Niezmienniki topologiczne: jak udowodnić, że dwie przestrzenie nie są homeomorficzne?

Cel dowodu: nie budować homeomorfizmu, lecz znaleźć przeszkodę

Co dokładnie znaczy, że przestrzenie są homeomorficzne?

Dwie przestrzenie topologiczne X i Y są homeomorficzne, gdy istnieje funkcja f: X → Y, która jest bijekcją, jest ciągła, a jej funkcja odwrotna f^-1: Y → X również jest ciągła. Taka funkcja nazywa się homeomorfizmem. Intuicyjnie oznacza to, że jedną przestrzeń można przekształcić w drugą przez ciągłe odkształcanie, bez sklejania odległych punktów i bez rozrywania obiektu.

W zadaniach topologicznych często łatwiej jest wykazać, że homeomorfizm nie może istnieć, niż próbować go skonstruować. Nie trzeba wtedy sprawdzać wszystkich możliwych bijekcji ani zgadywać wzoru funkcji. Wystarczy znaleźć jedną własność, którą zachowuje każdy homeomorfizm, ale która ma inną postać w porównywanych przestrzeniach. ^[1]

Taką własność nazywa się niezmiennikiem topologicznym. Może nim być na przykład spójność, zwartość, liczba składowych spójnych, obecność punktów rozcinających, wymiar topologiczny albo grupa fundamentalna. Jeżeli przestrzenie różnią się choć jednym niezmiennikiem, są przestrzeniami niehomeomorficznymi. ^[4]

Podstawowy schemat rozumowania wygląda następująco:

1. Zakładamy dla sprzeczności, że istnieje homeomorfizm f: X → Y.
2. Korzystamy z faktu, że homeomorfizm zachowuje badaną własność P.
3. Wykazujemy, że X ma własność P, a Y jej nie ma, albo że wartości niezmiennika są różne.
4. Otrzymujemy sprzeczność, więc homeomorfizm nie istnieje.

To jest argument kontrapozycyjny w bardzo użytecznej formie: różne niezmienniki topologiczne wykluczają homeomorfizm. Jeden poprawnie dobrany niezmiennik wystarcza do zamknięcia dowodu.

Różnica między intuicją geometryczną a argumentem topologicznym

Rysunek może podpowiedzieć właściwy kierunek, ale sam w sobie nie jest dowodem. Dwa zbiory mogą wyglądać inaczej w przestrzeni euklidesowej, a mimo to być homeomorficzne. Odcinek poziomy, łuk paraboli i dowolna prosta krzywa bez samoprzecięć mogą reprezentować tę samą strukturę topologiczną. Z drugiej strony obiekty podobne wizualnie mogą różnić się cechą niewidoczną na pierwszy rzut oka, na przykład liczbą końców lub zachowaniem po usunięciu punktu.

Odległość między punktami, długość krzywej, kąty, pole powierzchni i objętość zazwyczaj nie są niezmiennikami topologicznymi. Okrąg o promieniu 1 i okrąg o promieniu 100 są homeomorficzne, mimo że mają inne obwody i pola. Podobnie każdy niepusty otwarty przedział (a,b) jest homeomorficzny z R, choć jeden jest ograniczony, a drugi nie.

Klasyczna intuicja mówi, że kubek z jednym uchem i obwarzanek mają po jednej „dziurze”, więc można je traktować topologicznie podobnie. To dobry obraz, lecz w formalnym dowodzie słowo „dziura” trzeba zastąpić konkretnym narzędziem, na przykład grupą fundamentalną lub homologią. Topolog nie pyta więc, czy obiekty wyglądają podobnie po kawie, lecz jakie własności przetrwają każde ciągłe odkształcenie odwracalne.

Jak rozpoznać dobry niezmiennik?

Dobry niezmiennik spełnia dwa warunki. Po pierwsze, musi być rzeczywiście zachowywany przez homeomorfizmy. Po drugie, jego wyznaczenie dla obu przestrzeni powinno być wykonalne i prowadzić do różnicy. Nie ma sensu zaczynać od grupy fundamentalnej, jeśli jedna przestrzeń jest zwarta, a druga niezwarta. Zwartość daje wtedy krótszy, bezpieczniejszy i bardziej przejrzysty dowód.

W praktyce najlepiej zaczynać od własności prostych, a po narzędzia cięższe sięgać dopiero wtedy, gdy wcześniejsze testy nie rozstrzygają sprawy. Taka kolejność ogranicza ryzyko błędu i oszczędza czas podczas rozwiązywania zadań.

Procedura krok po kroku: od opisu przestrzeni do kontrprzykładu

Krok 1. Ustal, jakie przestrzenie są porównywane

Przed użyciem jakiegokolwiek niezmiennika należy precyzyjnie ustalić, czym są porównywane obiekty. Ten sam zbiór może mieć różne topologie. Zbiór liczb rzeczywistych R z topologią standardową zachowuje się zupełnie inaczej niż ten sam zbiór z topologią dyskretną, w której każdy podzbiór jest otwarty.

Trzeba sprawdzić, czy analizowany obiekt jest:

• podprzestrzenią Rⁿ z topologią podprzestrzeni,
• przestrzenią ilorazową, na przykład odcinkiem ze sklejonymi końcami,
• grafem rozumianym topologicznie, a nie wyłącznie kombinatorycznie,
• przestrzenią z topologią dyskretną, trywialną lub inną zadaną wprost,
• przestrzenią z wyróżnionym punktem, podzbiorem lub bazą punktów.

Ostatni punkt ma duże znaczenie. Zwykły homeomorfizm nie musi wysyłać wskazanego punktu x₀ na wskazany punkt y₀. Jeżeli zadanie dotyczy przestrzeni wskazanych, trzeba badać homeomorfizm wskazany, czyli taki, który dodatkowo spełnia warunek f(x₀) = y₀. Pominięcie tego rozróżnienia potrafi zmienić treść problemu.

Krok 2. Zacznij od niezmienników najtańszych obliczeniowo

Najrozsądniejsza kolejność sprawdzania własności przypomina diagnostykę: najpierw testy szybkie, później bardziej zaawansowane. Dla przestrzeni skończonych lub dyskretnych od razu można porównać liczbę punktów. Bijekcja wymagana w definicji homeomorfizmu wymusza bowiem równoliczność zbiorów.

Następnie dobrze zbadać spójność, liczbę składowych spójnych i zwartość. Są to niezmienniki łatwe do zastosowania w przypadku podprzestrzeni euklidesowych, przedziałów, okręgów, sum rozłącznych oraz figur z usuniętymi punktami. Dopiero gdy te narzędzia nie dają rozstrzygnięcia, przychodzi czas na analizę punktów rozcinających, własności lokalnych, wymiaru, grup fundamentalnych czy homologii.

Kolejność nie jest sztywnym algorytmem, ale stanowi praktyczną regułę. Jeśli w treści od razu pojawia się usunięcie punktu, analiza punktów rozcinających może być naturalnym pierwszym wyborem. Jeśli porównywane są powierzchnie z uchwytami, grupa fundamentalna będzie prawdopodobnie bardziej trafna niż badanie zwartości.

Krok 3. Sformułuj różnicę jako własność zachowywaną przez homeomorfizm

Zdanie „jedna przestrzeń ma dziurę, a druga nie” bywa dobrą intuicją, ale nie jest jeszcze dowodem. Trzeba doprecyzować, co oznacza „dziura” w danej sytuacji. Dla okręgu i dysku można użyć grupy fundamentalnej: grupa fundamentalna okręgu jest izomorficzna z Z, natomiast grupa fundamentalna dysku jest trywialna.

Podobnie stwierdzenie „w jednym obiekcie jest rozwidlenie” powinno zostać przełożone na własność punktów. Jeśli po usunięciu pewnego punktu przestrzeń rozpada się na trzy składowe, a w drugiej przestrzeni po usunięciu dowolnego punktu powstają najwyżej dwie składowe, mamy formalną przeszkodę dla homeomorfizmu.

Ważne jest także wskazanie, czy własność dotyczy całej przestrzeni, czy przestrzeni po usunięciu punktu. Homeomorfizm f: X → Y ogranicza się do homeomorfizmu:

Jeśli chcesz pogłębić ten wątek, sprawdź też: Homeomorfizm po ludzku: kiedy kształty są równoważne.

X {p} → Y {f(p)}.

Dzięki temu można porównywać liczbę składowych dopełnień pojedynczych punktów. Jest to jedna z najskuteczniejszych metod dla odcinków, okręgów, grafów oraz figur z rozgałęzieniami.

Krok 4. Zamknij dowód kontrapozycją

Gotowy dowód powinien wyraźnie zawierać trzy elementy: zachowywalność własności, różnicę między przestrzeniami oraz wniosek o braku homeomorfizmu. W matematyce skrót myślowy bywa wygodny, ale zbyt duży skrót może ukryć lukę.

Poprawna forma może wyglądać tak:

Przypuśćmy, że istnieje homeomorfizm f: X → Y. Ponieważ homeomorfizmy zachowują zwartość, z zwartości X wynikałaby zwartość Y. Jednak X jest zwarta, natomiast Y nie jest zwarta. Otrzymujemy sprzeczność. Zatem X i Y nie są homeomorficzne.

Jeżeli niezmiennik ma charakter liczbowy, trzeba podać obie wartości. Jeżeli ma postać struktury algebraicznej, należy wskazać, że struktury nie są izomorficzne. Samo wspomnienie o „innej grupie” jest za mało precyzyjne, gdy można od razu napisać, że jedna grupa jest trywialna, a druga nieskończona cykliczna.

Pierwsza linia obrony: spójność, składowe i zwartość

Spójność i liczba składowych spójnych

Przestrzeń jest spójna, gdy nie da się jej zapisać jako sumy dwóch niepustych, rozłącznych zbiorów otwartych w tej przestrzeni. Homeomorfizm przenosi zbiory spójne na spójne. W konsekwencji, jeśli jedna z porównywanych przestrzeni jest spójna, a druga nie, nie mogą być homeomorficzne.

Najprostszy przykład stanowią zbiory:

X = [0,1],   Y = [0,1] ∪ [2,3].

Przedział [0,1] jest spójny. Zbiór Y ma dwie składowe spójne: [0,1] oraz [2,3]. Ponieważ homeomorfizm zachowuje liczbę składowych spójnych, przestrzenie X i Y nie są homeomorficzne.

Zwartość: test, który często kończy dowód natychmiast

Zwartość jest szczególnie użytecznym niezmiennikiem, ponieważ w wielu typowych przestrzeniach można ją rozpoznać bez konstruowania skomplikowanych odwzorowań. Jeśli jedna przestrzeń jest zwarta, a druga nie, homeomorfizm między nimi nie istnieje.

Dla podzbiorów przestrzeni euklidesowej Rⁿ można korzystać z twierdzenia Heinego–Borela:

Podzbiór Rⁿ jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty i ograniczony.

To kryterium dotyczy jednak przestrzeni euklidesowych z ich standardową topologią. Nie należy automatycznie stosować go w dowolnej przestrzeni topologicznej, na przykład w przestrzeni ilorazowej, przestrzeni funkcji lub zbiorze z topologią dyskretną.

Przykład: odcinek domknięty i przedział otwarty

Rozważmy przestrzenie:

X = [0,1],   Y = (0,1).

Zbiór X jest w R domknięty i ograniczony, a więc zwarty. Zbiór Y jest ograniczony, ale nie jest domknięty w R, ponieważ nie zawiera swoich punktów granicznych 0 i 1. Zatem Y nie jest zwarty.

Dowód niehomeomorficzności można zapisać krótko:

Gdyby istniał homeomorfizm f: [0,1] → (0,1), to obraz zwartej przestrzeni [0,1] byłby zwarty. Jednak f([0,1]) = (0,1), a przedział (0,1) nie jest zwarty. Sprzeczność.

Jak sprawdzać zwartość w praktyce

1. Ustal, czy przestrzeń jest podzbiorem Rⁿ ze standardową topologią.
2. Jeśli tak, osobno sprawdź ograniczoność i domkniętość.
3. Nie myl „ograniczonego” ze „zwartym”: przedział (0,1) jest ograniczony, ale niezwarty.
4. Nie myl „domkniętego” ze „zwartym”: cała prosta R jest domknięta w sobie i w R, lecz nie jest ograniczona, więc nie jest zwarta.
5. Jeśli przestrzeń nie leży naturalnie w Rⁿ, użyj definicji przez pokrycia otwarte albo znanego twierdzenia odpowiedniego dla danego kontekstu.

Kiedy zwartość nie wystarcza?

Jeżeli obie przestrzenie są zwarte albo obie niezwartne, test nie daje rozstrzygnięcia. Na przykład odcinek [0,1] i okrąg S¹ są zwarte oraz spójne, lecz nie są homeomorficzne. W takiej sytuacji należy przejść do własności punktów: sprawdzić, co dzieje się po usunięciu pojedynczego punktu i jakie typy otoczeń występują w obu przestrzeniach.

Checklista po pierwszych testach

Przed przejściem do bardziej lokalnej analizy warto potwierdzić, że wykonano następujące sprawdzenia:

• czy obie przestrzenie są puste lub niepuste,
• czy mają tę samą liczbę punktów, gdy są skończone lub dyskretne,
• czy są spójne,
• czy mają tyle samo składowych spójnych,
• czy obie są zwarte albo obie niezwartne,
• czy zastosowane kryterium zwartości odpowiada rzeczywiście zadanej topologii.

Jeśli wszystkie odpowiedzi są zgodne, nie oznacza to jeszcze, że homeomorfizm istnieje. Oznacza jedynie, że proste przeszkody nie rozstrzygnęły problemu.

Analiza punktów: końce, rozcięcia i własności lokalne

Wiele przestrzeni ma tę samą globalną liczbę składowych i ten sam status zwartości, ale różni się zachowaniem pojedynczych punktów. Homeomorfizm nie tylko przenosi całą przestrzeń na całą przestrzeń: musi także zachowywać topologiczny typ każdego punktu.

Najpraktyczniejsze pytanie brzmi:

Co dzieje się z przestrzenią po usunięciu wybranego punktu?

Jeżeli punkt p w X ma własność opisaną przez przestrzeń X {p}, to punkt f(p) w Y musi mieć analogiczną własność. Wynika to z faktu, że usunięcie odpowiadających sobie punktów zachowuje homeomorfizm.

Krok 1. Wyszukaj punkty rozcinające

Punkt p w spójnej przestrzeni X nazywa się punktem rozcinającym, gdy przestrzeń X {p} przestaje być spójna. Innymi słowy: usunięcie tego jednego punktu rozdziela przestrzeń na co najmniej dwie części.

Przy planowaniu kolejnych kroków pomocny może być tekst: Przykłady przestrzeni topologicznych, które warto znać.

Jest to bardzo skuteczny test dla odcinków, grafów topologicznych, drzew i przestrzeni z rozgałęzieniami.

Odcinek a okrąg

W odcinku [0,1] każdy punkt wewnętrzny p ∈ (0,1) jest punktem rozcinającym, ponieważ:

[0,1] {p} = [0,p) ∪ (p,1],

a prawa strona ma dwie składowe spójne.

Natomiast po usunięciu dowolnego punktu z okręgu pozostaje przestrzeń homeomorficzna z otwartym przedziałem, a więc spójna. Okrąg nie ma punktów rozcinających. ^[3]

To daje formalny dowód, że odcinek i okrąg nie są homeomorficzne: jedna przestrzeń zawiera punkty rozcinające, druga nie.

Rozgałęzienie o trzech ramionach

Niech T będzie figurą w kształcie litery „Y”, złożoną z trzech odcinków spotykających się w jednym wspólnym punkcie v. Po usunięciu v otrzymujemy trzy składowe spójne.

W zwykłym odcinku po usunięciu dowolnego punktu mogą powstać najwyżej dwie składowe. Zatem figura typu „Y” nie może być homeomorficzna z odcinkiem. Nie trzeba tutaj badać długości ramion ani kątów ich połączenia; decyduje liczba składowych po usunięciu odpowiedniego punktu.

Krok 2. Porównaj liczbę składowych po usunięciu punktu

Samo pytanie „czy istnieje punkt rozcinający?” można wzmocnić. Dla każdego punktu p można badać liczbę składowych spójnych przestrzeni X {p}. Homeomorfizm musi zachować tę liczbę dla punktów odpowiadających sobie.

W praktyce warto sporządzić prostą klasyfikację:

• punkty, po których usunięciu przestrzeń pozostaje spójna,
• punkty, po których usunięciu powstają dokładnie dwie składowe,
• punkty, po których usunięciu powstają trzy lub więcej składowych.

W odcinku domkniętym końce mają inny typ niż punkty wewnętrzne. Po usunięciu końca pozostaje spójny półotwarty odcinek, natomiast po usunięciu punktu wewnętrznego otrzymujemy dwie składowe.

W półprostej [0,∞) występuje dokładnie jeden punkt tego pierwszego typu: punkt 0. W prostej R usunięcie każdego punktu rozdziela przestrzeń na dwie składowe. Stąd półprosta i prosta nie są homeomorficzne.

Krok 3. Rozpoznaj końce przez zachowanie lokalne

Słowo „koniec” ma w topologii kilka znaczeń zależnych od kontekstu. Dla prostych krzywych i grafów topologicznych najbezpieczniej rozumieć je jako punkt o otoczeniu jednostronnym, podobnym do półprzedziału [0,1).

W odcinku [0,1] punkty 0 i 1 mają właśnie taki charakter: dostatecznie małe otoczenie każdego z nich jest homeomorficzne z półprzedziałem. Każdy punkt wewnętrzny ma natomiast otoczenie homeomorficzne z otwartym przedziałem (-1,1).

Okrąg nie ma punktów końcowych w tym sensie. Każdy jego punkt ma małe otoczenie homeomorficzne z otwartym przedziałem. Jest to druga, lokalna droga do odróżnienia okręgu od odcinka.

Praktyczny test końców

1. Wybierz punkt podejrzewany o bycie końcem.
2. Weź małe otoczenie tego punktu w badanej przestrzeni.
3. Sprawdź, czy przypomina ono półprzedział, otwarty przedział, dysk czy rozgałęzioną gwiazdę.
4. Porównaj liczbę punktów każdego typu w obu przestrzeniach.
5. Jeśli jedna przestrzeń ma punkt danego typu, a druga nie, homeomorfizm jest niemożliwy.

Krok 4. Badaj własności lokalne, nie tylko wygląd globalny

Dwie przestrzenie mogą być spójne, zwarte i pozbawione oczywistych różnic po usunięciu pojedynczych punktów, a mimo to mieć odmienne otoczenia lokalne. Własność lokalna mówi o tym, jak wygląda przestrzeń wystarczająco blisko danego punktu.

Typowe lokalne modele to:

• otwarty przedział — punkt leżący „wewnątrz” krzywej,
• półprzedział — punkt końcowy krzywej,
• kilka półprzedziałów sklejonych w jednym punkcie — rozgałęzienie grafu,
• otwarty dysk — punkt wewnętrzny powierzchni,
• półdysk — punkt brzegowy powierzchni.

Krok 5. Licz lokalne ramiona w grafach i krzywych

W przypadku grafów topologicznych szczególnie użyteczna jest liczba lokalnych ramion wychodzących z punktu. Intuicyjnie jest to liczba kierunków, w których można odejść od punktu, pozostając dostatecznie blisko niego.

Dla małego, odpowiednio wybranego otoczenia U punktu p bada się liczbę składowych przestrzeni:

U {p}.

Typowe wyniki są następujące:

• punkt wewnętrzny odcinka ma dwa lokalne ramiona,
• koniec odcinka ma jedno lokalne ramię,
• wierzchołek typu „Y” ma trzy lokalne ramiona,
• punkt przecięcia czterech odcinków ma cztery lokalne ramiona.

Homeomorfizm musi zachować taki lokalny typ punktu. Nie może więc przekształcić końca odcinka w punkt rozgałęzienia ani zwykłego punktu krzywej w wierzchołek, z którego wychodzą trzy ramiona.

Przykład: litera „X” a litera „Y”

Rozważmy dwie figury złożone z odcinków: pierwszą w kształcie litery „X”, drugą w kształcie litery „Y”. Obie są spójne, zwarte i zawierają punkt rozgałęzienia. To jednak nie wystarcza do uznania ich za homeomorficzne.

Przy planowaniu kolejnych kroków pomocny może być tekst: Wnętrze, domknięcie, brzeg: trzy operacje na jednym przykładzie.

W centrum litery „X” znajdują się cztery lokalne ramiona. Po usunięciu tego punktu otrzymujemy cztery małe fragmenty odchodzące od środka. W centrum litery „Y” występują tylko trzy takie ramiona.

Skoro żadnemu punktowi figury „Y” nie odpowiada punkt o czterech lokalnych ramionach, homeomorfizm między tymi przestrzeniami nie istnieje.

Krok 6. Odróżniaj własności lokalne od globalnych

Test usunięcia punktu z całej przestrzeni jest globalny. Test lokalnych ramion dotyczy natomiast wyłącznie małego otoczenia. Te dwa narzędzia często się uzupełniają, lecz mogą dawać inne informacje.

Dobrym przykładem jest punkt na okręgu. Lokalnie ma on dwa ramiona: niewielki łuk po usunięciu punktu rozpada się na dwa kawałki. Globalnie jednak usunięcie punktu z całego okręgu nie rozspaja przestrzeni, ponieważ pozostała część okręgu tworzy jeden łuk.

Z kolei punkt wewnętrzny odcinka również ma dwa lokalne ramiona, ale po jego usunięciu cały odcinek rozpada się na dwie składowe. Zatem:

• lokalna liczba ramion opisuje najbliższe otoczenie punktu,
• liczba składowych po usunięciu punktu z całej przestrzeni opisuje rolę tego punktu w całej konstrukcji.

W praktyce warto przeprowadzić oba testy, zwłaszcza dla grafów zawierających cykle.

Krok 7. Sprawdź obecność brzegu

W przestrzeniach przypominających powierzchnie ważna jest różnica między punktem wewnętrznym a punktem brzegowym. Punkt wewnętrzny ma otoczenie podobne do otwartego dysku, a punkt brzegowy — do półdysku.

Ta różnica jest topologiczna. Homeomorfizm nie może zamienić punktu brzegowego w punkt wewnętrzny ani odwrotnie. W szczególności, jeżeli jedna przestrzeń ma niepusty brzeg, a druga nie ma punktów o typie brzegowym, nie mogą być homeomorficzne.

Jak badać brzeg bez odwoływania się do rysunku

Jeżeli przestrzeń jest podzbiorem Rⁿ, trzeba rozróżnić dwa pojęcia:

• brzeg zbioru w przestrzeni otaczającej, na przykład brzeg dysku jako podzbioru płaszczyzny,
• punkty brzegowe jako typ lokalny przestrzeni, czyli punkty o otoczeniach podobnych do półdysków.

W problemach o homeomorfizmie drugie pojęcie jest zwykle ważniejsze. Pierwsze zależy bowiem od konkretnego zanurzenia w przestrzeni otaczającej.

Na przykład okrąg narysowany w płaszczyźnie ma brzeg jako podzbiór pewnych innych zbiorów, ale jako samodzielna jednowymiarowa przestrzeń nie ma punktów końcowych. Każdy jego punkt ma otoczenie homeomorficzne z otwartym przedziałem.

Krok 8. Zapisz argument dla wszystkich możliwych obrazów punktu

Najczęstszy błąd w dowodach opartych na punktach polega na wskazaniu szczególnego punktu w X, ale bez sprawdzenia, co mogłoby być jego obrazem w Y.

Poprawny argument powinien mieć postać praktycznej eliminacji:

1. wybierz punkt p ∈ X o wyróżnionej własności,
2. opisz tę własność precyzyjnie, na przykład: „po usunięciu powstają trzy składowe” albo „punkt ma trzy lokalne ramiona”,
3. załóż, że istnieje homeomorfizm f: X → Y,
4. zauważ, że punkt f(p) musiałby mieć tę samą własność,
5. sprawdź, że w Y nie ma żadnego punktu o takim typie.

Ostatni krok jest istotny. Nie wystarczy stwierdzić, że „wyróżniony punkt wygląda inaczej niż wybrany punkt drugiej przestrzeni”. Trzeba wykluczyć wszystkie możliwe miejsca, do których homeomorfizm mógłby wysłać punkt p.

Krótki schemat dla grafów topologicznych

Jeżeli porównywane przestrzenie są skończonymi grafami złożonymi z łuków, wygodnie jest sporządzić listę typów punktów:

• liczba końców, czyli punktów z jednym lokalnym ramieniem,
• liczba zwykłych punktów łuków, czyli punktów z dwoma lokalnymi ramionami,
• liczba wierzchołków o trzech ramionach,
• liczba wierzchołków o czterech lub większej liczbie ramion,
• liczba punktów rozcinających,
• liczba składowych po usunięciu poszczególnych wyróżnionych punktów.

Nie każda pozycja musi samodzielnie rozstrzygać problem. Wystarczy jednak jedna różnica, która jest zachowywana przez homeomorfizm.

Lista kontrolna analizy punktowej

Przed zapisaniem dowodu warto przejść przez następującą listę:

• czy wskazano punkt o własności opisanej topologicznie, a nie tylko wizualnie,
• czy sprawdzono, co dzieje się po usunięciu tego punktu z całej przestrzeni,
• czy policzono składowe pozostałej przestrzeni, gdy jest to potrzebne,
• czy odróżniono punkt końcowy, zwykły punkt krzywej i punkt rozgałęzienia,
• czy zbadano małe otoczenie punktu, gdy test globalny nie wystarcza,
• czy wykluczono istnienie punktu o tym samym typie w drugiej przestrzeni,
• czy argument działa niezależnie od konkretnego rysunku, długości odcinków i kątów między ramionami.

Źródła

• [1] University of Warwick – Lecture Notes: Topology ↑
• [2] Colorado State University – First Topological Invariants ↑
• [3] Harvard University – Math 131 Notes: Topological Spaces ↑
• [4] University of Edinburgh – General Topology ↑