele oznaczeń:

• h(t), g(t), y_imp(t), y_step(t), k(t), s(t) – w zależności od autora,
• H(s), G(s) – transmitancje w dziedzinie Laplace’a,
• H(z) – transmitancja Z w układach dyskretnych.

Problem na zajęciach pojawia się, gdy prowadzący lub różne podręczniki używają innej symboliki. Trzeba wtedy patrzeć na definicję sygnału wejściowego, a nie na same literki. Jeśli wejście to δ(t) – jest to odpowiedź impulsowa; jeśli 1(t) – odpowiedź skokowa.

Związek między odpowiedzią impulsową a skokową

Całkowanie i różniczkowanie w czasie ciągłym

Kluczowy związek w układach ciągłych brzmi:

• odpowiedź skokowa jest całką z odpowiedzi impulsowej,
• odpowiedź impulsowa jest pochodną odpowiedzi skokowej.

Formalnie:

• g(t) = ∫₀^t h(τ) dτ,
• h(t) = d g(t) / dt (dla t > 0, przy spełnionych warunkach gładkości).

To bezpośrednio wynika z faktu, że sygnał skokowy jest całką z impulsu:

• 1(t) = ∫_-∞^t δ(τ) dτ.

Na lekcjach łatwo zgubić tę relację, gdy patrzy się tylko na gotowe wykresy. Warto samodzielnie przećwiczyć: narysuj prostą odpowiedź impulsową, np. h(t) = e^-t dla t ≥ 0 i policz (nawet „na oko”) całkę – zobaczysz, że odpowiedź skokowa zbliża się monotonnie do jakiejś wartości.

Związek w czasie dyskretnym – suma zamiast całki

W układach dyskretnych (np. w regulatorach cyfrowych) odpowiedź skokowa jest sumą odpowiedzi impulsowej:

• g[k] = Σ_i=0^k h[i],
• h[k] = g[k] − g[k−1] (różnica kolejnych próbek odpowiedzi skokowej).

Tu analogia jest czytelna: całka Riemanna przechodzi w sumę, pochodna – w różnicę. Z długiego ciągu danych pomiarowych odpowiedzi skokowej można więc odtworzyć (z marginesem błędu) odpowiedź impulsową, po prostu odejmując sąsiadujące próbki.

Ta relacja jest użyteczna na ćwiczeniach, gdy:

• masz jedynie dane pomiarowe z odpowiedzi skokowej,
• chcesz uzyskać przybliżoną postać h[k] do identyfikacji modelu lub testowania filtrów cyfrowych.

Związek przez transmitancję Laplace’a

W dziedzinie Laplace’a związek jest bardzo prosty i często szybciej go pamiętać niż definicję czasową:

• H(s) – transmitancja, odpowiedź impulsowa h(t) ↔ H(s),
• G(s) – transmitancja, odpowiedź skokowa g(t) ↔ G(s).

Dla skoku jednostkowego wejście ma transmitancję 1/s, więc:

• G(s) = H(s) · (1/s).

Stąd:

• G(s) = H(s)/s,
• H(s) = s · G(s).

Jest to dokładny odpowiednik relacji czasowej:

• całka w czasie ↔ dzielenie przez s w dziedzinie Laplace’a,
• pochodna w czasie ↔ mnożenie przez s.

Na lekcjach często pojawia się zadanie: „Mając odpowiedź skokową, wyznacz odpowiedź impulsową”. W dziedzinie Laplace’a jest to banalne: transmitancję G(s) pomnóż przez s, a następnie wykonaj transformatę odwrotną. Bez tego związku studenci próbują różniczkować ręcznie skomplikowane funkcje czasowe, co jest żmudne i podatne na błędy rachunkowe.

Przykłady odpowiedzi impulsowej i skokowej dla typowych układów

Układ inercyjny pierwszego rzędu

Najprostszy i najczęściej spotykany model to układ inercyjny pierwszego rzędu o transmitancji:

G(s) = K / (T s + 1)

Zakładając pobudzenie impulsowe:

• H(s) = G(s) = K / (T s + 1),
• h(t) = (K/T) e^−t/T · 1(t).

Dla pobudzenia skokowego:

• G_step(s) = G(s) · (1/s) = K / (s (T s + 1)),
• g(t) = K (1 − e^−t/T) · 1(t).

Widać tu typowy wykres odpowiedzi skokowej znany z zajęć: funkcja wykładnicza zbliżająca się do wartości K. Odpowiedź impulsowa natomiast jest malejącą eksponentą rozpoczynającą od wartości K/T w chwili t = 0⁺.

Układ całkujący

Układ idealnie całkujący ma transmitancję:

G(s) = K / s

Odpowiedź impulsowa:

• H(s) = G(s) = K / s,
• h(t) = K · 1(t) – stała wartość K dla t ≥ 0.

Odpowiedź skokowa:

• G_step(s) = G(s) · (1/s) = K / s²,
• g(t) = K t · 1(t) – funkcja rosnąca liniowo bez ograniczeń.

Na ćwiczeniach często budzi zdziwienie, że odpowiedź impulsowa całki jest stała. Intuicja jest prosta: „wstrzykujesz” układowi skończony impuls energii w nieskończenie krótkim czasie, a układ integrujący zapamiętuje tę wartość na zawsze, stąd stałe przesunięcie wyjścia.

Układ oscylacyjny drugiego rzędu – przypadek niedokryty

Dla układu o transmitancji:

G(s) = ω₀² / (s² + 2 ξ ω₀ s + ω₀²),

przy 0 < ξ < 1 (układ niedokryty) odpowiedź skokowa ma postać drgającą z tłumieniem – typowy wykres „z przeregulowaniem”. Odpowiedź impulsowa z kolei jest oscylacją gasnącą wokół zera, często antysymetryczną względem osi czasu po t = 0.

Zestawienie obu odpowiedzi w tabeli pomaga uporządkować obraz:

Podczas zajęć warto kojarzyć kształt wykresu z typem układu. Przy egzaminach często masz jedynie „gołą” odpowiedź skokową i pytanie o strukturę dynamiczną systemu – znajomość typowych kształtów jest wtedy bezcenna.

Znaczenie odpowiedzi impulsowej w teorii sterowania

Rola odpowiedzi impulsowej w opisie układów LTI

Dla układów liniowych i niezmiennych w czasie (LTI) odpowiedź impulsowa h(t) jest pełnym opisem zachowania systemu. Każdy sygnał wejściowy x(t) można zapisać jako kombinację ważoną przesuniętych impulsów δ(t−τ). Na tej podstawie odpowiedź układu y(t) wyraża się jako splot:

y(t) = ∫_−∞^∞ h(τ) x(t−τ) dτ

lub w wersji „zwartego” zapisu:

y = h * x.

W analogiczny sposób dla układów dyskretnych:

y[k] = Σ_i=−∞^∞ h[i] x[k−i].

Znając odpowiedź impulsową, można w zasadzie zrezygnować z równań różniczkowych i transmitancji, a całą analizę prowadzić poprzez operację splotu lub transformat (Fouriera, Laplace’a, Z). Z tego względu h(t) jest kluczowa w projektowaniu filtrów w przetwarzaniu sygnałów – krój filtra FIR lub IIR wynika bezpośrednio z jego odpowiedzi impulsowej.

Od odpowiedzi impulsowej do transmitancji i dalej

Transformata Laplace’a odpowiedzi impulsowej daje transmitancję układu:

• h(t) ↔ H(s),
• H(s) = L{h(t)}.

Z kolei transmitancja pozwala:

Zastosowanie odpowiedzi impulsowej w projektowaniu i analizie regulatorów

Mając transmitancję H(s), można przejść do szeregu praktycznych kroków inżynierskich. Typowe zastosowania obejmują:

• dobór parametrów regulatora (P, PI, PID) dla zadanego kształtu odpowiedzi czasowej,
• sprawdzanie stabilności i zapasu stabilności na podstawie położenia biegunów H(s),
• kształtowanie dynamiki układu zamkniętego przez modyfikację h(t) – np. skrócenie czasu narastania, ograniczenie przeregulowania,
• analizę wpływu zakłóceń – jak „impuls zakłócenia” (nagła zmiana obciążenia) przechodzi na wyjście.

W praktyce warsztatowej często robi się następujący „łańcuch”:

1. Eksperyment: pobudzenie obiektu skokiem lub impulsem, rejestracja odpowiedzi.
2. Identyfikacja: dopasowanie prostego modelu (np. inercyjny I rzędu, II rzędu) do zarejestrowanego h(t) lub g(t).
3. Wyznaczenie transmitancji G(s), a z niej H(s).
4. Projekt regulatora (np. metodą Zieglera–Nicholsa, Chiena-Hrones-Reswicka czy klasyczną metodą biegun–zero).
5. Weryfikacja: sprawdzenie, czy odpowiedź skokowa układu zamkniętego spełnia wymagania.

Na ćwiczeniach laboratoryjnych typowy scenariusz wygląda tak: badany jest napęd DC czy układ grzewczy, mierzona jest odpowiedź skokowa, na tej podstawie estymowane są parametry K i T. Potem projektuje się PID tak, by nowa odpowiedź skokowa była szybsza, ale bez nadmiernych oscylacji. Cały proces opiera się właśnie na zrozumieniu relacji między impulsową a skokową odpowiedzią oraz transmitancją.

Charakterystyka częstotliwościowa a odpowiedź impulsowa

Transmitancja częstotliwościowa w dziedzinie Fouriera to nic innego jak transformata odpowiedzi impulsowej:

H(jω) = F{h(t)}.

Stąd każdy „kształt” impulsowej odpowiedzi w czasie ma swój odpowiednik w dziedzinie częstotliwości. Ta perspektywa jest kluczowa w przetwarzaniu sygnałów i projektowaniu filtrów:

• krótka odpowiedź impulsowa (filtr FIR niskiego rzędu) – łagodna charakterystyka częstotliwościowa, mało stroma,
• długa odpowiedź impulsowa – ostrzejsze „cięcia” pasm, ale większe opóźnienie grupowe,
• silne oscylacje w h(t) – zafalowania w charakterystyce amplitudowej |H(jω)|.

Dobrze widać to na przykładzie filtrów antyaliasingowych: w teorii idealny filtr dolnoprzepustowy ma prostokątną charakterystykę częstotliwościową, co w dziedzinie czasu oznacza nieskończenie długą i oscylującą odpowiedź impulsową (funkcja sinc). W praktycznych układach trzeba iść na kompromis: przycina się h(t) w czasie, akceptując pewne odchyłki w częstotliwości.

Typowe pułapki na zajęciach związane z odpowiedzią impulsową i skokową

Mylenie impulsu Diraca z krótkim „piksem”

Jedno z najczęstszych źródeł nieporozumień dotyczy samej definicji impulsu. Na rysunkach bywa przedstawiany jako wysoki, bardzo wąski prostokąt, co sprzyja błędnej interpretacji:

• impuls Diraca δ(t) nie ma „wysokości” w klasycznym sensie – jest obiektem uogólnionym (rozkładem),
• ma całkę równą 1, ale nieskończoną wartość w punkcie t = 0,
• impuls prostokątny o małej szerokości Δt i wysokości 1/Δt jedynie przybliża δ(t), gdy Δt → 0.

Na laboratoriach, gdy generuje się bardzo krótki impuls w oscyloskopie lub w Matlabie/Scilabie, jest to zawsze przybliżenie impulsu Diraca, a nie δ(t) w ścisłym znaczeniu. Przy obliczaniu odpowiedzi impulsowej w takim numerycznym eksperymencie pojawiają się wtedy drobne różnice w porównaniu z idealnym modelem.

Nieświadome ustawianie złych warunków początkowych

Odpowiedź impulsowa w definicji klasycznej zakłada zerowe warunki początkowe. W praktyce studenckiej często dzieje się inaczej:

• układ RC lub RLC przed podaniem impulsu jest już naładowany,
• napęd elektryczny startuje z pewną prędkością początkową,
• zbiornik cieczy nie jest pusty, lecz ma pewien poziom startowy.

W takich warunkach rejestrowany sygnał wyjściowy nie jest „czystą” odpowiedzią impulsową. Pojawia się składowa wynikająca z warunków początkowych i mieszanie dwóch efektów: odpowiedzi na δ(t) oraz odpowiedzi swobodnej wynikającej z niezerowych stanów początkowych. Na kolokwiach prowadzący najczęściej przyjmuje idealną sytuację – warunki początkowe = 0 – co zdejmuje tę komplikację, ale w realnych pomiarach trzeba ją zawsze brać pod uwagę.

Błędne utożsamianie odpowiedzi skokowej z odpowiedzią na dowolne wymuszenie stałe

Na tablicy często rysuje się odpowiedź skokową i mówi: „to zachowanie na zmianę wartości zadanej”. Później pojawia się kłopot, gdy wymuszenie jest inne niż idealny skok jednostkowy, np. rampowe (narastanie liniowe) albo schodkowe.

Zależność jest prosta: odpowiedź na skok jednostkowy g(t) jest znana; odpowiedź na skok o amplitudzie A to po prostu A · g(t). Natomiast dla rampy narastającej liniowo r(t) = t · 1(t) trzeba już wykonać splot:

y(t) = (h * r)(t),

co daje funkcję innego kształtu niż zwykła eksponenta. Mechaniczne „przeskalowanie” odpowiedzi skokowej w takiej sytuacji prowadzi do poważnych błędów na ćwiczeniach.

Nieuwzględnianie opóźnienia czasowego w odpowiedziach

W rzeczywistych obiektach występuje często czyste opóźnienie czasowe T_d. Transmitancja przyjmuje wtedy postać:

G(s) = G₀(s) e^{−T_d s}.

W dziedzinie czasu zarówno odpowiedź impulsowa, jak i skokowa są po prostu przesunięte w prawo:

• h(t) = 0 dla t < T_d, a dla t ≥ T_d h(t) = h₀(t − T_d),
• g(t) = 0 dla t < T_d, a dla t ≥ T_d g(t) = g₀(t − T_d).

Na kolokwiach często pojawia się wykres odpowiedzi skokowej z wyraźnym „martwym czasem” przed początkiem reakcji. Brak rozpoznania takiego przesunięcia skutkuje błędnym odczytem parametrów (np. przy metodzie Strejca czy Ziegler–Nicholsa), ponieważ student dopasowuje model bez opóźnienia do danych wyraźnie go zawierających.

Mylenie dyskretnej odpowiedzi impulsowej z „sampled impulse response”

W układach dyskretnych impuls jednostkowy e[0] = 1, e[k] = 0 dla k ≠ 0 jest matematycznym odpowiednikiem δ(t). Jednak w praktyce cyfrowej często bada się odpowiedź rzeczywistego, analogowego obiektu, próbkując wynik. Łatwo wtedy pomylić dwie różne rzeczy:

• idealną odpowiedź impulsową systemu dyskretnego h[k],
• próbki ciągłej odpowiedzi impulsowej obiektu h(t), pomierzone z określonym okresem próbkowania T_s.

Jeżeli dodatkowo w torze pomiarowym jest filtr antyaliasingowy albo przetwornik typu zero-order hold, otrzymywana sekwencja h[k] odzwierciedla nie tylko dynamikę samego obiektu, ale także dynamikę urządzeń pośredniczących. W zadaniach egzaminacyjnych problem ten zwykle się pomija (zakłada się idealne próbkowanie), ale w praktyce inżynierskiej nie da się go ignorować.

Jak samodzielnie ćwiczyć odpowiedź impulsową i skokową

Analiza prostych układów w środowiskach symulacyjnych

Do utrwalenia intuicji dobrze jest przeprowadzać krótkie ćwiczenia symulacyjne. W dowolnym środowisku (Matlab, Octave, Python/Scipy, Scilab) można szybko sprawdzić:

• jak zmiana stałej czasowej T wpływa na kształt h(t) i g(t),
• jak pojawienie się członu różniczkującego (D) modyfikuje początkowy kształt odpowiedzi skokowej,
• jak dodanie biegunów i zer zmienia oscylacyjność odpowiedzi.

Prosty plan ćwiczeń:

1. Weź układ inercyjny I rzędu i zmieniaj T w szerokim zakresie, obserwując czas dochodzenia g(t) do K.
2. Dodaj człon całkujący i sprawdź, jak zmienia się odpowiedź skokowa – kiedy zaczyna „uciekać” bez ograniczeń.
3. Zbuduj układ II rzędu i reguluj współczynnik tłumienia ξ – od krytycznego przez lekko niedokryty po silnie oscylacyjny.
4. Na koniec włącz opóźnienie czasowe i porównaj dwie odpowiedzi skokowe: z i bez e^{−T_d s}.

Kilka takich sesji z symulatorem daje znacznie więcej niż bierne oglądanie gotowych wzorów – oczy zaczynają „rozpoznawać” typ odpowiedzi po jednym rzucie oka na wykres.

Ręczne przechodzenie między h(t), g(t) i H(s)

Na zajęciach rachunkowych kluczowa jest płynność w trzech przejściach:

• h(t) → H(s) – transformata Laplace’a,
• H(s) → g(t) – dzielenie przez s i transformata odwrotna,
• g(t) → h(t) – różniczkowanie w dziedzinie czasu lub mnożenie przez s w dziedzinie Laplace’a.

Dobrym treningiem jest wziąć kilka prostych funkcji czasowych, np.:

• h(t) = e^−t 1(t),
• h(t) = (sin t) 1(t),
• h(t) = t e^−t 1(t),

i dla każdej wykonać pełny „trójskok”: wyznaczyć H(s), następnie g(t), a na końcu z g(t) ponownie odtworzyć h(t). Błędy w rachunku widać natychmiast, gdy ostatni krok nie zwróci funkcji wyjściowej.

Identyfikacja prostego modelu z odpowiedzi skokowej

Wiele zadań laboratoryjnych i egzaminacyjnych sprowadza się do spojrzenia na odpowiedź skokową i dopasowania modelu:

• inercyjny I rzędu (czas dochodzenia, punkt przegięcia),
• inercyjny II rzędu (przeregulowanie, czas tłumienia oscylacji),
• z opóźnieniem (martwy czas przed początkiem reakcji).

Przykładowa procedura dla układu inercyjnego I rzędu bez opóźnienia:

1. Na wykresie odpowiedzi skokowej odczytaj wartość stanu ustalonego K.
2. Wyznacz czas t_63%, w którym g(t) osiąga 0,63 K – jest to przybliżona stała czasowa T.
3. Sformułuj model: G(s) ≈ K / (T s + 1).
4. Wyprowadzając z G(s) odpowiedź impulsową, sprawdź, czy h(t) ≈ (K/T) e^−t/T pasuje do kształtu rzeczywistej odpowiedzi.

Takie ręczne szacowanie parametrów jest później punktem startowym dla bardziej rozbudowanych metod numerycznych (najmniejszych kwadratów, optymalizacji nieliniowej), ale na poziomie ćwiczeń w zupełności wystarcza.

Różnice w interpretacji odpowiedzi impulsowej i skokowej w praktyce

Perspektywa projektanta filtrów i systemów cyfrowych

W cyfrowym przetwarzaniu sygnałów odpowiedź impulsowa jest często głównym „językiem opisu” filtra. Projektując filtr FIR, bezpośrednio wyznacza się sekwencję h[k], a odpowiedź skokowa jest wtedy jedynie funkcją pomocniczą, wykorzystywaną np. do oceny efektów przejściowych.

Kilka typowych obserwacji:

• filtr o krótkiej odpowiedzi impulsowej szybciej „zapomina” o nagłych zmianach – ma krótki okres przejściowy w odpowiedzi skokowej,
• filtry z nieskończoną odpowiedzią impulsową (IIR) mogą mieć długi „ogon” odpowiedzi skokowej, co bywa problemem w aplikacjach czasu rzeczywistego,
• odpowiedź skokowa jest przydatna do oceny efektu „dzwonienia” (ringing) – niepożądanych oscylacji po nasileniu lub odcięciu sygnału.

Jeśli więc tematem ćwiczeń są filtry cyfrowe, najczęściej punkt wyjścia stanowi h[k]; g[k] używa się bardziej do intuicyjnego „podglądu”, jak filtr zareaguje na nagłe pojawienie się sygnału.

Perspektywa automatyka i konstruktora układów regulacji

Przy projektowaniu regulatorów odpowiedź skokowa jest zwykle pierwszym narzędziem diagnostycznym. Łatwo z niej odczytać, czy układ jest „zbyt leniwy”, czy zbyt agresywny, czy grozi mu niestabilność. Odpowiedź impulsowa pojawia się w tle – poprzez analizę H(s), kryteria stabilności czy badanie zapasu fazy i amplitudy.

Typowe wnioski z kształtu odpowiedzi skokowej układu regulacji:

• duże przeregulowanie i oscylacje – zbyt „mocne” wzmocnienie P lub za małe tłumienie dynamiki obiektu,
• bardzo powolne narastanie i brak przeregulowania – układ stabilny, ale mało dynamiczny,
• narastanie z wyraźną „łamanością” (dwa wyraźne etapy) – efekt dodatkowych biegunów lub opóźnień w pętli.

Projektant, który zna h(t), może od razu ocenić, czy regulator wprowadza niepożądane szybkozmienne składowe (np. mocne „szarpnięcia” sygnału sterującego przez silną część D). Wtedy prosta modyfikacja postaci regulatora albo wprowadzenie filtru na sygnale pochodnej zmienia zarówno h(t), jak i kształt odpowiedzi skokowej.

Przykład z praktyki: przy uruchamianiu układu regulacji temperatury pieca inżynier zwykle najpierw podaje niewielki skok zadanej temperatury i obserwuje g(t). Jeśli krzywa wygląda jak wolna eksponenta bez oscylacji – system jest najczęściej stabilny i „bezpieczny”. Dopiero później przechodzi do analizy częstotliwościowej i dokładniejszej oceny H(s).

Perspektywa elektronika analogowego

W torach analogowych (wzmacniacze operacyjne, filtry RLC, wzmacniacze mocy) prostokątny sygnał testowy i impuls są podstawą oceny jakości układu. Prostokąt daje odpowiedź zbliżoną do skokowej, a krótki impuls prądowy lub napięciowy – do impulsowej.

Elektronika praktyczna patrzy na:

• czas narastania i opadania odpowiedzi skokowej na prostokąt,
• przeregulowanie i „dzwonienie” po zboczu,
• wielkość i czas trwania odpowiedzi na nagły impuls (np. ESD, zakłócenie przełączania).

Odpowiedź skokowa układu z szerokim pasmem jest stroma, o krótkim czasie narastania, ale w zamian może pojawić się większe przeregulowanie. Gdy konstruktor dusi pasmo (ogranicza szerokopasmowe wzmocnienie), krzywa g(t) łagodnieje, kosztem wolniejszej reakcji. W tle stoi proste powiązanie: pasmo częstotliwościowe H(jω) i czasowy kształt h(t) oraz g(t) są ze sobą nierozerwalnie związane.

Ćwiczenia „na papierze”, które ułatwiają kolokwia

Szkicowanie odpowiedzi bez pełnych rachunków

Na sprawdzianach rzadko jest czas na dokładne liczenie transformat odwrotnych dla złożonych H(s). Liczy się umiejętność szybkiego szkicowania przybliżonej postaci odpowiedzi na podstawie:

• położenia biegunów i zer,
• obecności członów całkujących i różniczkujących,
• obecności opóźnień czasowych.

Przykładowe zadanie treningowe, które można rozwiązywać bez kalkulatora:

1. Podany jest układ o transmitancji: G(s) = 5 / ((s + 1)(s + 5)).
2. Zaznacz na osi rzeczywistej płaszczyzny s położenie biegunów (−1 i −5).
3. Wnioskuj jakościowo: dwa rzeczywiste bieguny → odpowiedź skokowa to suma dwóch eksponent malejących o różnych stałych czasowych.
4. Naszkicuj g(t) o początkowym nachyleniu zależnym od współczynnika przy 1/s² po rozkładzie na ułamki proste – nawet przybliżonym.

Celem nie jest idealny wykres, tylko poprawne rozpoznanie: brak oscylacji, monotoniczne narastanie, szybka składowa „doganiająca” wolniejszą. Taki „papierowy” szkic ułatwia późniejsze sprawdzenie rachunków – jeśli wynikowa funkcja wygląda inaczej niż wcześniej naszkicowany kształt, gdzieś pojawił się błąd.

Rozpoznawanie typów układów na podstawie kształtu g(t)

Na kolokwiach często podaje się kilka wykresów odpowiedzi skokowych i prosi o dopasowanie do podanych transmitancji. Tu przydaje się prosta, uporządkowana procedura:

1. Sprawdź, czy odpowiedź dochodzi do stanu ustalonego, czy rośnie bez ograniczeń.
   • jeśli brak stanu ustalonego – w układzie musi być co najmniej jeden człon całkujący,
   • jeśli stan ustalony istnieje – suma biegunów w = 0 nie może mieć rzędu wyższego niż 0.
2. Sprawdź, czy g(t) jest monotoniczna.
   • monotoniczna → układ prawdopodobnie bez pary sprzężonych biegunów zespolonych,
   • oscylacyjna → w H(s) występuje zespół sprzężonych biegunów.
3. Sprawdź, czy występuje przeregulowanie.
   • brak przeregulowania → tłumienie duże lub układ efektywnie I rzędu,
   • wyraźne przeregulowanie → ξ < 1, wiązka oscylacji.

Na tej podstawie można szybko odrzucić niepasujące transmitancje i zawęzić wybór do jednej–dwóch. Zamiast zapamiętywać kilkanaście formuł, wystarczy rozumieć, jak ogólny kształt g(t) wynika z lokalizacji biegunów.

Łączenie odpowiedzi impulsowych w układach kaskadowych i równoległych

W zadaniach poświęconych strukturze układów pojawiają się połączenia szeregowe i równoległe bloków. Na poziomie odpowiedzi impulsowej kluczowe są dwie reguły:

• kaskada (połączenie szeregowe) → H_całk(s) = H₁(s) H₂(s), a w dziedzinie czasu h_całk(t) = (h₁ * h₂)(t),
• połączenie równoległe → H_całk(s) = H₁(s) + H₂(s), a h_całk(t) = h₁(t) + h₂(t).

Przykład: dwustopniowy filtr RC w kaskadzie. Każdy stopień ma h_i(t) = (1/RC) e^−t/RC 1(t). Odpowiedź impulsowa całego układu to splot dwóch eksponent, czyli funkcja typu (t/RC²) e^−t/RC 1(t). Odpowiedź skokowa nie będzie więc zwykłą eksponentą – nabiera „zaokrąglonego” startu i zmienionego punktu przegięcia.

Rozumienie tych zależności pozwala rozwiązywać zadania konstrukcyjne: np. dobrać parametry dwóch filtrów tak, aby wspólna odpowiedź skokowa miała zadany czas narastania i ograniczone przeregulowanie.

Typowe zadania egzaminacyjne i jak do nich podchodzić

Zadania z obliczania g(t) z H(s) dla prostych transmitancji

Najczęściej pojawia się przekazanie: „Dany jest układ o transmitancji H(s) = … Oblicz odpowiedź skokową g(t) na skok jednostkowy.” Schemat postępowania jest prosty, ale wiele osób miesza kroki, szczególnie dzielenie przez s:

1. Ustal G(s) = H(s)/s (bo skok jednostkowy ma transformatę 1/s).
2. Rozłóż G(s) na ułamki proste (jeśli to konieczne).
3. Wykonaj transformację odwrotną Laplace’a, korzystając z tablic lub znanych wzorów.
4. Dopisz funkcję jedności 1(t), jeśli zadanie dotyczy układu przy założeniu liniowości i niezmienniczości w czasie.

W praktyce największy problem sprawia drugi krok – szczególnie przy biegunach wielokrotnych. Dobrym nawykiem jest krótkie sprawdzenie wyniku: czy g(t) przy t → ∞ dąży do spodziewanego wzmocnienia statycznego K? Jeśli nie – w rozkładzie na ułamki lub znakach coś poszło nie tak.

Zadania odwrotne: wyznaczanie H(s) z podanej h(t) lub g(t)

Inny typ zadań to: „Podana jest odpowiedź impulsowa/skokowa. Wyznacz transmitancję H(s)”. Tu znowu pojawia się schemat, który warto mieć „w ręce”:

• dla h(t) – H(s) = L{h(t)},
• dla g(t) – H(s) = s · L{g(t)}.

Przykładowo, jeśli:

g(t) = (1 − e^−2t) 1(t),

to:

1. L{g(t)} = 1/s − 1/(s + 2),
2. H(s) = s · (1/s − 1/(s + 2)) = 1 − s/(s + 2) = 2/(s + 2).

Szybki test: dla skoku jednostkowego stan ustalony wynosi K = lim_t→∞ g(t) = 1, a z H(s) statyczne wzmocnienie to K = H(0) = 2/2 = 1 – zgodność jest zachowana.

Łączenie odpowiedzi dla złożonych wymuszeń

Często pojawia się wymuszenie będące sumą kilku prostych sygnałów: skoku, rampy, impulsu lub prostokąta. Z punktu widzenia teorii LTI wszystko sprowadza się do superpozycji:

y(t) = (h * u₁)(t) + (h * u₂)(t) + … ,

ale na kolokwium nie ma czasu na pełny rachunek całkowy. Pomocne są gotowe zależności:

• znając g(t) – odpowiedź na skok – odpowiedź na prostokąt o czasie trwania T prostą sumą dwóch przesuniętych skoków: 1(t) − 1(t − T),
• odpowiedź na rampę można otrzymać przez całkowanie odpowiedzi impulsowej: y(t) = ∫₀^t g(τ) dτ (dla układów bez członu całkującego).

Przykładowe zadanie: oblicz przybliżoną wartość przeregulowania odpowiedzi na prostokąt, znając przeregulowanie odpowiedzi skokowej. Tu wystarcza zrozumienie, że prostokąt to „włączenie” i po chwili „wyłączenie” skoku, więc kształt przebiegu wyjściowego zestawia się z dwóch kopii g(t), jednej dodatniej, drugiej przesuniętej i odejmowanej.

Dalsze kierunki nauki i typowe rozszerzenia tematu

Powiązanie z odpowiedzią częstotliwościową

Odpowiedź impulsowa i skokowa są bezpośrednio związane z odpowiedzią częstotliwościową H(jω). Transformata Fouriera h(t) (przy odpowiednich warunkach zbieżności) jest odpowiedzią częstotliwościową. Kto dobrze rozumie h(t), temu łatwiej „czyta się” wykresy Bodego, Nyquista czy charakterystyki amplitudowo-fazowe.

Kilka prostych obserwacji:

• krótka h(t) → szerokie pasmo częstotliwościowe,
• długi „ogon” h(t) → wąskopasmowy filtr lub układ o dużej pamięci,
• oscylacje w h(t) lub g(t) → wyraźne maksimum w charakterystyce amplitudowej (rezonans).

W praktyce oznacza to, że patrząc na odpowiedź skokową z lekkim dzwonieniem, można od razu podejrzewać „podbicie” we fragmencie pasma. Projektując filtr dolnoprzepustowy dla wzmacniacza audio, konstruktor często obserwuje reakcję na skok i na tej podstawie dobiera tłumienie rezonansu wysokoczęstotliwościowego.

Odpowiedzi w układach nieliniowych

Cały opis oparty na h(t), g(t) i H(s) działa w pełni tylko dla układów liniowych i niezmienniczych w czasie. W praktycznych układach sterowania czy elektroniki nieliniowości (nasycenie, ograniczenia, martwe strefy) są wszędzie. Odpowiedź skokowa takiego obiektu:

• zależy od amplitudy skoku,
• nie daje się łatwo opisać jednym H(s),
• bywa asymetryczna przy dodatnim i ujemnym skoku.

W takich sytuacjach korzysta się z lokalnych modeli liniowych: dla małych sygnałów wokół punktu pracy przybliża się układ elementem LTI, dla którego istnieje h(t), g(t) i H(s). Analiza przebiegu czasowego na różnych poziomach wymuszeń pozwala ocenić zakres, w którym liniowy model jest wiarygodny.

Najczęściej zadawane pytania (FAQ)

Jaka jest różnica między odpowiedzią impulsową a skokową układu?

Odpowiedź impulsowa to reakcja układu na idealny impuls jednostkowy δ(t) (lub δ[k] w czasie dyskretnym). Odpowiedź skokowa to reakcja na skok jednostkowy 1(t) (lub stałe wejście 1 dla k ≥ 0 w układzie dyskretnym).

W praktyce: odpowiedź impulsowa opisuje, jak układ reaguje na „bardzo krótki, ale skończony zastrzyk” sygnału, a odpowiedź skokowa – jak zachowuje się po nagłej, trwałej zmianie wejścia z 0 na stałą wartość.

Jak obliczyć odpowiedź skokową z odpowiedzi impulsowej?

W układach ciągłych odpowiedź skokową g(t) otrzymuje się jako całkę z odpowiedzi impulsowej h(t):

• g(t) = ∫₀^t h(τ) dτ

W układach dyskretnych zamiast całki występuje suma:

• g[k] = Σ_i=0^k h[i]

Intuicyjnie: skok jednostkowy można traktować jako „nagromadzenie” impulsów, dlatego odpowiedź skokowa jest sumą (lub całką) odpowiedzi impulsowej.

Jak wyznaczyć odpowiedź impulsową z odpowiedzi skokowej?

W czasie ciągłym odpowiedź impulsową h(t) otrzymujemy jako pochodną odpowiedzi skokowej g(t):

• h(t) = d g(t) / dt (dla t > 0 i przy odpowiedniej gładkości funkcji)

W czasie dyskretnym używamy różnicy kolejnych próbek:

• h[k] = g[k] − g[k−1]

W dziedzinie Laplace’a relacja jest jeszcze prostsza: jeśli G(s) to transmitancja odpowiadająca odpowiedzi skokowej, to H(s) = s · G(s) odpowiada odpowiedzi impulsowej.

Dlaczego odpowiedź impulsowa „w pełni opisuje” układ LTI?

Dla liniowych, niezmiennych w czasie układów (LTI) każde wyjście można zapisać jako splot wejścia z odpowiedzią impulsową. Oznacza to, że znając h(t) (lub h[k]), można obliczyć reakcję układu na dowolny sygnał wejściowy.

Matematycznie: y(t) = ∫ x(τ) h(t−τ) dτ w czasie ciągłym lub y[k] = Σ x[i] h[k−i] w czasie dyskretnym. Dlatego h(t) bywa nazywana „odciskiem palca” układu – zawiera pełną informację o jego dynamice.

Jaki jest związek między H(s) a G(s) w dziedzinie Laplace’a?

H(s) to transmitancja związana z odpowiedzią impulsową, a G(s) – z odpowiedzią skokową tego samego układu. Dla skoku jednostkowego wejście ma transmitancję 1/s, więc:

• G(s) = H(s) · (1/s) = H(s) / s
• H(s) = s · G(s)

Operacje te są odpowiednikami całkowania i różniczkowania w czasie: dzielenie przez s oznacza całkowanie, a mnożenie przez s – różniczkowanie.

Dlaczego odpowiedź impulsowa całkownika jest stała, a odpowiedź skokowa rośnie?

Dla idealnego całkownika G(s) = K / s. Odpowiedź impulsowa ma postać h(t) = K · 1(t), czyli stała wartość K od chwili t = 0. Wynika to z faktu, że całkownik „zapamiętuje” skończony obszar pod impulsem i utrzymuje tę wartość w czasie.

Odpowiedź skokowa całkownika to g(t) = K t · 1(t), więc rośnie liniowo bez ograniczeń. Stałe pobudzenie (skok) jest cały czas całkowane, dlatego wyjście nie osiąga stanu ustalonego, tylko wciąż narasta.

Którą odpowiedź mierzy się częściej w praktyce: impulsową czy skokową?

W praktyce laboratoryjnej i przemysłowej znacznie częściej mierzy się odpowiedź skokową. Łatwo jest zadać nagłą zmianę wartości wejścia (np. napięcia, temperatury zadanej, prędkości obrotowej) i obserwować reakcję układu.

Idealny impuls jednostkowy (δ(t)) jest sygnałem abstrakcyjnym – w realnych układach trudno go zrealizować. Odpowiedź impulsową uzyskuje się zwykle pośrednio, np. różniczkując (lub stosując różnice) zmierzoną odpowiedź skokową albo korzystając z dopasowanego modelu matematycznego.

Najważniejsze punkty

• Odpowiedź impulsowa h(t) (lub h[k]) to reakcja układu liniowego na impuls jednostkowy δ(t)/δ[k] i w pełni opisuje układ LTI, pozwalając wyznaczyć jego odpowiedź na dowolny sygnał przez splot.
• Odpowiedź skokowa g(t) (lub g[k]) to reakcja układu na skok jednostkowy 1(t) i jest najczęściej mierzona w praktyce (zmiana zadania regulatora, napięcia silnika, mocy grzania itp.).
• W czasie ciągłym odpowiedź skokowa jest całką z odpowiedzi impulsowej, a impulsowa jest pochodną skokowej: g(t) = ∫₀ᵗ h(τ)dτ, h(t) = dg(t)/dt (dla t > 0).
• W czasie dyskretnym odpowiedź skokowa jest sumą odpowiedzi impulsowej, a impulsowa różnicą kolejnych próbek skokowej: g[k] = Σᵢ₌₀ᵏ h[i], h[k] = g[k] − g[k−1].
• Różne oznaczenia (h, g, yimp, ystep itp.) opisują te same pojęcia; o tym, czy chodzi o odpowiedź impulsową czy skokową, decyduje definicja sygnału wejściowego (δ vs 1), a nie użyta literka.
• W dziedzinie Laplace’a związek między odpowiedzią impulsową a skokową ma prostą postać: G(s) = H(s)/s oraz H(s) = s·G(s), co odzwierciedla zależność całka ↔ dzielenie przez s i pochodna ↔ mnożenie przez s.

Jeśli spodobał Ci się ten artykuł, sprawdź też:

• 

  Co to jest regulator PID i gdzie się go stosuje?

• 

  Jak działa regulator PID?

• 

  Dlaczego teoria sterowania to matematyka przyszłości?

• 

  Autotuning PID – jak nauczyć maszynę dostrajać się…

• 

  Najważniejsze twierdzenia w teorii sterowania

• 

  Teoria sterowania w sztucznej inteligencji