Zamiana modelu na transmitancję: przykłady dla obiektu inercyjnego i oscylacyjnego

Dlaczego w ogóle zamienia się model na transmitancję?

Model obiektu można opisać na wiele sposobów: równaniami różniczkowymi, równaniami stanu, modelem dyskretnym, czy właśnie transmitancją. W praktyce automatyki i teorii sterowania transmitancja jest jednym z najwygodniejszych narzędzi analizy układów liniowych, ponieważ pozwala na szybkie badanie odpowiedzi na wymuszenia, stabilności oraz projektowanie regulatorów w dziedzinie Laplace’a.

Dla inżyniera ważna jest zamiana modelu na transmitancję w obie strony: z równań fizycznych na postać transmitancyjną oraz odwrotnie, z transmitancji na równania różniczkowe lub parametry obiektu. Dzięki temu można:

• łączyć opis fizyczny (np. masa–sprężyna–tłumik) z opisem „sterowniczym” (G(s)),
• dobierać struktury regulatorów PID na podstawie parametrów transmitancji obiektu,
• symulować układy w narzędziach typu MATLAB, Scilab, Octave, gdzie operuje się głównie na transmitancjach i modelach stanu,
• sprawdzać wpływ stałych czasowych i współczynników tłumienia na kształt odpowiedzi skokowej.

W centrum uwagi znajdują się tu dwa typowe modele: obiekt inercyjny</strong (bezinercyjny jest jedynie idealizacją) i obiekt oscylacyjny. Są to najczęściej używane „klocki” w modelowaniu rzeczywistych procesów przemysłowych, napędów czy układów mechatronicznych.

Podstawy: transmitancja, transformata Laplace’a i równania różniczkowe

Pojęcie transmitancji w teorii sterowania

Transmitancja to relacja między sygnałem wyjściowym a wejściowym w dziedzinie Laplace’a. Dla układu liniowego, niezmiennego w czasie (LTI) przy zerowych warunkach początkowych definiuje się ją jako:

G(s) = Y(s) / U(s)

gdzie:

• U(s) – transformata Laplace’a sygnału wejściowego u(t),
• Y(s) – transformata Laplace’a sygnału wyjściowego y(t),
• s – zmienna zespolona transformaty Laplace’a (s = σ + jω).

Transmitancja opisuje więc „jak” układ przekształca sygnał wejściowy w wyjściowy w ujęciu częstotliwościowo-czasowym. Dla układów o skończonej liczbie stanów G(s) jest najczęściej wielomianową funkcją wymierną postaci:

G(s) = (b_ms^m + … + b₁s + b₀) / (a_nsⁿ + … + a₁s + a₀)

Transformata Laplace’a jako narzędzie zamiany modelu

Aby przejść z równań różniczkowych do transmitancji, korzysta się z transformaty Laplace’a. Kluczowa własność pozwalająca przełożyć pochodne na wielomiany w s to:

• L{dy/dt} = sY(s) − y(0),
• L{d²y/dt²} = s²Y(s) − s y(0) − (dy/dt)(0),
• ogólnie: L{dⁿy/dtⁿ} = sⁿY(s) − … (składowe od warunków początkowych).

Przy definicji transmitancji przyjmuje się, że warunki początkowe są zerowe (y(0) = 0, dy/dt(0) = 0 itd.). Jest to istotne, bo dzięki temu równania w dziedzinie Laplace’a stają się prostym równaniem algebraicznym w Y(s) i U(s), z którego można uzyskać G(s).

Przykładowo, równanie różniczkowe pierwszego rzędu:

T dy/dt + y = K u

po przetransformowaniu (przy y(0) = 0) daje:

T s Y(s) + Y(s) = K U(s)

czyli

Y(s) (Ts + 1) = K U(s) ⇒ G(s) = Y(s)/U(s) = K / (T s + 1)

Standardowe postacie równań i ich odpowiedniki transmitancyjne

Aby szybciej zamieniać model na transmitancję, dobrze jest zapamiętać kilka standardowych postaci:

• Równanie pierwszego rzędu (obiekt inercyjny I rzędu):
  • T dy/dt + y = K u ⇔ G(s) = K / (T s + 1)
• Równanie drugiego rzędu (obiekt oscylacyjny):
  • T² d²y/dt² + 2 ξ T dy/dt + y = K u
  • ⇒ G(s) = K / (T²s² + 2 ξ T s + 1)
• Ogólny liniowy układ n-tego rzędu:
  • a_n dⁿy/dtⁿ + … + a₁ dy/dt + a₀ y = b_m d^mu/dt^m + … + b₀ u
  • ⇒ G(s) = (b_ms^m + … + b₀) / (a_nsⁿ + … + a₀)

Znając te postacie, łatwo rozpoznać typ obiektu oraz jego parametry (wzmocnienie K, stałą czasową T, współczynnik tłumienia ξ), co wprost przekłada się na sposób projektowania regulatora.

Obiekt inercyjny pierwszego rzędu – od równania fizycznego do transmitancji

Model ogólny obiektu inercyjnego I rzędu

Obiekt inercyjny pierwszego rzędu, często nazywany też „opóźniającym”, opisuje ogromną liczbę procesów: nagrzewanie zbiornika, ładowanie kondensatora, reakcje chemiczne pierwszego rzędu, a nawet opóźnienia przepływów masowych przy dominującej jednej stałej czasowej. Typowa postać równania różniczkowego to:

T dy/dt + y = K u

gdzie:

• T – stała czasowa obiektu [s],
• K – wzmocnienie statyczne (przyrost y na jednostkowy przyrost u w stanie ustalonym),
• u(t) – sygnał wejściowy (np. moc grzałki),
• y(t) – sygnał wyjściowy (np. temperatura).

Ta postać zakłada już pewne uproszczenia (liniowość, brak nasyceń, pominięcie opóźnień transportowych itp.), ale do analizy wstępnej i projektowania regulatorów PID jest zupełnie wystarczająca.

Przykład: układ RC (elektryczny obiekt inercyjny)

Dobrym, intuicyjnym przykładem obiektu inercyjnego I rzędu jest układ RC w konfiguracji ładowania kondensatora przez rezystor. Załóżmy:

• napięcie wejściowe: u(t),
• napięcie na kondensatorze: y(t),
• rezystancja: R, pojemność: C.

Równanie fizyczne wynikające z prawa Kirchhoffa ma postać:

C dy/dt = (u − y)/R

Przekształcając:

C dy/dt = (1/R) u − (1/R) y

czyli

RC dy/dt + y = u

Jest to dokładnie postać obiektu inercyjnego I rzędu z parametrami:

• T = R C,
• K = 1.

Zamiana na transmitancję:

1. Stosujemy transformatę Laplace’a (zerowe warunki początkowe):
   • R C s Y(s) + Y(s) = U(s)
2. Wyciągamy Y(s):
   • Y(s)(R C s + 1) = U(s)
3. Transmitancja:
   • G(s) = Y(s)/U(s) = 1 / (R C s + 1) = 1 / (T s + 1)

Takie przejście z modelu fizycznego do transmitancji jest wzorcem, który można adaptować do innych procesów pierwszego rzędu – zarówno elektrycznych, jak i mechanicznych czy termicznych.

Przykład: prosty model nagrzewania zbiornika

Zastanówmy się nad zbiornikiem z cieczą ogrzewaną grzałką. Uproszczony bilans energii można zapisać:

C_th dT/dt = P − α (T − T_ot)

gdzie:

• T(t) – temperatura cieczy (y),
• P(t) – moc grzałki (u),
• C_th – pojemność cieplna układu,
• α – współczynnik strat ciepła,
• T_ot – temperatura otoczenia (zakładamy stałą).

Wygodnie jest przekształcić model do postaci względnych odchylek od stanu równowagi. Załóżmy, że interesuje nas zmiana temperatury ΔT(t) = T(t) − T₀, gdzie T₀ to stan początkowy, oraz zmiana mocy ΔP(t) = P(t) − P₀. Po liniowej aproksymacji wokół punktu pracy otrzymuje się często uproszczone równanie:

C_th d(ΔT)/dt + α ΔT = ΔP

Wprowadzając oznaczenia:

• y(t) = ΔT(t), u(t) = ΔP(t),
• T = C_th / α,
• K = 1 / α,

otrzymuje się standardowe równanie obiektu inercyjnego:

T dy/dt + y = K u

Przejście do transmitancji jest identyczne:

G(s) = K / (T s + 1)

Ten prosty przykład pokazuje, że zamiana modelu fizycznego na transmitancję sprowadza się często do sprowadzenia równania do standardowej formy i odpowiedniego zidentyfikowania stałej czasowej oraz wzmocnienia.

Szczegółowa procedura: zamiana równania różniczkowego I rzędu na transmitancję

Krok po kroku: od równania ogólnego do G(s)

Nie zawsze równanie różniczkowe jest od razu w „ładnej” formie T dy/dt + y = K u. Czasem trzeba wykonać kilka kroków porządkujących. Praktyczna procedura wygląda następująco:

1. Zapisz równanie różniczkowe w postaci liniowej

   Przykład:

   a dy/dt + b y = c u

2. Przekształć do postaci z jednostką przy y

   Podziel równanie przez b (o ile b ≠ 0):

   (a/b) dy/dt + y = (c/b) u

   Odczytaj parametry:

   • T = a/b,
   • K = c/b.
3. Zastosuj transformatę Laplace’a przy zerowych warunkach początkowych

   T s Y(s) + Y(s) = K U(s)

4. Wyznacz transmitancję

   Y(s) (T s + 1) = K U(s)

   G(s) = Y(s)/U(s) = K / (T s + 1)

Rola warunków początkowych w definicji transmitancji

Kluczowy szczegół, który bywa pomijany w pośpiechu: definicja transmitancji zakłada zerowe warunki początkowe. Jeśli obiekt startuje z niezerowym stanem (np. kondensator jest już częściowo naładowany), wtedy całkowita odpowiedź y(t) jest sumą:

• odpowiedzi tzw. swobodnej (związanej z warunkami początkowymi),
• oraz odpowiedzi wymuszonej (związanej z sygnałem wejściowym u(t)).

Transmitancja opisuje wyłącznie część związaną z wymuszeniem. W praktyce oznacza to, że jeśli równanie po przekształceniu Laplace’a zawiera człony związane z y(0), muszą być one przeniesione na stronę „dodatkowego” źródła, a sama transmitancja pozostaje wyrażeniem przy założeniu y(0)=0.

Przykład:

T dy/dt + y = K u, y(0) = y₀

Po transformatcie:

T (s Y(s) − y₀) + Y(s) = K U(s)

Rozdzielenie wpływu warunków początkowych i wymuszenia

Kontynuując powyższy przykład, po zastosowaniu transformaty Laplace’a dla niezerowego stanu początkowego otrzymano:

T (s Y(s) − y₀) + Y(s) = K U(s)

co po uporządkowaniu daje:

T s Y(s) − T y₀ + Y(s) = K U(s)

czyli:

Y(s) (T s + 1) = K U(s) + T y₀

Stąd:

Y(s) = (dfrac{K}{T s + 1}) U(s) + (dfrac{T}{T s + 1}) y₀

Widać wyraźnie dwa składniki:

• część wymuszoną: (dfrac{K}{T s + 1} U(s)) – opisaną transmitancją G(s),
• część swobodną: (dfrac{T}{T s + 1} y₀) – zależną tylko od stanu początkowego.

Transmitancja pozostaje zatem niezmieniona: G(s) = K / (T s + 1). Dodatkowy składnik pojawia się jedynie w analizie pełnej odpowiedzi układu, gdy stan początkowy jest niezerowy.

Interpretacja czasowa odpowiedzi dla obiektu I rzędu

Dla wielu zadań regulacji kluczowe są proste zależności czasowe. Dla transmitancji:

G(s) = K / (T s + 1)

odpowiedź skokowa (wejście u(t) = 1(t), skok jednostkowy) przy zerowych warunkach początkowych ma postać:

y(t) = K (1 − e^−t/T) dla t ≥ 0

Na jej podstawie można szybko ocenić:

• czas osiągnięcia ok. 63% wartości końcowej: t = T,
• czas osiągnięcia ok. 95% wartości końcowej: t ≈ 3T,
• czas osiągnięcia ok. 99% wartości końcowej: t ≈ 5T.

W praktyce przy strojeniach ręcznych przyjmuje się często, że „czas narastania” obiektu I rzędu to ok. 3T. Zależność ta jest potem wykorzystywana do doboru czasu całkowania i różniczkowania w regulatorach PID.

Obiekt oscylacyjny drugiego rzędu – od równania do transmitancji

Model ogólny obiektu oscylacyjnego

Obiekty oscylacyjne opisują zjawiska, w których występują magazyny energii różnych rodzajów – najczęściej dwa: bezwładność (masa, indukcyjność) oraz sprężystość (sprężyna, pojemność). Standardowa postać równania różniczkowego z parametryzacją w kategoriach stałej czasowej T, współczynnika tłumienia ξ i wzmocnienia K to:

T² d²y/dt² + 2 ξ T dy/dt + y = K u

Transmitancja przy zerowych warunkach początkowych:

G(s) = (dfrac{K}{T^{2} s^{2} + 2 ξ T s + 1})

Parametr ξ (współczynnik tłumienia) decyduje o charakterze odpowiedzi:

• 0 < ξ < 1 – odpowiedź oscylacyjna (przeregulowania, oscylacje gasnące),
• ξ = 1 – krytyczne tłumienie (najszybszy przebieg bez oscylacji),
• ξ > 1 – przebieg aperiodyczny, wolniejszy, bez oscylacji.

Przykład mechaniczny: układ masa–sprężyna–tłumik

Rozważmy klasyczny układ translacyjny:

• masa: m,
• współczynnik tłumienia lepkościowego: c,
• współczynnik sprężystości: k,
• siła wejściowa: u(t),
• przemieszczenie masy: y(t).

Równanie ruchu (prawo Newtona) ma postać:

m d²y/dt² + c dy/dt + k y = u

Jest to liniowe równanie różniczkowe drugiego rzędu. Aby przejść do transmitancji:

1. Zastosuj transformatę Laplace’a przy zerowych warunkach początkowych:
   • m s² Y(s) + c s Y(s) + k Y(s) = U(s)
2. Wyciągnij Y(s):
   • Y(s) (m s² + c s + k) = U(s)
3. Transmitancja:
   • G(s) = Y(s)/U(s) = 1 / (m s² + c s + k)

Dla wygody często przeprowadza się normalizację do postaci z parametrami T, ξ, K. Porównując:

T² s² + 2 ξ T s + 1 ⇔ m s² + c s + k

oraz dopuszczając dodatkowe wzmocnienie K w liczniku:

G(s) = (dfrac{K}{T^{2} s^{2} + 2 ξ T s + 1}) = (dfrac{1/k}{(m/k) s^{2} + (c/k) s + 1})

można zidentyfikować:

• T² = m / k ⇒ T = √(m/k),
• 2 ξ T = c / k ⇒ ξ = (c / k) / (2T) = c / (2 √(m k)),
• K = 1 / k (jeśli wejściem jest siła, a wyjściem przemieszczenie).

Tym sposobem model fizyczny z parametrami (m, c, k) został przełożony na formę użyteczną w analizie sterowania (T, ξ, K).

Przykład elektryczny: obwód RLC jako obiekt oscylacyjny

Analogiczny model można znaleźć w elektryce. Rozważmy szeregowy obwód RLC:

• rezystancja: R,
• indukcyjność: L,
• pojemność: C,
• napięcie wejściowe: u(t),
• prąd w obwodzie: i(t).

Równanie napięciowe (prawo Kirchhoffa) ma postać:

L di/dt + R i + (1/C) ∫ i dt = u

Jeśli wygodniej jest używać napięcia na kondensatorze jako wielkości wyjściowej, otrzymuje się po przekształceniach równanie podobne do układu masa–sprężyna–tłumik, z odpowiednimi zamianami ról (L ↔ m, R ↔ c, 1/C ↔ k). Transmitancja będzie miała postać:

G(s) = (dfrac{K}{T^{2} s^{2} + 2 ξ T s + 1})

z parametrami wyrażonymi przez R, L, C. Dzięki temu analiza oscylacji prądu lub napięcia wygląda analogicznie do analizy drgań mechanicznych.

Systematyczna procedura: zamiana dowolnego równania 2. rzędu na G(s)

Jeżeli równanie nie jest od razu w „książkowej” postaci, dobrze działa schemat krok po kroku:

1. Zapisz równanie w postaci liniowej z uporządkowanymi pochodnymi

   Przykład ogólny (wejście bez pochodnych):

   a d²y/dt² + b dy/dt + c y = d u

2. Ujednolić współczynnik przy najwyższej pochodnej

   Podziel przez a (a ≠ 0):

   d²y/dt² + (b/a) dy/dt + (c/a) y = (d/a) u

3. Zastosuj transformatę Laplace’a przy zerowych warunkach początkowych

   s² Y(s) + (b/a) s Y(s) + (c/a) Y(s) = (d/a) U(s)

4. Wyznacz stosunek Y(s)/U(s)

   Y(s) (s² + (b/a) s + c/a) = (d/a) U(s)

   G(s) = (dfrac{Y(s)}{U(s)}) = (dfrac{d/a}{s^{2} + (b/a) s + c/a})

5. Porównaj z postacią standardową

   G(s) = (dfrac{K}{T^{2} s^{2} + 2 ξ T s + 1})

   lub po podzieleniu przez T²:

   G(s) = (dfrac{K}{T^{2}}) / (s² + 2 ξ (1/T) s + 1/T²)

   co pozwala odczytać T, ξ i K przez porównanie współczynników.

Wpływ współczynnika tłumienia ξ na odpowiedź skokową

Dla transmitancji drugiego rzędu:

G(s) = (dfrac{K ω₀²}{s^{2} + 2 ξ ω₀ s + ω₀²})

gdzie ω₀ = 1/T – częstotliwość własna, odpowiedź skokowa (u(t) = 1(t)) ma różne kształty w zależności od ξ. Praktycznie:

• dla małego ξ (słabe tłumienie) – pojawiają się znaczne przeregulowania i oscylacje,
• dla ξ ≈ 0,7 – kompromis między szybkością a przeregulowaniem,
• dla ξ > 1 – brak przeregulowania, ale wolna odpowiedź.

W projektowaniu regulacji często dąży się do „efektywnego” ξ w zamkniętej pętli bliskiego 0,7. Sam obiekt może mieć inną wartość, ale struktura układu z regulatorem kształtuje efektywną dynamikę.

Przykłady zamiany modeli mieszanych na transmitancję

Obiekt z opóźnieniem transportowym

W wielu procesach technicznych obok dynamiki inercyjnej występuje czyste opóźnienie czasowe L (transport, przesył, czas reakcji czujnika). Taki obiekt opisuje równanie:

T dy/dt + y = K u(t − L)

Po zastosowaniu transformaty Laplace’a, korzystając z własności:

(mathcal{L}{u(t − L) 1(t − L)} = e^{−L s} U(s))

otrzymuje się:

T s Y(s) + Y(s) = K e^{−L s} U(s)

Stąd transmitancja:

G(s) = (dfrac{Y(s)}{U(s)}) = (dfrac{K e^{−L s}}{T s + 1})

Opóźnienie nie zmienia rzędu układu, ale utrudnia regulację – silnie ogranicza możliwe wzmocnienie regulatora i może powodować oscylacje, nawet dla prostych obiektów inercyjnych.

Szeregowe połączenie dwóch obiektów inercyjnych

Każdy z obiektów opisuje równanie:

T₁ dx/dt + x = K₁ u

T₂ dy/dt + y = K₂ x

Po przejściu do transmitancji otrzymujemy:

• G₁(s) = X(s)/U(s) = K₁ / (T₁ s + 1),
• G₂(s) = Y(s)/X(s) = K₂ / (T₂ s + 1).

Transmitancja całego toru (od u do y) to iloczyn:

G(s) = G₂(s) G₁(s) = (dfrac{K₁ K₂}{(T₁ s + 1)(T₂ s + 1)})

Po wymnożeniu mianownika otrzymuje się transmitancję drugiego rzędu (aperiodycznego):

G(s) = (dfrac{K}{T_eq² s^{2} + a T_eq s + 1})

z odpowiednio zdefiniowanymi parametrami równoważnymi. W wielu sytuacjach taki układ można aproksymować jednym obiektem I rzędu + opóźnienie, ale dokładna transmitancja jest właśnie drugiego rzędu.

Równanie z pochodną sygnału wejściowego

W niektórych modelach fizycznych sygnał wejściowy pojawia się nie tylko w postaci samej wielkości u(t), ale także jej pochodnej. Przykładowo:

a d²y/dt² + b dy/dt + c y = d u + e du/dt

Taka sytuacja występuje m.in. w modelach z członem różniczkującym lub przy wprowadzaniu sprzężeń kinematycznych (prędkościowych) w napędach.

Procedura przejścia do transmitancji jest analogiczna, trzeba jedynie uwzględnić transformatę Laplace’a pochodnej wejścia:

1. Transformata Laplace’a przy zerowych warunkach początkowych

   Zapis równania w dziedzinie s:

   a s² Y(s) + b s Y(s) + c Y(s) = d U(s) + e s U(s)

2. Grupowanie względem Y(s) i U(s)

   Wspólny czynnik Y(s) po lewej, U(s) po prawej:

   Y(s) (a s² + b s + c) = U(s) (d + e s)

3. Transmitancja G(s) = Y(s)/U(s)

   Po podzieleniu obu stron przez (a s² + b s + c):

   G(s) = (dfrac{Y(s)}{U(s)}) = (dfrac{d + e s}{a s^{2} + b s + c})

W liczniku pojawia się człon różniczkujący (e s), czyli transmitancja nie jest już czysto inercyjna. Jeżeli e ≠ 0, układ posiada zero transmitancji (miejsce zerowe) w punkcie s = −d/e. To zero wpływa na kształt odpowiedzi, a zwłaszcza na przeregulowanie oraz szybkość narastania.

Interpretacja członu z du/dt w praktyce

Najprostszy przykład z praktyki to układ, w którym wejście jest zadawaną prędkością, a siła zależy zarówno od przemieszczenia, jak i od prędkości zmiany zadania. Pojawia się wtedy zależność typu:

siła = k₁ błąd położenia + k₂ błąd prędkości

Po przekształceniach do równania wyjścia względem zadania (u) mogą pojawić się pochodne u(t). W dziedzinie Laplace’a da to licznik z s. Z punktu widzenia sterowania oznacza to, że obiekt nie jest „czystym” oscylatorem, ale ma dynamiczną korekcję wprowadzoną już na etapie fizyki procesu.

Przykład obiektu mechanicznego z pochodną wejścia

Weźmy równanie:

m d²y/dt² + c dy/dt + k y = α u + β du/dt

Stosując transformatę Laplace’a (warunki początkowe równe zero):

• m s² Y(s) + c s Y(s) + k Y(s) = α U(s) + β s U(s)
• Y(s) (m s² + c s + k) = U(s) (α + β s)
• G(s) = (dfrac{α + β s}{m s^{2} + c s + k})

Można to porównać z postacią standardową drugiego rzędu z zerem w liczniku:

G(s) = (dfrac{K (1 + τ z s)}{T^{2} s^{2} + 2 ξ T s + 1})

Porównując współczynniki:

• T² = m / k,
• 2 ξ T = c / k,
• K = α / k,
• K τ z = β / k ⇒ τ z = β / α (dla α ≠ 0).

W praktyce oznacza to, że człon z pochodną wejścia generuje zero rzeczywiste w punkcie s = −1/τ z. Jeżeli τ z > 0, zero leży w lewej półpłaszczyźnie i ma charakter stabilizujący/korygujący (np. przyspiesza odpowiedź bez zwiększania oscylacji ponad pewien poziom). Dla τ z < 0 zero wchodzi do prawej półpłaszczyzny – obiekt staje się „niewygodny” w regulacji (przesterowania, ograniczenia w doborze struktury regulatora).

Uogólniona procedura dla równań z pochodnymi wejścia

Jeżeli w równaniu liniowym pojawiają się pochodne u(t), schemat postępowania pozostaje ten sam, ale oprócz mianownika trzeba starannie wypisać licznik:

1. Zapisz równanie z wszystkimi pochodnymi y i u

   Przykład ogólny drugiego rzędu:

   a d²y/dt² + b dy/dt + c y = d u + e du/dt + f d²u/dt²

2. Transformata Laplace’a (warunki początkowe = 0)

   a s² Y + b s Y + c Y = d U + e s U + f s² U

3. Wyciągnij Y(s) oraz U(s)

   Y(s) (a s² + b s + c) = U(s) (f s² + e s + d)

4. Transmitancja

   G(s) = (dfrac{Y(s)}{U(s)}) = (dfrac{f s^{2} + e s + d}{a s^{2} + b s + c})

Mianownik określa rząd i charakter oscylacyjny (lub inercyjny) obiektu, natomiast licznik wskazuje na obecność zer. Przy projektowaniu regulatora warto uwzględnić zarówno bieguny (pochodzące z mianownika), jak i zera (z licznika), ponieważ oba typy wartości własnych kształtują sygnał przejściowy i komplementarną odpowiedź częstotliwościową.

Przykład: człon inercyjny z „filtracją” na wejściu

Model realnego serwomechanizmu może zawierać filtr różniczkujący na wejściu, np.:

T dy/dt + y = K (u + τ f du/dt)

Po transformatcie Laplace’a:

• T s Y + Y = K (U + τ f s U)
• Y (T s + 1) = K U (1 + τ f s)
• G(s) = (dfrac{K (1 + τ f s)}{T s + 1})

Jest to obiekt I rzędu z zerem rzeczywistym w punkcie s = −1/τ f. W odpowiedzi skokowej pojawi się szybszy początkowy wzrost niż dla klasycznego obiektu inercyjnego T/(Ts+1), a przy większych τ f – również przeregulowanie.

Zamiana złożonych struktur blokowych na pojedynczą transmitancję

Połączenie równoległe obiektów inercyjnych i oscylacyjnych

W wielu aplikacjach sygnał wyjściowy jest sumą odpowiedzi kilku równoległych torów dynamicznych, np.:

• tor główny – obiekt inercyjny I rzędu,
• tor dodatkowy – obiekt oscylacyjny II rzędu (np. rezonans mechaniczny).

Załóżmy:

• G₁(s) = K₁ / (T s + 1),
• G₂(s) = K₂ / (T₂² s² + 2 ξ T₂ s + 1).

Dla połączenia równoległego (to samo wejście, sumowane wyjścia):

G(s) = G₁(s) + G₂(s)

Po sprowadzeniu do wspólnego mianownika otrzymuje się transmitancję trzeciego rzędu:

G(s) = (dfrac{K₁ (T₂² s^{2} + 2 ξ T₂ s + 1) + K₂ (T s + 1)}{(T s + 1)(T₂² s^{2} + 2 ξ T₂ s + 1)})

Mianownik definiuje trzy bieguny (jeden inercyjny + dwa oscylacyjne), licznik zaś generuje do trzech zer. Przy analizie dynamicznej taki model często upraszcza się, np. do dominującego oscylatora drugiego rzędu lub do obiektu I rzędu z opóźnieniem, w zależności od relacji czasowych T, T₂.

Redukcja rzędu – kiedy złożony obiekt można potraktować jako prosty?

Jeśli w otrzymanej transmitancji występują bieguny (i związane z nimi stałe czasowe), które są wiele razy szybsze od pozostałych, to ich wpływ na przebieg w skali interesujących czasów bywa pomijalny. Przykład:

G(s) = (dfrac{K}{(T s + 1)(T f s + 1)}), gdzie T f ≪ T.

Dla s w obszarze odpowiadającym czasom > T (czyli dla małych częstotliwości) człon (T f s + 1) ≈ 1, zatem:

G(s) ≈ K / (T s + 1)

Z punktu widzenia regulacji o stałych czasowych rzędu T i większych, model można uprościć do obiektu I rzędu. To klasyczna technika redukcji rzędu, umożliwiająca pracę z prostszym modelem przy zachowaniu istotnych własności dynamicznych.

Przykład: uproszczenie modelu napędu z elastycznym sprzęgłem

Napęd z przekładnią i elastycznym sprzęgłem można modelować jako dwa momenty bezwładności połączone sprężyną skrętną i tłumikiem. Dokładna transmitancja między momentem sterującym a położeniem wyjściowym jest trzeciego (czasem czwartego) rzędu, z parą biegunów oscylacyjnych (drgania skrętne) i jednym biegunem inercyjnym (całkowita bezwładność). Jeżeli częstotliwość drgań skrętnych jest dużo wyższa niż zakres pracy regulatora położenia, obiekt można aproksymować jako jeden moment bezwładności (I rząd lub II rząd z małym tłumieniem), co przekłada się na prostszą transmitancję i łatwiejszy dobór regulatora PID.

Od modelu różniczkowego do transmitancji w systemach dyskretnych

Równanie różnicowe jako odpowiednik równania różniczkowego

Dla systemów cyfrowych naturalnym opisem jest równanie różnicowe, np. dla obiektu inercyjnego aproksymowanego w czasie dyskretnym:

y[k] = a y[k − 1] + b u[k − 1]

lub dla oscylatora:

y[k] = a₁ y[k − 1] + a₂ y[k − 2] + b₁ u[k − 1] + b₂ u[k − 2]

Oddzielając y[k] i u[k] otrzymuje się prostą drogę do transmitancji w dziedzinie z.

Transformata Z i transmitancja dyskretna

Transformata Z dla przesunięcia w czasie spełnia własność:

(mathcal{Z}{y[k − 1]} = z^{−1} Y(z))

Stosując ją do równania różnicowego obiektu I rzędu:

y[k] = a y[k − 1] + b u[k − 1]

przy zerowych warunkach początkowych:

• Y(z) = a z⁻¹ Y(z) + b z⁻¹ U(z)
• Y(z) (1 − a z⁻¹) = b z⁻¹ U(z)
• G(z) = (dfrac{Y(z)}{U(z)}) = (dfrac{b z^{−1}}{1 − a z^{−1}})

Po pomnożeniu licznika i mianownika przez z:

G(z) = (dfrac{b}{z − a})

Jest to dyskretna transmitancja obiektu inercyjnego, wprost odpowiadająca transmitancji ciągłej K/(T s + 1). Współczynniki a, b mogą wynikać z dyskretyzacji metody Eulera, Tustin’a lub innej procedury, w której parametry T, K przekładają się na a, b.

Dyskretna wersja obiektu oscylacyjnego

Dla obiektu oscylacyjnego równanie różnicowe drugiego rzędu ma postać:

Najczęściej zadawane pytania (FAQ)

Po co zamieniać równania różniczkowe obiektu na transmitancję?

Transmitancja pozwala w prosty sposób analizować odpowiedź układu na różne wymuszenia (skok, impuls, sinus), badać stabilność oraz projektować regulatory w dziedzinie Laplace’a. Jest to szczególnie wygodne w automatyce, gdzie wiele metod projektowania bazuje właśnie na postaci G(s).

Dzięki zamianie równań fizycznych na transmitancję możesz łatwo łączyć opis rzeczywistego obiektu (np. układ masa–sprężyna–tłumik) z narzędziami teorii sterowania (charakterystyki częstotliwościowe, odpowiedzi czasowe, dobór parametrów PID).

Jak z równań różniczkowych otrzymać transmitancję obiektu?

Podstawowa procedura jest następująca:

• zapisz równanie różniczkowe liniowe z wejściem i wyjściem,
• zastosuj transformatę Laplace’a, przyjmując zerowe warunki początkowe,
• rozwiąż równanie w dziedzinie s względem Y(s)/U(s), czyli transmitancji G(s).

W efekcie otrzymujesz uogólnioną postać G(s) = Y(s) / U(s), gdzie mianownik opisuje dynamikę (bieguny), a licznik ewentualne zera i wzmocnienie statyczne obiektu.

Co to jest obiekt inercyjny i jak wygląda jego transmitancja?

Obiekt inercyjny to taki, który reaguje na wymuszenie z pewnym opóźnieniem „wygładzając” sygnał, ale bez oscylacji. Typowym przykładem jest pojedynczy człon inercyjny pierwszego rzędu, którego transmitancja ma postać:

G(s) = K / (T s + 1), gdzie K jest wzmocnieniem, a T stałą czasową. Odpowiedź skokowa takiego obiektu narasta monotonicznie do wartości ustalonej, bez przeregulowania i oscylacji.

Co to jest obiekt oscylacyjny i jak opisać go transmitancją?

Obiekt oscylacyjny (drgający) to układ, który po wymuszeniu może wykazywać wahania i przeregulowanie, zanim osiągnie stan ustalony. Typowym modelem jest układ drugiego rzędu opisany transmitancją:

G(s) = K ω₀² / (s² + 2ζω₀s + ω₀²), gdzie ω₀ to częstość własna, a ζ współczynnik tłumienia. W zależności od ζ obiekt może być niedotłumiony (oscylacje), krytycznie tłumiony lub przetłumiony (bez oscylacji, ale z wolniejszą odpowiedzią).

Jak z transmitancji obiektu wyznaczyć równanie różniczkowe?

Jeśli masz transmitancję G(s) = Y(s)/U(s) w postaci ilorazu wielomianów w s, to:

• pomnóż obustronnie przez mianownik, aby uzyskać równanie między Y(s) i U(s),
• zastąp s pochodnymi w dziedzinie czasu (s → d/dt),
• uporządkuj wyrażenie tak, aby otrzymać liniowe równanie różniczkowe między y(t) i u(t).

W ten sposób możesz przejść z opisu „sterowniczego” do opisu fizycznego obiektu, co ułatwia interpretację parametrów modelu.

Dlaczego transmitancja jest tak często używana w MATLAB/Scilab/Octave?

Większość bibliotek do analizy układów liniowych (np. Control System Toolbox w MATLAB) operuje na obiektach typu „transfer function”. Pozwala to łatwo:

• generować odpowiedzi skokowe, impulsowe i częstotliwościowe,
• sprawdzać stabilność (np. kryterium Nyquista, Bode),
• projektować regulatory PID i bardziej zaawansowane struktury.

Dzięki temu zamiana fizycznego modelu obiektu na transmitancję jest praktycznie konieczna, jeśli chcesz w pełni wykorzystać te narzędzia w analizie i projektowaniu układów sterowania.

Kluczowe obserwacje

• Transmitancja jest wygodnym i standardowym narzędziem w automatyce do analizy układów liniowych, szczególnie w dziedzinie Laplace’a.
• Zamiana modelu fizycznego na transmitancję oraz odwrotnie umożliwia powiązanie opisu „fizycznego” obiektu (np. masa–sprężyna–tłumik) z opisem „sterowniczym” G(s).
• Transmitancja ułatwia projektowanie regulatorów (np. PID), ponieważ jej parametry pozwalają dobrać strukturę i nastawy regulatora.
• Praca z transmitancjami jest kluczowa przy symulacjach w narzędziach takich jak MATLAB, Scilab czy Octave, które operują głównie na modelach transmitancyjnych i stanowych.
• Analiza transmitancji pozwala szybko badać odpowiedź układu na wymuszenia, jego stabilność oraz wpływ parametrów (stałe czasowe, tłumienie) na kształt odpowiedzi skokowej.
• Umiejętność przechodzenia między równaniami różniczkowymi, modelem stanu a transmitancją jest podstawową kompetencją inżyniera automatykika i projektanta układów sterowania.