Liczby całkowite: dodawanie i odejmowanie na osi liczbowej

Czym są liczby całkowite i po co nam oś liczbowa

Definicja liczb całkowitych w praktycznym ujęciu

Liczby całkowite to zbiór liczb, który obejmuje liczby ujemne, zero i liczby dodatnie. Zapisuje się go zwykle symbolem Z. W skład liczb całkowitych wchodzą:

• liczby dodatnie: 1, 2, 3, 4, 5, …
• zero: 0
• liczby ujemne: −1, −2, −3, −4, −5, …

Liczby całkowite nie zawierają ułamków ani części dziesiętnych. Nie ma tu miejsca na 2,5 czy −3,75 – to już liczby rzeczywiste, ale nie całkowite. Liczby całkowite pojawiają się wszędzie tam, gdzie liczymy obiekty w całości (osoby, sztuki, kroki, stopnie Celsjusza jako kolejne jednostki), a także gdy opisujemy zyski i straty, zyski dodatnie i ujemne.

Cechą charakterystyczną liczb całkowitych jest to, że są one uporządkowane. Można je ustawić w kolejności rosnącej lub malejącej i zawsze wiadomo, która liczba jest większa, a która mniejsza. Ten porządek bardzo wygodnie pokazuje się na osi liczbowej.

Oś liczbowa jako mapa liczb całkowitych

Oś liczbowa to prosta z zaznaczonym punktem zero i jednostką. Przyjmuje się, że:

• kierunek w prawo oznacza wzrost liczby,
• kierunek w lewo oznacza spadek liczby.

Na osi liczbowej każdej liczbie całkowitej odpowiada dokładnie jeden punkt. Dzięki temu dodawanie i odejmowanie można przedstawić jako ruch po osi. To nie jest abstrakcyjny zapis, lecz konkretny „spacer” od jednego punktu do drugiego.

Jeżeli oznaczymy punkt 0, a następnie w równych odstępach zaznaczymy kolejne liczby: 1, 2, 3, 4… w prawo oraz −1, −2, −3, −4… w lewo, otrzymamy wizualną reprezentację wszystkich liczb całkowitych. Na tak przygotowanej osi można bardzo intuicyjnie uczyć się dodawania i odejmowania.

Znaki „+” i „−” a kierunek na osi liczbowej

Przy pracy z liczbami całkowitymi kluczowe są dwa rodzaje znaków:

• znak działania: plus „+” oznacza dodawanie, minus „−” oznacza odejmowanie,
• znak liczby: plus „+” oznacza liczbę dodatnią, minus „−” oznacza liczbę ujemną.

Te dwa typy znaków trzeba konsekwentnie od siebie odróżniać. Zapis −3 to jedna liczba ujemna. Natomiast np. wyrażenie 5 − (−3) zawiera minus jako działanie (odejmij) oraz minus przy liczbie (liczba ujemna). W interpretacji na osi liczbowej działanie i znak liczby przekładają się na kierunek oraz liczbę kroków, które wykonujemy.

Budowa i czytanie osi liczbowej krok po kroku

Jak narysować prostą oś liczbową

Aby wygodnie wykonywać dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych, warto umieć szybko naszkicować prostą oś liczbową. W praktyce wystarczą cztery kroki:

1. Narysuj poziomą linię – to będzie oś.
2. Zaznacz na niej punkt 0 w wygodnym miejscu, mniej więcej w środku dostępnego miejsca.
3. W równych odstępach po prawej zaznacz punkty 1, 2, 3, 4… i podpisz je.
4. W takich samych odstępach po lewej zaznacz −1, −2, −3, −4… i również podpisz.

Jeśli potrzebujesz tylko kilku liczb do danego zadania, nie musisz rysować całej dużej osi. Wystarczy fragment obejmujący liczby istotne w przykładzie, na przykład od −10 do 10. Ważniejsze od „estetyki” rysunku jest to, aby odległości między kolejnymi punktami były mniej więcej równe – w przeciwnym razie łatwo pomylić się przy liczeniu kroków.

Punkt odniesienia: rola zera na osi liczbowej

Zero jest środkiem na osi liczbowej – punktem, od którego „odchodzą” liczby dodatnie w prawo i ujemne w lewo. Zero nie ma znaku dodatniego ani ujemnego, bywa natomiast granicą między „zyskiem” a „stratą” lub „prawą” i „lewą” stroną osi. Przy dodawaniu i odejmowaniu liczb całkowitych zero pełni rolę punktu startowego w wielu obrazowych wyjaśnieniach, ale w praktyce początkowym punktem ruchu bywa dowolna liczba, od której rozpoczynamy działanie.

Warto zauważyć, że odległość liczby od zera na osi liczbowej to jej wartość bezwzględna. Dla liczby 5 jest to 5 jednostek, a dla −5 również 5 jednostek, ponieważ patrzymy tylko na odległość, a nie na znak. Ten fakt będzie przydatny przy porównywaniu liczb ujemnych i dodatnich oraz przy zadaniach wymagających „liczenia kroków” bez względu na kierunek.

Liczby dodatnie i ujemne jako ruch w prawo i w lewo

Na osi liczbowej interpretacja liczb dodatnich i ujemnych jest bardzo naturalna:

• liczby dodatnie leżą po prawej stronie zera,
• liczby ujemne leżą po lewej stronie zera.

Dodawanie liczby dodatniej odpowiada ruchowi w prawo, dodawanie liczby ujemnej – ruchowi w lewo. Analogicznie, odejmowanie liczby dodatniej to ruch w lewo, a odejmowanie liczby ujemnej – ruch w prawo. Ta prosta reguła leży u podstaw wszystkich obliczeń na liczbach całkowitych wykonywanych na osi liczbowej.

Przykładowo, aby obliczyć −2 + 3, zaczynamy od punktu −2 na osi, a następnie przesuwamy się o 3 jednostki w prawo (dodajemy liczbę dodatnią). Po przeliczeniu kroków lądujemy w punkcie 1, czyli −2 + 3 = 1. W ten sam sposób można interpretować bardziej złożone działania, przechodząc krok po kroku przez każdy składnik.

Dodawanie liczb całkowitych na osi liczbowej

Dodawanie liczb dodatnich – powtarzane przesunięcie w prawo

Z dodawaniem liczb dodatnich większość osób radzi sobie intuicyjnie – to po prostu przesuwanie się w prawo o określoną liczbę kroków. Na osi liczbowej wygląda to tak:

• zaznacz pierwszą liczbę – to twój punkt startowy,
• wykonaj liczbę kroków równą drugiemu składnikowi w prawo,
• odczytaj, w jakim punkcie się zatrzymałeś – to wynik dodawania.

Przykład:

Oblicz 4 + 5 na osi liczbowej.

1. Znajdujesz punkt 4 na osi.
2. Dodajesz 5, więc przesuwasz się 5 jednostek w prawo: 5 → 6 → 7 → 8 → 9.
3. Zatrzymujesz się na 9, więc 4 + 5 = 9.

Ten prosty sposób jest szczególnie przydatny w początkowym etapie nauki, gdy uczący się musi „zobaczyć” działanie jako fizyczny ruch. W dalszej pracy oś liczbowa zostaje w głowie jako mentalny obraz – nie trzeba jej za każdym razem rysować, ale wyobrażenie przesuwania się w prawo zostaje.

Dodawanie liczb ujemnych – ruch w lewo od punktu startowego

Dodawanie liczb ujemnych może początkowo wydawać się mniej oczywiste, ale na osi liczbowej sprowadza się do jednej reguły: dodanie liczby ujemnej oznacza ruch w lewo. Ponownie, zaczynamy od pierwszej liczby, a druga liczba mówi, o ile kroków zmieniamy położenie.

Przykład 1: 3 + (−4)

1. Start w punkcie 3.
2. Dodajemy −4, czyli przesuwamy się o 4 jednostki w lewo: 2 → 1 → 0 → −1.
3. Wynik: 3 + (−4) = −1.

Przykład 2: −2 + (−5)

1. Start w punkcie −2.
2. Dodajemy −5, więc idziemy o 5 jednostek w lewo: −3 → −4 → −5 → −6 → −7.
3. Zatrzymujemy się na −7, czyli −2 + (−5) = −7.

W praktyce dodawanie liczb ujemnych można też traktować jako sumowanie „minusów”. Jeśli masz dług 2 jednostek i bierzesz kolejny dług 5 jednostek, twój łączny dług to 7 jednostek – dlatego wynikiem jest liczba ujemna, a jej wartość bezwzględna rośnie.

Dodawanie liczb o różnych znakach – którędy na osi

Najwięcej pomyłek przy dodawaniu liczb całkowitych pojawia się wtedy, gdy składniki mają różne znaki. Oś liczbowa pozwala to bardzo jasno rozstrzygnąć, bez zgadywania. Kluczowe jest ustalenie:

• od jakiej liczby startujemy,
• czy druga liczba przesuwa nas w prawo (jest dodatnia), czy w lewo (jest ujemna),
• który z ruchów jest „silniejszy”, czyli która wartość bezwzględna jest większa.

Przykład: −7 + 3

1. Start: −7.
2. Dodajemy 3, więc przesuwamy się o 3 jednostki w prawo: −6 → −5 → −4.
3. Wynik: −7 + 3 = −4.

Warto spojrzeć na wartości bezwzględne: 7 i 3. „Silniejszy” jest minus (7 > 3), więc wynik będzie ujemny, a różnica 7 − 3 = 4 daje wartość bezwzględną wyniku – stąd −4.

Inny przykład: 5 + (−8)

1. Start: 5.
2. Dodajemy −8, więc idziemy 8 kroków w lewo: 4 → 3 → 2 → 1 → 0 → −1 → −2 → −3.
3. Ostateczny punkt: −3, więc 5 + (−8) = −3.

Znowu: wartości bezwzględne to 5 i 8, więc „przeważa” minus, a 8 − 5 = 3 wyjaśnia, dlaczego kończymy w −3. Oś liczbowa jest tutaj wizualnym potwierdzeniem tej prostej logiki.

Typowe błędy przy dodawaniu liczb całkowitych

Przy obliczaniu sum liczb całkowitych często pojawiają się podobne błędy. Oś liczbowa pomaga je wyłapać, ale warto mieć świadomość, skąd się biorą:

• mylenie znaku działania i znaku liczby – na przykład traktowanie wyrażenia „+−3” jako jednego minusa zamiast „dodaj liczbę −3”,
• automatyczne „dodawanie znaków” – np. uznanie, że „plus z minusem” zawsze daje minus, bez uwzględnienia wartości bezwzględnych,
• przeskakiwanie o niewłaściwą liczbę kroków – szczególnie przy większych liczbach, jeśli odcinki na osi nie są rysowane równo,
• pomijanie zera, gdy przechodzimy z części dodatniej na ujemną (lub odwrotnie) – wtedy liczba kroków przestaje się zgadzać.

Przy każdej wątpliwości warto na próbę zapisać pełne przejście po osi: odliczyć kolejne liczby, nawet jeśli wydaje się to żmudne. Z czasem mózg „zinternalizuje” ten proces i przejścia między liczbami będą odbywać się już mentalnie, bez faktycznego rysowania osi.

Odejmowanie liczb całkowitych jako dodawanie liczby przeciwnej

Interpretacja odejmowania na osi liczbowej

Odejmowanie liczb całkowitych można opisać na dwa sposoby, które w praktyce są równoważne:

• jako ruch w lewo przy odejmowaniu liczby dodatniej i ruch w prawo przy odejmowaniu liczby ujemnej,
• jako dodawanie liczby przeciwnej, czyli przekształcenie odejmowania w dodawanie.

Na osi liczbowej pierwszy sposób jest bardzo prosty: startujemy od pierwszej liczby, a następnie:

• odejmowanie liczby dodatniej – przesunięcie w lewo,
• odejmowanie liczby ujemnej – przesunięcie w prawo.

Dodawanie liczby przeciwnej jako strategia uproszczenia

Drugi sposób patrzenia na odejmowanie jest bardziej algebraiczny, ale na osi liczbowej również działa świetnie. Każde wyrażenie typu:

a − b

można zamienić na:

a + (−b),

czyli „dodaj liczbę przeciwną do b”. Liczba przeciwna ma taki sam moduł (wartość bezwzględną), ale przeciwny znak. Dla 5 liczbą przeciwną jest −5, dla −3 liczbą przeciwną jest 3 itd.

Na osi liczbowej taki zabieg niczego nie zmienia w ruchu, ale pomaga w uporządkowaniu rachunków: wszystkie działania stają się dodawaniem, a ruchy opisuje się już tylko w kategoriach „w prawo” (dla plusów) i „w lewo” (dla minusów).

Przykład: 7 − 4

1. Zapisz jako dodawanie: 7 − 4 = 7 + (−4).
2. Start w punkcie 7.
3. Dodajemy −4, więc poruszamy się 4 jednostki w lewo: 6 → 5 → 4 → 3.
4. Wynik: 7 − 4 = 3.

Drugi przykład: −2 − 5

1. Przekształcenie: −2 − 5 = −2 + (−5).
2. Start w punkcie −2.
3. Dodajemy −5, więc idziemy 5 kroków w lewo: −3 → −4 → −5 → −6 → −7.
4. Wynik: −2 − 5 = −7.

Po kilku takich przykładach odejmowanie przestaje być osobną „trudną” operacją – wszystko sprowadza się do dodawania z odpowiednim kierunkiem ruchu na osi.

Odejmowanie liczb dodatnich – klasyczny ruch w lewo

Gdy obie liczby są dodatnie, odejmowanie przypomina zwykłe „cofanie się” po osi. Dobrze widać to na prostych przykładach:

Oblicz 9 − 3:

1. Start: 9.
2. Odejmujemy 3, więc przesuwamy się 3 jednostki w lewo: 8 → 7 → 6.
3. Odpowiedź: 9 − 3 = 6.

Taki sam schemat pojawia się w codziennych sytuacjach: masz 9 zł, płacisz 3 zł, zostaje 6 zł. W języku osi liczbowej – z punktu 9 cofasz się o 3 kroki.

Jeśli różnica prowadzi „przez zero”, ruch obejmuje oba „skrzydła” osi. Przykład:

Oblicz 2 − 5:

1. Start: 2.
2. Odejmujemy 5, więc cofamy się o 5 jednostek w lewo: 1 → 0 → −1 → −2 → −3.
3. Kończymy w punkcie −3, więc 2 − 5 = −3.

Ruch jest zawsze w lewo, ale końcowy punkt może znaleźć się już po ujemnej stronie zera.

Odejmowanie liczby ujemnej – dlaczego przesuwamy się w prawo

Najwięcej pytań budzi sytuacja, gdy w działaniu pojawia się odejmowanie liczby ujemnej, na przykład:

5 − (−3) lub −4 − (−6).

Na osi liczbowej odejmowanie liczby ujemnej oznacza ruch w prawo. Można to zobaczyć w dwojaki sposób:

• jako „krok w przeciwną stronę niż dla dodawania tej liczby”,
• jako zamianę na dodawanie liczby przeciwnej.

Przykład: 5 − (−3)

1. Przekształć: 5 − (−3) = 5 + 3.
2. Start w punkcie 5.
3. Dodajemy 3 (liczba dodatnia), więc idziemy w prawo: 6 → 7 → 8.
4. Wynik: 5 − (−3) = 8.

Drugi przykład: −4 − (−6)

1. Przepisz jako dodawanie: −4 − (−6) = −4 + 6.
2. Start: −4.
3. Dodajemy 6, więc przesuwamy się o 6 jednostek w prawo: −3 → −2 → −1 → 0 → 1 → 2.
4. Zatrzymujemy się na 2, więc −4 − (−6) = 2.

Reguła „minus minus daje plus” ma więc proste, geometryczne wytłumaczenie: zamiast dodawać ruch w lewo, tak jak przy liczbie ujemnej, odejmujemy go – czyli cofamy ten ruch, a na osi pojawia się przesunięcie w prawo.

Porównanie czterech podstawowych przypadków

Praca z osią liczbową jest najłatwiejsza, gdy każdy rodzaj działania kojarzy się z konkretnym kierunkiem. Zestawiając to w jednym miejscu:

• a + b (b dodatnie) – ruch w prawo o |b| jednostek,
• a + (−b) (b dodatnie) – ruch w lewo o b jednostek,
• a − b (b dodatnie) – ruch w lewo o b jednostek,
• a − (−b) (b dodatnie) – ruch w prawo o b jednostek.

Dwa środkowe przypadki prowadzą do tego samego ruchu w lewo (odejmujesz liczbę dodatnią lub dodajesz liczbę ujemną), a dwa zewnętrzne do ruchu w prawo (dodajesz liczbę dodatnią lub odejmujesz liczbę ujemną). Dzięki temu wiele zapisów, które „na papierze” wyglądają inaczej, na osi zachowuje się identycznie.

Przykładowa para działań:

• 6 − 4 i 6 + (−4) – w obu przypadkach: start w 6, ruch 4 jednostki w lewo, wynik 2,
• −1 − (−5) i −1 + 5 – start w −1, ruch 5 jednostek w prawo, wynik 4.

Warto „przepuszczać” takie pary przez oś, aż oko przyzwyczai się, że różne zapisy mogą opisywać dokładnie te same przesunięcia.

Ćwiczenia z odczytywaniem działań z gotowego rysunku

Oś liczbowa pomaga nie tylko przy liczeniu, ale także przy rozszyfrowywaniu działań. Częstym zadaniem jest podany rysunek z ruchem po osi i pytanie: „Jakie działanie opisuje ten ruch?”.

Schemat postępowania:

1. Odczytaj punkt startowy – to pierwsza liczba w działaniu.
2. Sprawdź, w którą stronę odbywa się ruch:
   • prawo – odpowiada dodawaniu liczby dodatniej lub odejmowaniu liczby ujemnej,
   • lewo – odpowiada dodawaniu liczby ujemnej lub odejmowaniu liczby dodatniej.
3. Policz długość ruchu w jednostkach – to wartość bezwzględna drugiej liczby.
4. Odczytaj punkt końcowy – to wynik działania.

Załóżmy, że na osi widać:

• start w 3,
• strzałkę 7 jednostek w lewo,
• koniec w −4.

Da się to opisać co najmniej na dwa sposoby:

• 3 + (−7) = −4 – dodawanie liczby ujemnej,
• 3 − 7 = −4 – odejmowanie liczby dodatniej.

W obu zapisach środek historii jest ten sam: z 3 idziemy 7 kroków w lewo i kończymy w −4.

Zadania tekstowe a oś liczbowa

W wielu kontekstach liczby ujemne opisują sytuacje „poniżej zera”: temperatury, stan konta, poziom morza. Oś liczbowa pozwala szybko sprawdzić, ile brakuje do zera, jak zmienia się stan po kilku operacjach lub który wynik jest „korzystniejszy”.

Przykład – temperatura:

Rano termometr wskazywał −3°C. W ciągu dnia temperatura wzrosła o 5°C. Jaka była temperatura po południu?

1. Start: −3.
2. Wzrost o 5°C oznacza dodanie liczby dodatniej: −3 + 5.
3. Idziemy 5 jednostek w prawo: −2 → −1 → 0 → 1 → 2.
4. Temperatura po południu: 2°C.

Przykład – stan konta:

Konto ma saldo −120 zł (dług). Wpływa przelew na 80 zł. Jaki jest nowy stan konta?

1. Start: −120.
2. Wpływ to dodanie 80: −120 + 80.
3. Na osi liczbowej przesuwamy się 80 jednostek w prawo. Ostatecznie trafiamy do punktu −40.
4. Nowy stan konta: −40 zł – dług zmalał, ale nie zniknął.

Tego typu zadania, przeniesione na oś, przestają wymagać „zgadywania z głowy”, co dzieje się ze znakiem. Widać wyraźnie, czy przekraczamy zero, czy nadal pozostajemy po stronie ujemnej.

Łączenie wielu przesunięć na jednej osi

W praktyce działania rzadko ograniczają się do dwóch liczb. Pojawiają się sumy i różnice z trzema czy czterema składnikami, np.:

−3 + 4 − 2 + (−5).

Na osi można to potraktować jako ciąg kolejnych ruchów:

1. Start: −3.
2. Dodaj 4 – ruch 4 jednostki w prawo: −2 → −1 → 0 → 1 (jesteśmy w 1).
3. Odejmij 2 – to samo co dodać −2: ruch 2 jednostki w lewo: 0 → −1 (jesteśmy w −1).
4. Dodaj −5 – kolejne 5 jednostek w lewo: −2 → −3 → −4 → −5 → −6.
5. Końcowy punkt: −6, więc całość równa się −6.

Dla przejrzystości, przy dłuższych ciągach:

• dobrze jest rysować krótkie strzałki dla każdego składnika,
• zaznaczać małymi kropkami kolejne „przystanki”,
• obok osi dopisywać pośrednie wyniki (np. −3 → 1 → −1 → −6).

Po pewnym czasie można zastąpić rysunek prostym grupowaniem składników: osobno dodawać wszystkie plusy, osobno minusy, a później porównać ich łączne wartości bezwzględne. Oś jest wtedy tylko „kontrolą” poprawności.

Typowe nieporozumienia przy odejmowaniu na osi liczbowej

Przy odejmowaniu pojawia się kilka charakterystycznych pułapek. Dobrze je znać, żeby świadomie im zapobiegać:

• traktowanie „−(−b)” jak zwykłego minusa – pominięcie tego, że odejmowanie liczby ujemnej zmienia kierunek ruchu,
• mylenie punktu startowego z wynikiem – odczytywanie z osi pierwszego lub ostatniego oznaczenia zamiast końca strzałki,
• brak nawiasów przy liczbie ujemnej po znaku „−”, co utrudnia poprawne „przepisanie” działania na dodawanie,
• liczenie kroków „na skróty” i gubienie jednego z nich, zwłaszcza przy przechodzeniu przez zero.

Przy mniej oczywistych przykładach dobrym nawykiem jest rozpisanie każdego przesunięcia osobną małą strzałką i policzenie kroków „na głos” (lub w myślach), np. „było minus cztery, idę o sześć w prawo: minus trzy, minus dwa… dwa”.

Samodzielne zadania do narysowania na osi

Kilka prostych przykładów, które dobrze przećwiczyć na własnej osi (najlepiej na kartce w kratkę):

1. Narysuj i oblicz:
   • −5 + 9,
   • 8 + (−13),
   • −7 + (−4).
2. Zapisz jako dodawanie liczby przeciwnej, a potem zaznacz na osi:
   • 6 − 11,
   • −3 − 2,
   • 4 − (−5).
3. Narysuj ciąg ruchów i podaj wynik:
   • −2 + 5 − 3 + (−4),
   • 7 − 10 + (−2) − (−6).

Strategie sprawdzania poprawności wyniku

Rysunek na osi liczbowej to jedno narzędzie, ale dobrze mieć jeszcze kilka szybkich sposobów na kontrolę, czy wynik dodawania lub odejmowania liczb całkowitych ma sens.

• Orientacja po znaku – jeśli dodajesz liczbę dodatnią, wynik powinien „iść” w stronę większych liczb; jeśli dodajesz liczbę ujemną, powinien przesuwać się w dół skali.
• Porównanie wartości bezwzględnych – przy sumie liczb o przeciwnych znakach sprawdź, która ma większą wartość bezwzględną; jej znak powinien mieć wynik.
• Liczenie „od wyniku” wstecz – sprawdź działanie, wykonując ruch przeciwny na osi, np. jeśli wyszło, że −2 + 7 = 5, to startując z 5 i odejmując 7, powinieneś wrócić do −2.

Przykład kontroli:

1. Obliczasz: −9 + 4 i dostajesz −5.
2. Krok wstecz: sprawdzasz, czy −5 − 4 rzeczywiście daje −9.
3. Na osi przesuwasz się z −5 o 4 jednostki w lewo: −6 → −7 → −8 → −9, zgadza się.

Zadania mieszane: od rysunku, przez równanie, do słów

W wielu ćwiczeniach przeplatają się trzy poziomy opisu: historia słowna, ruch na osi i działanie zapisane symbolicznie. Sprawne przechodzenie między nimi bardzo ułatwia pracę z liczbami całkowitymi.

Weźmy krótki opis:

Osoba miała 2 zł. Wydała 7 zł, korzystając z debetu, a potem dostała 5 zł zwrotu.

1. Punkt startowy na osi: 2.
2. „Wydała 7 zł” – to zmniejszenie stanu: −7, czyli ruch 7 jednostek w lewo.
3. „Dostała 5 zł” – to zwiększenie stanu: +5, ruch 5 jednostek w prawo.
4. Działanie: 2 − 7 + 5.
5. Po narysowaniu ruchów na osi (2 → −5 → 0) widać, że końcowy stan to 0 zł.

Ćwiczenie w drugą stronę:

• Na osi zaznaczony jest start w −6.
• Strzałka 9 jednostek w prawo do punktu 3.

Z takiego rysunku można ułożyć co najmniej trzy równoważne opisy:

• Działanie: −6 + 9 = 3.
• Słownie: „Stan początkowy to −6. Nastąpił wzrost o 9 jednostek. Stan końcowy to 3”.
• W kontekście temperatury: „Było −6°C, temperatura wzrosła o 9°C i osiągnęła 3°C”.

Dodawanie i odejmowanie na osi w zadaniach porównawczych

Oś liczbowa dobrze sprawdza się, gdy trzeba porównać dwa stany albo dwie zmiany.

Przykład:

W jednym mieście rano było −4°C, a w południe 1°C. W drugim mieście rano było 2°C, a w południe −3°C. W którym mieście zmiana temperatury była większa?

1. Miasto A: z −4 do 1.
   • Na osi: start −4, koniec 1.
   • Różnica: 1 − (−4) = 1 + 4 = 5 stopni wzrostu.
2. Miasto B: z 2 do −3.
   • Na osi: start 2, koniec −3.
   • Różnica: −3 − 2 = −5, czyli spadek o 5 stopni.
3. Na osi widać, że w obu przypadkach długość odcinka między stanem porannym a południowym to 5 jednostek – zmiana jest tak samo duża, tylko w przeciwnych kierunkach.

Wartość bezwzględna a odległość na osi

Przy dodawaniu i odejmowaniu często pojawia się pojęcie wartości bezwzględnej. Na osi ma ono bardzo prosty sens: to po prostu odległość od zera.

• |5| – odległość punktu 5 od 0, czyli 5 jednostek,
• |−5| – odległość punktu −5 od 0, również 5 jednostek.

Przydatne jest patrzenie na każde przesunięcie jak na „odległość z kierunkiem”. Sama liczba kroków to wartość bezwzględna, a znak mówi, w którą stronę poruszamy się po osi.

Przykład:

−8 + 5

1. Wartości bezwzględne: |−8| = 8 i |5| = 5.
2. Wynik będzie miał znak liczby „silniejszej”, czyli −8 (bo 8 > 5).
3. Odległość między nimi: 8 − 5 = 3.
4. Na osi: start −8, idziesz 5 jednostek w prawo i kończysz w −3, więc −8 + 5 = −3.

Tę samą strategię można zastosować przy wielu składnikach, najpierw grupując ruchy w prawo i ruchy w lewo, a dopiero potem je porównując.

Łączenie dodawania i odejmowania z przeciwną liczbą

Na osi liczbowej bardzo widać związek:

a − b = a + (−b)

To tylko dwa różne sposoby opisania tego samego ruchu.

Przykład:

• 5 − 9 – start 5, ruch 9 jednostek w lewo,
• 5 + (−9) – start 5, dodajemy liczbę ujemną, czyli również 9 jednostek w lewo.

Na rysunku strzałki w obu przypadkach będą identyczne, a wynik to −4. Dzięki temu można elastycznie wybierać zapis, który w danej chwili jest wygodniejszy:

• chcesz podkreślić „zabieranie” – użyj minusa,
• chcesz zsumować wszystkie ruchy w jedną długość – przejdź na zapis z dodawaniem liczb przeciwnych.

Zadania wymagające kilku kroków rozumowania

Czasem samo obliczenie działania to tylko część pracy. Reszta to interpretacja wyniku w kontekście zadania.

Przykład:

Nurek zaczynał na powierzchni wody (0 m). Zanurkował na 12 m w dół, następnie wypłynął 7 m w górę, potem jeszcze raz zanurkował na 5 m w dół. Na jakiej głębokości zakończył nurkowanie? Czy znajduje się bliżej, czy dalej od powierzchni niż po pierwszym zanurzeniu?

1. Przekształć opis na liczby:
   • „w dół 12 m” – −12,
   • „w górę 7 m” – +7,
   • „w dół 5 m” – −5.
2. Działanie: 0 − 12 + 7 − 5.
3. Na osi:
   • start: 0 → po 12 w dół: −12,
   • po 7 w górę: −5,
   • po 5 w dół: −10.
4. Końcowa głębokość: −10 m.
5. Porównanie z pierwszym zanurzeniem:
   • po pierwszym ruchu: −12 m – odległość od powierzchni: 12 m,
   • na końcu: −10 m – odległość od powierzchni: 10 m.

   Nurek jest więc bliżej powierzchni niż po pierwszym zanurzeniu.

Propozycje trudniejszych zadań do samodzielnego narysowania

Poniższe zadania można rozwiązać zarówno rachunkowo, jak i na osi. Warto narysować każdy etap osobną strzałką.

1. Oblicz i zaznacz na osi:
   • −12 + 7 − 4,
   • 9 − 15 + (−3),
   • −8 − (−5) + 2.
2. Przepisz każde działanie tak, aby występowało w nim tylko dodawanie (z liczbami ujemnymi), a potem narysuj:
   • 6 − 14 + 3,
   • −10 − (−7) − 5,
   • 4 − (−2) − (−6).
3. Ułóż krótkie zadanie tekstowe do każdego działania, np. związane z temperaturą, poziomem morza lub stanem konta, a następnie:
   • narysuj przebieg sytuacji na osi,
   • zapisz działanie i jego wynik,
   • zinterpretuj wynik w kontekście ułożonej historii.

Przejście od rysunków do szybszego liczenia „w głowie”

Po serii ćwiczeń rysowanie całej osi przy prostych zadaniach przestaje być potrzebne. Zamiast tego można „widzieć” ruchy na osi w wyobraźni, opierając się na kilku skrótach myślowych:

• „plus dodatnia” – idę w prawo,
• „plus ujemna” – idę w lewo,
• „minus dodatnia” – idę w lewo,
• „minus ujemna” – idę w prawo.

Przykład liczenia bez rysunku, ale z myśleniem „osiowym”:

−6 − 3 + 8 − (−4)

1. Start: −6.
2. „−3” – w lewo o 3: jestem w −9.
3. „+8” – w prawo o 8: jestem w −1.
4. „−(−4)” – minus ujemna, więc w prawo o 4: jestem w 3.
5. Wynik: 3.

Najczęściej zadawane pytania (FAQ)

Co to są liczby całkowite i czym różnią się od liczb rzeczywistych?

Liczby całkowite to wszystkie liczby ujemne, zero oraz liczby dodatnie bez części ułamkowej, np. −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3. Oznaczamy je symbolem Z. Nie ma wśród nich ułamków ani liczb z przecinkiem, takich jak 2,5 czy −3,75.

Liczby rzeczywiste są zbiorem szerszym: obejmują liczby całkowite, ale także ułamki zwykłe i dziesiętne, liczby niewymierne itd. Każda liczba całkowita jest liczbą rzeczywistą, ale nie każda liczba rzeczywista jest całkowita.

Po co rysuje się oś liczbową przy dodawaniu i odejmowaniu liczb całkowitych?

Oś liczbowa pomaga zamienić działanie na liczbach w prosty „ruch” po prostej. Każda liczba całkowita ma na osi swój punkt, więc dodawanie i odejmowanie można zobaczyć jako przesuwanie się w prawo (większe liczby) lub w lewo (mniejsze liczby).

Dzięki temu łatwiej zrozumieć, co dzieje się przy dodawaniu i odejmowaniu liczb ujemnych, oraz zapamiętać, w którą stronę „idzie” wynik. Z czasem oś liczbową można mieć tylko w wyobraźni, bez rysowania.

Jak narysować prostą oś liczbową do zadań z liczbami całkowitymi?

Do większości zadań wystarczy prosty szkic w kilku krokach:

• Narysuj poziomą linię i zaznacz na niej punkt 0 (mniej więcej pośrodku miejsca).
• W równych odstępach po prawej zaznacz i podpisz liczby dodatnie: 1, 2, 3, 4, …
• W takich samych odstępach po lewej zaznacz liczby ujemne: −1, −2, −3, −4, …

Nie musisz rysować „nieskończonej” osi – wystarczy fragment obejmujący liczby potrzebne w konkretnym zadaniu, np. od −10 do 10.

Jak dodawać liczby całkowite na osi liczbowej krok po kroku?

Dodawanie liczb całkowitych można zapisać jako ruch po osi liczbowej:

• Zaznacz pierwszą liczbę – to punkt startowy.
• Jeśli dodajesz liczbę dodatnią, przesuwasz się w prawo o tyle jednostek, ile wynosi ta liczba.
• Jeśli dodajesz liczbę ujemną, przesuwasz się w lewo o tyle jednostek, ile wynosi jej wartość bezwzględna.
• Punkt, w którym się zatrzymasz, to wynik dodawania.

Na przykład: przy działaniu 3 + (−4) startujesz z 3 i idziesz 4 kroki w lewo, lądując na −1, więc 3 + (−4) = −1.

Jak odejmować liczby całkowite na osi liczbowej?

Odejmowanie można traktować jako „dodawanie liczby przeciwnej”, ale na osi liczbowej wystarczy prosty schemat: odejmowanie liczby dodatniej to ruch w lewo, a odejmowanie liczby ujemnej – ruch w prawo.

Przykład: dla działania 5 − 3 startujesz w punkcie 5 i przesuwasz się 3 jednostki w lewo, wynik to 2. Dla działania 5 − (−3) startujesz w punkcie 5 i przesuwasz się 3 jednostki w prawo (bo odejmujesz liczbę ujemną), zatrzymujesz się na 8, więc 5 − (−3) = 8.

Jak odróżnić znak działania od znaku liczby, np. w zapisie 5 − (−3)?

W wyrażeniach z liczbami całkowitymi pojawiają się dwa rodzaje znaków „+” i „−”:

• znak działania: „+” oznacza „dodaj”, „−” oznacza „odejmij”,
• znak liczby: „+” oznacza liczbę dodatnią, „−” oznacza liczbę ujemną.

W zapisie 5 − (−3) pierwszy minus to polecenie „odejmij”, a drugi minus (przed 3) mówi, że liczba jest ujemna. Na osi liczbowej przekłada się to na ruch: odejmujemy liczbę ujemną, więc w praktyce przesuwamy się w prawo o 3 jednostki.

Co oznacza wartość bezwzględna liczby na osi liczbowej?

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej, niezależnie od znaku. Dla 5 i −5 wartość bezwzględna jest taka sama, bo oba punkty leżą w odległości 5 jednostek od zera.

W praktyce przydaje się to m.in. wtedy, gdy porównujemy „siłę” ruchu w prawo i w lewo (np. przy dodawaniu liczb o różnych znakach) albo gdy liczymy liczbę kroków, nie zwracając uwagi na kierunek.

Kluczowe obserwacje

• Liczby całkowite (Z) obejmują liczby ujemne, zero i liczby dodatnie, ale nie zawierają ułamków ani części dziesiętnych.
• Oś liczbowa to prosta z zaznaczonym zerem i jednostką, na której każdej liczbie całkowitej odpowiada dokładnie jeden punkt.
• Kierunek na osi jest stały: w prawo wartości rosną (liczby dodatnie), w lewo maleją (liczby ujemne), co pozwala obrazowo przedstawiać działania.
• Trzeba odróżniać znak działania („+”, „−”) od znaku liczby (dodatnia, ujemna), bo razem decydują one o kierunku i liczbie kroków na osi.
• Zero jest punktem środkowym i granicą między liczbami dodatnimi i ujemnymi; jego rola jest kluczowa przy porównywaniu liczb i liczeniu odległości.
• Odległość liczby od zera na osi to jej wartość bezwzględna, taka sama dla liczby dodatniej i jej przeciwnej ujemnej (np. 5 i −5).
• Dodawanie liczby dodatniej oznacza ruch w prawo, dodawanie liczby ujemnej – w lewo; odejmowanie działa odwrotnie, co tworzy uniwersalną regułę poruszania się po osi liczbowej.